LITTERATURE-ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΑ -Giuseppe Peano's Logic -Gli 5 assiomi di Peano dei numeri naturali- ΚΕΙΜΕΝΑ-TEXTS-Χ.Ν.Κουβελης[C.N.Couvelis}

.
.
LITTERATURE-ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΑ
-Giuseppe Peano's Logic
-Gli   5 assiomi di Peano dei numeri naturali-
ΚΕΙΜΕΝΑ-TEXTS-Χ.Ν.Κουβελης[C.N.Couvelis}

.

.

Giuseppe Peano-χ.ν.κουβελης c.n.couvelis

Giuseppe Peano's Logic-χ.ν.κουβελης c.n.couvelis

Gli  5 assiomi di Peano dei numeri naturali[1889]

[ P1 ]Esiste un numero 0 e N
[ P2 ]Esiste una funzione S:N->N [chiamata 'successore']
[ P3 ]x =/ψ implica S[x]=/S[ψ]
[ P4 ]S[x]=/ 0 per ogni xeN
[ P5 ]se U e un sottoinsieme di N  tale che:
1.0eU
2.xeU implica S[x]eU
allora U=N

[μεταφραση translation c.n.couvelis χ.ν.κουβελης]
Τα 5 αξιωματα του Peano τα οποια θεμελιωνουν το συνολο των Φυσικων Αριθμων:

Ν={0,1,2,3,4,5,...,n,...]
[ P1 ]υπαρχει ενας αριθμος μηδεν 0 που ανηκει στους φυσικους αριθμους
[το μδεν 0 ειναι φυσικος αριθμος]
[ P2 ]υπαρχει μια συναρτηση S:N->N [στο συνολο των φυσικων αριθμων που ονομαζεται
'επομενο'
[για καθε φυσικο αριθμο n,ο επομενος του n,S[n],ειναι επισης φυσικος αριθμος]
[ P3 ]x =/ψ συνεπαγεται S[x]=/S[ψ]
[για ολους τους φυσικους αριθμους χ,ψ,με χ διαφορο του ψ τοτε και ο επομενος του χ
S[χ] ειναι διαφορος του επομενου του ψ  S[ψ]  ]
[ P4 ]ο επομενος S[χ] καθε φυσικου αριθμου χ ειναι διαφορος απ'το μηδεν 0
[κανενος φυσικου αριθμου ο επομενος δεν ειναι το μηδεν]
[ P5 ]αν U ειναι υποσυνολο του Ν τετοιο ωστε:
1.0eu [το μηδεν 0 να ανηκει στο U]
2.αν το χ ανηκει e U κι απ'αυτο συνεπαγεται πως ο επομενος του χ S[χ] ανηκει e στο U
τοτε U=N  [το U ειναι ισο με το N,ειναι το U]

Το 5ο αξιωμα του Peano λεγεται και αξιωμα της Μαθηματικης Επαγωγης:
Εστω μια προταση P[n]
Αν
1.P[0] αληθης
2.Αν P[n]αληθης και συνεπαγεται P[n+1]αληθης
τοτε η προταση P[n] αληθευει για ολους τους φυσικους αριθμους

Ενα παραδειγμα:
αν προσθεσω τους περιττους αριθμους 1,3,5,7,9,11,...παρατηρω:
S1=1=1 εις το τετραγωνον
S2=1+3=4=2 εις το τετραγωνον
S3=1+3+5=9=3 εις το τετραγωνον
S4=1+3+5+7=16=4 εις το τετραγωνον
S5=1+3+5+7+9=25=5 εις το τετραγωνον
S6=1+3+5+7+9+11=36=6 εις το τετραγωνον
τοτε υποθετω[απο το μερικο στο γενικο]:
 'Το αθροισμα των n διαδοχικων περιττων αριθμων 1,3,5,7,...,n ειναι ισο με το τετραγωνο του
πληθους των n' .
Ενα Θαυμασιο Θεωρημα:1+3+5+7+...+[2n-1]=n εις το τετραγωνον,για n [φυσικο αριθμο]=
1,2,3,...
Η Μαθηματικη αποδειξη λυνει τον Γορδιο Δεσμο των απειρων δοκιμων[για καθε ενα με τη
σειρα φυσικο αριθμο n] επαληθευσης της προτασης:
P[n]:1+3+5+7+...+[2n-1]=n εις το τετραγωνον,για n [φυσικο αριθμο]=1,2,3,...
Αποδειξη με το Αξιωμα της Μαθηματικης Επαγωγης
1.για n=1,P[1]=1=1 εις το τετραγωνον,Αληθης
2.εστω για n=k η P[k]:1+3+5+...+[2k-1]=k εις το τετραγωνον,Αληθης
θα αποδειξω την P[k+1] Αληθης,
επειδη P[k+1]=P[k]+[2[k+1]-1] και P[k]=k εις το τετραγωνον, Αληθης ,τοτε:
P[k+1= k εις το τετραγωνον+[2[k+1]-1]=k εις το τετραγωνον+2k+1=[k+1]εις το τετραγωνον,
Αληθης
τοτε P[n]:1+3+5+7+...+[2n-1]=n εις το τετραγωνον,για καθε n [φυσικο αριθμο]=1,2,3,...
 .
.
Giuseppe Peano's 3 Logoi

βεβαιως ειναι επιτρεπτο στον καθενα να προβαλει οποιεσδηποτε υποθεσεις επιθυμει,
και να αναπτυξει τις λογικες συνεπεις που περιεχουν αυτες οι υποθεσεις.Αλλα για να
αξιζει αυτη η εργασια το ονομα της Γεωμετριας,ειναι απαραιτητο αυτες οι υποθεσεις
η' τα αιτηματα,τα αξιωματα,να εκφραζουν το αποτελεσμα των πιο απλων και στοιχειωδων
παρατηρησεων  των φυσικων μορφων.

σε καθε επιστημη,αφου εχουν αναλυθει οι ιδεες,εκφραζοντας τις περισσοτερο περιπλοκες
διαμεσου των περισσοτερο απλων,καποιος βρισκει εναν ορισμενο αριθμο που δεν μπορει
να μειωθουν μεταξυ τους,κι επισης δεν μπορει να τις ορισει παραπερα.Αυτες ειναι οι πρω-
ταρχικες ιδεες της επιστημης,κι ειναι απαραιτητο να τις αποκτησει διαμεσου της εμπειριας,
η' διαμεσου της induction συναγωγης απο το μερικο στο γενικο,ειναι αδυνατον να τις εξηγη-
σει με την deduction την επαγωγη απο το γενικο στο μερικο

οι ερωτησες που σχετιζονται με τα θεμελια των μαθηματικων,αν και επεξεργαζομενες τα
τελευταια χρονια,ακομα στερουνται ικανοποιητικης λυσης.Η αμφιβολια της γλωσσας ειναι
η κυρια πηγη των προβληματων της φιλοσοφιας.Γι'αυτο το λογο ειναι υψιστης σπουδαιοτη-
τας να εξεταζονται προσεκτικα οι συγκεκριμενες  λεξεις που χρησιμοποιουμε. 
.
.
η γραμμη [1 διαστασης ]  που καλυπτει  ολο το επιπεδο [2 διαστασεων]
curve του Giuseppe Peano[1890]
.
.

καμπυλη curve Peano-χ.ν.κουβελης c.n.couvelis

καμπυλη curve Peano
-χ.ν.κουβελης c.n.couvelis
-music J.S.Bach Toccata and Fugue in D minor
https://youtu.be/cz35W4fwoPU


.
.