LITTERATURE-ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΑ -ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΠΤΟΛΕΜΑΙΟΥ ΚΑΙ Η ΕΥΡΕΤΙΚΗ ΣΤΟΝ ΚΛΑΥΔΙΟ ΠΤΟΛΕΜΑΙΟ ΣΤΗΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΣΥΝΤΑΞΗ ΤΟΥ,ΑΛΜΑΓΕΣΤΗ,ΜΕΧΡΙ ΤΗ ΧΟΡΔΗ ΤΟΞΟΥ 1/2 ΜΟΙΡΩΝ-χ.ν.κουβελης c.n.couvelis- ΚΕΙΜΕΝΑ-TEXTS-Χ.Ν.Κουβελης[C.N.Couvelis}

.
.
LITTERATURE-ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΑ

-ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΠΤΟΛΕΜΑΙΟΥ ΚΑΙ Η  ΕΥΡΕΤΙΚΗ ΣΤΟΝ ΚΛΑΥΔΙΟ ΠΤΟΛΕΜΑΙΟ

ΣΤΗΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΣΥΝΤΑΞΗ ΤΟΥ,ΑΛΜΑΓΕΣΤΗ,ΜΕΧΡΙ ΤΗ ΧΟΡΔΗ ΤΟΞΟΥ
1/2 ΜΟΙΡΩΝ-χ.ν.κουβελης c.n.couvelis-
ΚΕΙΜΕΝΑ-TEXTS-Χ.Ν.Κουβελης[C.N.Couvelis}

.

.

ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΠΤΟΛΕΜΑΙΟΥ ΚΑΙ Η  ΕΥΡΕΤΙΚΗ ΣΤΟΝ ΚΛΑΥΔΙΟ ΠΤΟΛΕΜΑΙΟ
ΣΤΗΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΣΥΝΤΑΞΗ ΤΟΥ,ΑΛΜΑΓΕΣΤΗ,ΜΕΧΡΙ ΤΗ ΧΟΡΔΗ ΤΟΞΟΥ
1/2 ΜΟΙΡΩΝ-χ.ν.κουβελης c.n.couvelis

Κλαύδιος Πτολεμαίος

Κλαυδιος Πτολεμαιος[π.100 μ.Χ - 160 μ.Χ] Μεγαλος Ελληνας Αστρονομος Μαθηματικος
και Φιλοσοφος,η Μαθηματικη Συνταξις, η Αλ Μεγιστη,Αλμαγεστη,το μεγαλυτερο
αστρονομικο εργο της αρχαιοτητας γραφτηκε περιπου το 140 μ.Χ,αποτελειται απο
13 βιβλια,απο το Α' μεχρι το ΙΓ'
.
.
Απο το Πυθαγορειο Θεωρημα Η Ευρετικη Επεκταση στον Θεωρημα του Πτολεμαιου

ΑΒΓΔ ορθογωνιο εγγεγραμμενο σε κυκλο,
εφαρμοζουμε Πυθαγορειο Θεωρημα στα ορθογωνιο τριγωνο ΑΒΓ:
ΑΓ.ΑΓ=ΑΒ.ΑΒ + ΒΓ.ΒΓ
απο το ορθογωνιο ΑΒΓΔ εχουμε απεναντι πλευρες ισες:ΑΒ=ΓΔ ,ΒΓ=ΑΔ,
και διαγωνιες ισες:ΑΓ=ΒΔ
τοτε η σχεση γινεται:ΑΓ.ΒΔ=ΑΒ.ΓΔ+ΒΓ.ΑΔ
Συμπερασμα:
Σε καθε  ορθογωνιο το γινομενο των διαγωνιων του ειναι ισο με το αθροισμα
των γινομενων των απεναντι πλευρων του,
Το ορθογωνιο ειναι τετραπλευρο εγραψιμο
Τοτε,μπορουμε να εικασουμε:
Σε καθε εγγραψιμμο τετραπλευρο το γινομενο των διαγωνιων του ειναι ισο
με το αθροισμα των γινομενων των απεναντι πλευρων του.
Αυτο ειναι το Θεωρημα Ισοτητας του Πτολεμαιου.
Αν αυτο αποδειχθει τοτε στην περιπτωση του μη-εγγραψιμου τετραπλευρου θα
ισχυει ανισοτικη σχεση
Και αυτο ειναι το Θεωρημα Ανισοτητας του Πτολεμαιου
Σε καθε  τετραπλευρο το γινομενο των διαγωνιων του ειναι μικροτερο,η' ισο,απο το
αθροισμα των γινομενων των απεναντι πλευρων του
το ισο ισχυει  στη περιπτωση του εγγραψιμου τετραπλευρου

Θεώρημα του Πτολεμαίου Ισοτητας-χ.ν.κουβελης c.n.couvelis

Σε καθε εγγραψιμο τετραπλευρο  το γινομενο των διαγωνιων του ειναι ισο με το
αθροισμα των γινομενων των απεναντι πλευρων του

Αν ΑΒΓΔ εγγραψιμο τετραπλευρο σε κυκλο τοτε:
ΑΓ . ΒΔ = ΑΒ . ΓΔ + ΒΓ . ΑΔ

Αποδειξη:

Στην ΑΓ παιρνουμε το σημειο Ε τετοιο ωστε:γωνια ΕΒΑ =γωνια ΔΒΓ
αν στην ισοτητα προσθεσουμε την γωνια ΕΒΔ εχουμε:
γωνια ΑΒΔ = γωνια ΕΒΓ
και επειδη το ΑΒΓΔ ειναι εγγραψιμο: γωνια ΒΔΑ = γωνια ΒΓΑ και γωνια ΒΑΓ=γωνια ΒΔΓ
τοτε τα τριγωνα ΒΔΑ,ΒΓΕ και ΑΒΕ,ΓΒΔ ειναι,αντιστοιχα, ομοια,επομενως:
ΓΒ/ΓΕ=ΔΒ/ΔΑ η' ΒΓ . ΑΔ = ΒΔ . ΓΕ
και
ΑΒ/ΑΕ=ΔΒ/ΔΓ η' ΑΒ . ΓΔ  = ΒΔ . ΑΕ
προσθετουυμε κατα μελη αυτες τις ισοτητες και εχουμε:
ΒΔ.ΑΓ=ΑΒ.ΓΔ+ΒΓ.ΑΔ
οπερ εδει δειξαι

Θεώρημα του Πτολεμαίου Ανισοτητας-χ.ν.κουβελης c.n.couvelis

Σε καθε  τετραπλευρο  το γινομενο των διαγωνιων του ειναι μικροτερο η' ισο με το
αθροισμα των γινομενων των απεναντι πλευρων του ,
η ισοτητα ισχυει εαν το τετραπλευρο ειναι εγγραψιμο

ΑΒΓΔ  τοτε:
ΑΓ . ΒΔ < = ΑΒ . ΓΔ + ΒΓ . ΑΔ

Αποδειξη:

απο τις κορυφες Α,Β φερνουμε τις ημιευθειες Αα,Ββ,οι οποιες τεμνονται στο Ε,
ωστε με την πλευρα ΑΒ να σχηματιζουν,αντιστοιχα,την γωνια ΒΑΕ=γωνια ΓΑΔ,
και,γωνια ΑΒΕ=γωνια ΑΔΓ
τοτε τα τριγωνα ΑΒΕ,ΑΓΔ ειναι ομοια και εχουμε:
ΑΕ/ΑΓ=ΑΒ/ΑΔ=ΒΕ/ΔΓ
ΑΒ/ΑΔ=ΒΕ/ΔΓ  η'  ΒΕ= ΑΒ.ΔΓ  / ΑΔ
επειδη η γωνια ΕΑΓ=γωνια ΒΑΔ και ΑΕ/ΑΓ=ΑΒ/ΑΔ τα τριγωνα ΕΑΓ,ΒΑΔ ειναι ομοια,
επομενως: ΕΓ/ΒΔ=ΑΓ/ΑΔ  η'  ΕΓ= ΒΔ.ΑΓ  / ΑΔ
εφαρμοζωντας τριγωνικη ανισοτικη σχεση στο τριγωνο ΕΒΓ εχουμε:
ΕΓ < ΒΕ + ΒΓ
και αντικαθιστωντας τα ΕΓ,ΒΕ:
ΒΔ.ΑΓ  / ΑΔ <  ΑΒ.ΔΓ  / ΑΔ  + ΒΓ
η'
ΑΓ . ΒΔ <ΑΒ . ΓΔ + ΒΓ . ΑΔ
αν η γωνια ΕΒΓ ειναι ευθεια γωνια,2 ορθες,,η ΕΒΓ ειναι ευθεια γραμμη,τοτε ΕΓ = ΒΕ + ΒΓ,
κι επειδη γωνια ΕΒΓ=γωνια ΑΒΓ + γωνια ΑΒΕ=2 ορθες,και γωνια ΑΒΕ=γωνια ΑΔΓ.
εχουμε γωνια ΑΒΓ + γωνια ΑΔΓ=2 ορθες,επομενως το τετραπλευρο ΑΒΓΔ ειναι εγγραψιμο
και ισχυει η σχεση με ισοτητα:ΑΓ . ΒΔ =ΑΒ . ΓΔ + ΒΓ . ΑΔ
οπερ εδει δειξαι:
ΑΒΓΔ  τοτε:ΑΓ . ΒΔ < = ΑΒ . ΓΔ + ΒΓ . ΑΔ
Σε καθε  τετραπλευρο  το γινομενο των διαγωνιων του ειναι μικροτερο,η' ισο,απο το
αθροισμα των γινομενων των απεναντι πλευρων του ,
η ισοτητα ισχυει εαν το τετραπλευρο ειναι εγγραψιμο
.
.
Υπολογισμος της χορδης του ανθροισματος δυο τοξων τοξου σε κυκλο με ακτινα 1

Τοξο α,χορδη τοξου α=ΑΒ=α
Τοξο β,χορδη τοξου β =ΒΓ=β
Τοξο α+β,χορδη τοξου α+β=ΑΓ=α+β
φερνουμε τη διαμετρο ΒΟΔ,και σχηματιζουμε το εγγεγραμμενο ΑΒΓΔ,
με διαγωνιες:ΑΓ=α+β, ΒΔ=2
πλευρες:ΑΒ=α ,ΒΓ=β ,
και απο το Πυθαγορειο Θεωρημα,αντιστοιχα,στα ορθογωνια τριγωνα:ΒΑΔ,ΒΓΔ
ΑΔ=τετραγωνικη ριζα[4-α.α],
ΓΔ=τετραγωνικη ριζα[4-β.β],
εφαρμοζοντας σ'αυτο το Θεωρημα Πτολεμαιου Ισοτητας,εχουμε:
ΒΔ.ΑΓ=ΑΒ.ΓΔ+ΒΓ.ΑΔ
η'  2.[α+β]=α.τετρ[4-β.β]+β.τετρ[4-α.α]]
η'  α+β= α/2 .τετρ[4-β.β]+β/2 .τετρ[4-α.α]

Υπολογισμος της χορδης της διαφορας δυο τοξων τοξου σε κυκλο με ακτινα 1

η ΑΟΒ διαμετρος
Τοξο α,χορδη τοξου α=ΑΓ=α
Τοξο β,χορδη τοξου β =ΒΓ=β
Τοξο α-β,χορδη τοξου α-β=ΓΔ=α-β
σχηματιζουμε το εγγεγραμμενο ΑΒΓΔ,
με διαγωνιες:
ΑΓ=τετραγωνικη ριζα[4-β.β],Πυθαγορειο Θεωρημα στο ορθογωνιο στο τριγωνο ΑΓΒ
ΒΔ=α
και πλευρες:ΑΒ=2 ,ΒΓ=β,ΓΔ=α-β
και ΔΑ=τετραγωνικη ριζα[4-α.α], ],Πυθαγορειο Θεωρημα στο ορθογωνιο στο
τριγωνο ΔΑΒ
εφαρμοζοντας σ'αυτο το Θεωρημα Πτολεμαιου Ισοτητας,εχουμε:
ΑΓ.ΒΔ=ΑΒ.ΓΔ+ΒΓ.ΔΑ
η'  τετρ[4-β.β].α=2.[α-β]+β.τετρ[4-α.α]
η' α-β=α/2 .τετρ[4-β.β]-β/2 .τετρ[4-α.α]

Υπολογισμος της χορδης του μισου ενος τοξου σε κυκλο με ακτινα 1

Τοξο α,χορδη τοξου α=ΒΔ=α
φερνουμε την καθετη διαμετρο ΑΟΓ στη χορδη ΒΓ του τοξου  α ,την οποια διχο-
τομει καθως και το τοξο α,τοτε στο εγγεγραμμενο τετραπλευρο ΑΒΓΔ εχουμε:
διαγωνιες:ΑΓ=2 ,ΒΔ=α
και πλευρες:ΒΓ=ΓΔ=μ.
ΑΒ=τετραγωνικη ριζα[4-μ.μ]=ΑΔ,Πυθαγορειο Θεωρημα στο ορθογωνιο τριγωνο ΑΒΓ,
και εφαρμοζοντας  σ'αυτο το Θεωρημα Πτολεμαιου Ισοτητας,εχουμε:
ΑΓ.ΒΔ=ΑΒ.ΓΔ+ΒΓ.ΔΑ
η' 2.α=τετρ[4-μ.μ]μ+μ.τετρ[4-μ.μ]
η' α=τετρ[4-μ.μ]μ  η'  μ[εις4] -4.μ[εις2 ]+α[εις2]=0
λυνοντας την εξισωση 4ου βαθμου καταληγουμε:
μ=τετρ[[2-τετρ[4-α.α]]

Υπολογισμος της χορδης  τοξου 36 μοιρων σε κυκλο με ακτινα 1

Τοξο ΑΒ=36 μοιρων,χορδη τοξου ΑΒ=α,
απο το ισκοσκελες τριγωνο ΑΟΒ εχουμε ΟΑ=ΟΒ=1,γωνια ΟΑΒ=γωνια ΟΒΑ=72 μοιρες
φερνουμε τη διχοτομο ΑΔ της γωνιας ΟΑΒ,τοτε:
γωνια ΟΑΔ=ΒΑΔ=36 μοιρες,τα τριγωνα ΟΔΑ,ΒΑΔ ισοσκελη ,με ΔΟ=ΔΑ,
ΑΔ=ΑΒ,ΟΔ=ΑΔ=ΑΒ=α,ΔΒ=1-α
επομενως τα τριγωνα ΟΑΒ,ΔΑΒ ειναι ομοια με ΑΒ/ΔΒ=ΟΒ/ΑΒ
η'  ΑΒ .ΑΒ=ΟΒ .ΔΒ   η'  α.α=1[1-α]  η'  α[εις 2] + α -1=0
λυνοντας την εξισωση καταληγουμε:
α=[τετρ5 -1]/2 =0,618...= 1/φ. το αντιστροφο  της χρυσης τομης φ=1,618..

τωρα προσθετωντας ,αφαιρωνοντας ,διχοτομωντας τοξα μπορεσε ο Κλαυδιος Πτολεμαιος
να κατασκευασει τον πινακανα χορδων των τοξων απο 1/2 μοιρες εως 180 μοιρες για καθε
1/2 μοιρες,
με χορδη 1 μοιρα = 0, 0175.
τοτε απο μ=τετρ[[2-τετρ[4-α.α]]  με α=χορδη 1 μοιρα=0, 0175.

χορδη 1/2 μοιρες=τετρ[[2-τετρ[4-0,0175.0,0175] = 0,00875
.

,