LITTERATURE-ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΑ -ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ-Στοιχεια Α'-προτασεις ε' και στ'. [μεταφραση χ.ν.κουβελης]- ΚΕΙΜΕΝΑ-TEXTS-Χ.Ν.Κουβελης[C.N.Couvelis}

.
.
LITTERATURE-ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΑ
-ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ-Στοιχεια Α'-προτασεις ε' και στ'.
[μεταφραση χ.ν.κουβελης]-
ΚΕΙΜΕΝΑ-TEXTS-Χ.Ν.Κουβελης[C.N.Couvelis}
.
.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ-Στοιχεια Α'-προτασεις ε' και στ'.-χ.ν.κουβελης c.n.couvelis
.
.
ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ-Στοιχεια Α'-προτασεις ε' και στ'.
[μεταφραση χ.ν.κουβελης]
.
.
ε'. Τῶν ἰσοσκελῶν τριγώνων αἱ πρὸς τῇ βάσει γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν, καὶ
προσεκβληθεισῶν τῶν ἴσων εὐθειῶν αἱ ὑπὸ τὴν βάσιν γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις ἔσονται.

Ἔστω τρίγωνον ἰσοσκελὲς τὸ ΑΒΓ ἴσην ἔχον τὴν ΑΒ πλευρὰν τῇ ΑΓ πλευρᾷ, καὶ προσεκβεβλήσθωσαν ἐπ' εὐθείας ταῖς ΑΒ, ΑΓ εὐθεῖαι αἱ ΒΔ, ΓΕ· λέγω, ὅτι ἡ μὲν ὑπὸ ΑΒΓ 

γωνία τῇ ὑπὸ ΑΓΒ ἴση ἐστίν, ἡ δὲ ὑπὸ ΓΒΔ τῇ ὑπὸ ΒΓΕ. Εἰλήφθω γὰρ ἐπὶ τῆς ΒΔ τυχὸν 

σημεῖον τὸ Ζ, καὶ ἀφῃρήσθω ἀπὸ τῆς μείζονος τῆς ΑΕ τῇ ἐλάσσονι τῇ ΑΖ ἴση ἡ ΑΗ, καὶ 

ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΖΓ, ΗΒ εὐθεῖαι. Ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΑΖ τῇ ΑΗ ἡ δὲ ΑΒ τῇ ΑΓ, δύο δὴ 

αἱ ΖΑ, ΑΓ δυσὶ ταῖς ΗΑ, ΑΒ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ· καὶ γωνίαν κοινὴν περιέχουσι τὴν 

ὑπὸ ΖΑΗ· βάσις ἄρα ἡ ΖΓ βάσει τῇ ΗΒ ἴση ἐστίν, καὶ τὸ ΑΖΓ τρίγωνον τῷ ΑΗΒ τριγώνῳ ἴσον 

ἔσται, καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις ἴσαι ἔσονται ἑκατέρα ἑκατέρᾳ, ὑφ' ἃς αἱ 

ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν, ἡ μὲν ὑπὸ ΑΓΖ τῇ ὑπὸ ΑΒΗ, ἡ δὲ ὑπὸ ΑΖΓ τῇ ὑπὸ ΑΗΒ. καὶ ἐπεὶ 

ὅλη ἡ ΑΖ ὅλῃ τῇ ΑΗ ἐστιν ἴση, ὧν ἡ ΑΒ τῇ ΑΓ ἐστιν ἴση, λοιπὴ ἄρα ἡ ΒΖ λοιπῇ τῇ ΓΗ ἐστιν 

ἴση. ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ΖΓ τῇ ΗΒ ἴση· δύο δὴ αἱ ΒΖ, ΖΓ δυσὶ ταῖς ΓΗ, ΗΒ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα 

ἑκατέρᾳ· καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΖΓ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΓΗΒ ἴση, καὶ βάσις αὐτῶν κοινὴ ἡ ΒΓ· καὶ τὸ 

ΒΖΓ ἄρα τρίγωνον τῷ ΓΗΒ τριγώνῳ ἴσον ἔσται, καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις 

ἴσαι ἔσονται ἑκατέρα ἑκατέρᾳ, ὑφ' ἃς αἱ ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν 

ὑπὸ ΖΒΓ τῇ ὑπὸ ΗΓΒ ἡ δὲ ὑπὸ ΒΓΖ τῇ ὑπὸ ΓΒΗ. ἐπεὶ οὖν ὅλη ἡ ὑπὸ ΑΒΗ γωνία ὅλῃ τῇ ὑπὸ 

ΑΓΖ γωνίᾳ ἐδείχθη ἴση, ὧν ἡ ὑπὸ ΓΒΗ τῇ ὑπὸ ΒΓΖ ἴση, λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΒΓ λοιπῇ τῇ ὑπὸ 

ΑΓΒ ἐστιν ἴση· καί εἰσι πρὸς τῇ βάσει τοῦ ΑΒΓ τριγώνου. ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΖΒΓ τῇ ὑπὸ 

ΗΓΒ ἴση· καί εἰσιν ὑπὸ τὴν βάσιν. Τῶν ἄρα ἰσοσκελῶν τριγώνων αἱ πρὸς τῇ βάσει γωνίαι 

ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν, καὶ προσεκβληθεισῶν τῶν ἴσων εὐθειῶν αἱ ὑπὸ τὴν βάσιν γωνίαι ἴσαι 

ἀλλήλαις ἔσονται· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

.

.

ε'.Των ισοσκελων τριγωνων οι προς στη βαση γωνιες ισες η μια με την αλλη ειναι,

και προεκτεινομενων των ισων ευθειων οι υπο τη βαση γωνιες ισες η μια με την

αλλη γινονται. 

Εστω τριγωνο ισοσκελες το ΑΒΓ ιση εχον την ΑΒ πλευρα στην ΑΓ πλευρα,και ας εχουν
προεκταθει σ'ευθεια στις ΑΒ,ΑΓ ευθειες οι ΒΔ,ΓΕ.λεγω,οτι η μεν υπο ΑΒΓ  γωνια στην
υπο ΑΓΒ ιση ειναι,η δε υπο ΓΒΔ στην υπο ΒΓΕ.
Ας ληφθει επι της ΒΔ τυχον σημειον το Ζ,και ας  αφαιρεθει απο της μεγαλυτερης της
ΑΕ στη μικροτερη στη ΑΖ ιση η ΑΗ,κι ας συνδεθουν οι ΖΓ,ΗΒ ευθειες.Επειδη λοιπον
ιση ειναι η μεν ΑΖ στην ΑΗ η δε ΑΒ στην ΑΓ ,δυο ακομα οι ΖΑ,ΑΓ στις δυο ΗΑ,ΑΒ ισες
ειναι καθε μια με καθε μια.και γωνια κοινη περιεχουν την υπο ΖΑΗ.επομενως η βαση
ΖΓ στη βαση ΗΒ ιση ειναι,και το ΑΖΓ τριγωνο στο ΑΗΒ τριγωνο ισο ειναι,και οι λοιπες
γωνιες στις λοιπες γωνιες ισες γινονται η καθε μια με καθε μια,αυτες που οι ισες
πλευρες υποτεινουν, η μεν υπο ΑΓΖ στην υπο ΑΒΗ,η δε υπο ΑΖΓ στην υπο ΑΗΒ.και
επειδη ολη η ΑΖ σε ολη την ΑΗ ειναι ιση,ακομα η ΑΒ στην ΑΓ ειναι ιση,επομενως η
λοιπη ΒΖ στη λοιπη ΓΗ ειναι ιση.δειχθηκε δε και η ΖΓ στην ΗΒ ιση.δυο ακομα οι
ΒΖ,ΖΓ στις δυο ΓΗ,ΗΒ ισες ειναι καθε μια με καθε μια.και η γωνια υπο  ΒΖΓ στη
γωνια υπο ΓΗΒ ιση,και βαση αυτων κοινη η ΒΓ.και το ΒΖΓ επομενως τριγωνο στο ΓΗΒ
τριγωνο ισο ειναι,και οι λοιπες γωνιες στις λοιπες γωνιες ισες γινονται καθε μια
με καθε μια,αυτες που οι ισες πλευρες υποτεινουν.ιση επομενως ειναι η μεν υπο
ΖΒΓ στην υπο  ΗΓΒ η δε υπο ΒΓΖ στην υπο ΓΒΗ.επειδη λοιπον ολη η υπο ΑΒΗ γωνια με
ολη την υπο ΑΓΖ γωνια δειχθηκε ιση,αφου η υπο ΓΒΗ στην υπο  ΒΓΖ ιση,η λοιπη
επομενως υπο ΑΒΓ στην λοιπη υπο ΑΓΒ ειναι ιση.και ειναι προς  στην βαση του ΑΒΓ
τριγωνου.δειχθηκε δε και η υπο ΖΒΓ στην υπο ΗΓΒ ιση. και ειναι υπο τη βαση.
Επομενως των ισοσκελων τριγωνων οι προς στη βαση γωνιες ισες η μια με την αλλη
ειναι,και προεκτεινομενων των ισων ευθειων οι υπο τη βαση γωνιες ισες η μια με
την αλλη γινονται. αυτο το οποιο επρεπε να δειχθει.
.
.

στ'. Ἐὰν τριγώνου αἱ δύο γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις ὦσιν, καὶ αἱ ὑπὸ τὰς ἴσας γωνίαις 

ὑποτείνουσαι πλευραὶ ἴσαι ἀλλήλαις ἔσονται.

Ἔστω τρίγωνον τὸ ΑΒΓ ἴσην ἔχον τὴν ὑπὸ ΑΒΓ γωνίαν τῇ ὑπὸ ΑΓΒ γωνίᾳ· λέγω, ὅτι καὶ
πλευρὰ ἡ ΑΒ πλευρᾷ τῇ ΑΓ ἐστιν ἴση. Εἰ γὰρ ἄνισός ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΑΓ, ἡ ἑτέρα αὐτῶν μείζων
ἐστίν. ἔστω μείζων ἡ ΑΒ, καὶ ἀφῃρήσθω ἀπὸ τῆς μείζονος τῆς ΑΒ τῇ ἐλάττονι τῇ ΑΓ ἴση ἡ
ΔΒ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΓ. Ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΔΒ τῇ ΑΓ κοινὴ δὲ ἡ ΒΓ, δύο δὴ αἱ ΔΒ, ΒΓ δύο
ταῖς ΑΓ, ΓΒ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ, καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΔΒΓ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΑΓΒ ἐστιν ἴση·
βάσις ἄρα ἡ ΔΓ βάσει τῇ ΑΒ ἴση ἐστίν, καὶ τὸ ΔΒΓ τρίγωνον τῷ ΑΓΒ τριγώνῳ ἴσον ἔσται, τὸ
ἔλασσον τῷ μείζονι· ὅπερ ἄτοπον· οὐκ ἄρα ἄνισός ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΑΓ· ἴση ἄρα. Ἐὰν ἄρα
τριγώνου αἱ δύο γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις ὦσιν, καὶ αἱ ὑπὸ τὰς ἴσας γωνίας ὑποτείνουσαι
πλευραὶ ἴσαι ἀλλήλαις ἔσονται· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

.

.

στ'.Εαν τριγωνου οι δυο γωνιες ισες η μια με την αλλη ειναι,και οι υπο τις ισες γωνιες 

υποτεινουσες πλευρες ισες η μια με την αλλη γινονται.

Εστω τριγωνο το ΑΒΓ ισην εχον την υπο ΑΒΓ γωνια στη υπο ΑΓΒ γωνια.λεγω,οτι και η
πλευρα ΑΒ στη πλευρα ΑΓ ειναι ιση.Εαν επομενως ανιση ειναι η ΑΒ στη ΑΓ,η αλλη απο
αυτες μεγαλυτερη ειναι. εστω μεγαλυτερη η ΑΒ,κι ας αφαιρεθει απο της μεγαλυτερης
της ΑΒ στη μικροτερη στη ΑΓ ιση η ΔΒ.κι ας συνδεθει η ΔΓ.Επειδη λοιπον ιση ειναι η ΔΒ
στην ΑΓ κοινη δε η ΒΓ,δυο τοτε οι ΔΒ,ΒΓ στις δυο ΑΓ,ΓΒ ισες ειναι καθε μια με καθε μια,
και η γωνια υπο ΔΒΓ στη γωνια υπο ΑΓΒ ειναι ιση.επομενως η βαση ΔΓ στη βαση ΑΒ ιση
ειναι,και το ΔΒΓ τριγωνο στο ΑΓΒ τριγωνο ισο ειναι,το μικροτερο στο μεγαλυτερο.αυτο
το οποιο ειναι ατοπο.επομενως δεν ειναι ανιση η ΑΒ στην ΑΓ.ιση επομενως.
Εαν επομενως τριγωνου οι δυο γωνιες ισες η μια με την αλλη ειναι,και οι υπο τις ισες
γωνιες υποτεινουσες πλευρες ισες η μια με την αλλη γινονται.
αυτο το οποιο επρεπε να δειχθει.
.
.