LITTERATURE-ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΑ -Η ΔΙΑΛΕΚΤΙΚΗ ΕΥΡΕΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ ΓΙΑ ΤΗ ΠΡΟΤΑΣΗ Θ' ΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ Α' ΤΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΗ- ΕΥΚΛΕΙΔΗ Στοιχεια α',θ΄,Τὴν δοθεῖσαν γωνίαν εὐθύγραμμον δίχα τεμεῖν. [μεταφραση χ.ν.κουβελης] ΚΕΙΜΕΝΑ-TEXTS-Χ.Ν.Κουβελης[C.N.Couvelis}

.
.
LITTERATURE-ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΑ
-Η ΔΙΑΛΕΚΤΙΚΗ ΕΥΡΕΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ ΓΙΑ ΤΗ ΠΡΟΤΑΣΗ Θ'
ΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ Α' ΤΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΗ-
ΕΥΚΛΕΙΔΗ Στοιχεια α',θ΄,Τὴν δοθεῖσαν γωνίαν εὐθύγραμμον δίχα τεμεῖν.
[μεταφραση χ.ν.κουβελης]
ΚΕΙΜΕΝΑ-TEXTS-Χ.Ν.Κουβελης[C.N.Couvelis}
.
.

ΕΥΚΛΕΙΔΗ Στοιχεια α,θ.τη δοθεισα ευθυγραμμο γωνια να διχοτομησω-χ.ν.κουβελης
c.n.couvelis
[γιατι τα Στοιχεια του Ευκλειδη,τα Μαθηματικα γενικα,ετσι πρεπει να διδασκονται,ως
Συζητησεις Λογικης]

Η ΔΙΑΛΕΚΤΙΚΗ ΕΥΡΕΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ ΓΙΑ ΤΗ ΠΡΟΤΑΣΗ Θ' ΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ
Α' ΤΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΗ-χ.ν.κουβελης

Ευκλειδης:τωρα,θα συζητησουμε μια γεωμετρικη προταση,μαζι,χωρις εγω σαν τη θαλασ-
σια πλατια ναρκη,τη μουδιαστρα,μοιαζοντας να σου ναρκωσω το νου,να σου μουδιασω
τη  λογικη,επειδη δεν θελω κανενας να με κατηγορησει γι'αυτο,εισαι ετοιμος να συζητη-
σουμε;
Μαθητης:και βεβαια ειμαι ετοιμος
Ευκλειδης:η προταση αφορα τις γωνιες,οχι μια γωνια,αλλα ολες τις γωνιες γενικα,γιατι
οτι γενικα ισχυει εχει μεγαλυτερη αξια απ'οτι μερικα,ετσι δεν ειναι;
Μαθητης:φυσικα ,ετσι ειναι
Ευκλειδης:και δεν εχει πολυ μεγαλυτερη αξια αυτο που το συμπεραινουμε λογικα απ'αυτο
που αισθητηριακα το ισχυριζομαστε;μια για παντα και οχι περιστασιακα;
Μαθητης:ορθα,λογικα παρα αισθητηριακα,για παντα
Ευκλειδης:τωρα ας ερθουμε στη συζητηση μας,ευθυγραμμος γωνια δεν ειναι ο χωρος του
επιπεδου που περικλειεται μεταξυ δυο ημιευθειων οι οποιες εχουν την ιδια αρχη;ετσι
δεν την ορισαμε;
Μαθητης:ναι,ετσι την ορισαμε
Ευκλειδης:τοτε η γωνια ειναι μεγεθος,η' ειναι κατι αλλο;
Μαθητης:και βεβαια,μεγεθος ειναι
Ευκλειδης:τοτε,φυσικα,σαν μεγεθος εχει πολλαπλασια και υποπολλαπλασια,δηλαδη δι-
πλασια,τριπλασια,αλλα και η μιση,το τριτο,το τεταρτο και λοιπα
Μαθητης:φυσικα
Ευκλειδης:και πως μπορει να γινει αυτο;με μια ημιευθεια με κοινη αρχη με τις ημιευθειες
πλευρες της γωνιας,αυτο δεν πρεπει να γινει;
Μαθητης:αυτο
Ευκλειδης:για τις πολλαπλασιες γωνιες η ημιευθεια αυτη θα ειναι στο εσωτερικο της γω-
νιας η' στο εξωτερικο της;
Μαθητης:οπωσδηποτε στο εξωτερικο της
Ευκλειδης:και για τις υποπολλαπλασιες στο εσωτερικο της
Μαθητης:σωστα,στο εσωτερικο της γωνιας
Ευκλειδης:τωρα,ηρθε η ωρα να εξετασουμε τη προταση:''δοσμενη γωνια ευθυγραμμος να
διχοτομηθει '',Τὴν δοθεῖσαν γωνίαν εὐθύγραμμον δίχα τεμεῖν.
Μαθητης:ας το εξετασουμε πως μπορει να γινει αυτο
Ευκλειδης:η ημιευθεια η οποια θα τη διχοτομει συμφωνησαμε πως θα βρισκεται στο εσω-
τερικο της γωνιας και θα εχει κοινη αρχη με τις ημιευθειες πλευρες της
Μαθητης:ετσι συμφωνησαμε
Ευκλειδης:αυτη η ημιευθεια που θα διχοτομει τη γωνια θα ειναι μια η' πολλες;
Μαθητης:φυσικα,μια
Ευκλειδης:σωστα,εμεις πρεπει τοτε να βρουμε ποια ειναι αυτη η μια ημιευθεια απο τις
πολλες,τις απειρες αλλες,γιατι ειναι απειρες,ετσι δεν ειναι;απο ενα σημειο δεν διερχονται
απειρες ευθειες;
Μαθητης:ναι,απειρες,αυτο γνωριζουμε
Ευκλειδης:και,ως εκ τουτου,θα εχουμε και απειρες ημιευθειες
Μαθητης:βεβαιοτατα
Ευκλειδης:η ημιευθεια που εμεις ζηταμε να διχοτομει τη δοσμενη γωνια θα σχηματιζει δυο
ισες γωνιες με καθε μια απο τις ημιευθειες πλευρες της γωνιας
Μαθητης:αφου ειναι διχοτομος της γωνιας,αυτο θα γινει
Ευκλειδης:τοτε θα πρεπει απο τις απειρες ημιευθειες εμεις να σχεδιασουμε εκεινη τη μο-
ναδικη ημιευθεια η οποια ειναι διχοτομος
Μαθητης:αυτη θα πρεπει να σχεδιασουμε
Ευκλειδης:για να την σχεδιασουμε  θα πρεπει να γνωριζουμε δυο σταθερα σημεια της,
επειδη μια ευθεια δεν οριζεται απο δυο σημεια;αυτο δεν γνωριζουμε;
Μαθητης:και βεβαια το γνωριζουμε
Ευκλειδης:το ενα σημειο δεν ειναι η αρχη των ημιευθειων πλευρων της δοσμενης γωνιας,
η κορυφη της ;
Μαθητης:ειναι
Ευκλειδης:τοτε θα πρεπει να βρουμε το αλλο σταθερο σημειο και φυσικα θα βρισκεται στο
εσωτερικο της γωνιας
Μαθητης:οπωσδηποτε αφου η διχοτομος ημιευθεια βρισκεται στο εσωτερικο της γωνιας
Ευκλειδης:σωστα λες,αν αυτο το σημειο το εντοπισουμε,η ημιευθεια που διερχεται απ'
αυτα τα δυο δεν θα ειναι κοινο συνορο των δυο ημιγωνιων απ'την μια κι απ'την αλλη πλευ-
ρα της;
Μαθητης:θα ειναι
Ευκλειδης:αυτο δεν θα συμβαινει και με το ευθυγραμμο τμημα που ενωνει αυτα τα δυο
σημεια και ανηκει στη ζητουμενη διχοτομο;
Μαθητης:ναι,θα ειναι κοινο οριο
Ευκλειδης:αν βρω οτι οι δυο γωνιες που σχηματιζονται απο αυτη τη κοινη ημιευθεια με
καθε μια απο τις δυο ημιευθειες πλευρες της δοσμενης γωνιες ειναι ισες,τοτε αυτη θα
ειναι η διχοτομος την οποια ζηταω
Μαθητης:ετσι,βεβαια,θα ειναι
Ευκλειδης:αν τις ενταξω σε δυο  τριγωνο για να ειναι ισες θα πρεπει τα δυο αυτα τριγωνα
να  ισα,δεν συμφωνεις;
Μαθητης:συμφωνω
Ευκλειδης:αφου οι δυο γωνιες ειναι απ'τη μια πλευρα κι απ'την αλλη πλευρα της ζητουμε-
νης διχοτομου τοτε και τα ζητουμενα τριγωνα θα ειναι κι αυτα ετσι
Μαθητης:ετσι θα ειναι
Ευκλειδης:απ'ολ'αυτα τα τριγωνα,κι ειναι απειρα,θα πρεπει να επιλεξω αυτα που εχουν
κοινη πλευρα το ευθυγραμμο τμημα της ζητουμενης διχοτομου
Μαθητης:ναι,αυτο πρεπει να γινει
Ευκλειδης:η αλλη πλευρα των δυο αυτων τριγωνων δεν θα πρεπει να  ανηκει στις δυο ημι-
ευθειες πλευρες της δοσμενης γωνιας;και δεν θα πρεπει να ισες;
Μαθητης:εκει θα πρεπει να ειναι και μαλιστα ισες
Ευκλειδης:[σχεδιαζει μια γωνια]ας την ονοματισουμε ΒΑΓ,τοτε λαμβανοντας ενα σημειο Δ
στην ημιευθεια  ΑΒ εχω το ευθυγραμμο τμημα ΑΔ και με τον διαβητη χωριζω στην αλλη
ημιευθεια ΑΓ ισο ευθυγραμμο τμημα,το ΑΕ,οι ΑΔ,ΑΕ θα ειναι πλευρες στα δυο τριγωνα
που θελω
Μαθητης:ας ειναι
Ευκλειδης:αυτα τα δυο τριγωνα αφου θελω να ειναι ισα,δεν θα πρεπει να εχουν και τις
δυο αλλες τους πλευρες ισες;και δεν θα ειναι στο εσωτερικο της δοσμενης γωνιας;
Μαθητης:βεβαιοτατα,τις πλευρες ισες και τις δυο στο εσωτερικο της γωνιας
Ευκλειδης:ενα τριγωνο οριζεται απο τρια σημεια,εμεις στα δυο τριγωνα που ζηταμε
γνωριζουμε δυο σημεια τους,στο μεν ενα το Α,Δ,στο δε αλλο το Α,Ε,συμφωνεις;
Μαθητης:και βεβαια συμφωνω
Ευκλειδης:ζηταω τοτε να βρω το τριτο σημειο,ας το ονοματισω Ζ,και μαλιστα στο εσωτε-
ρικο της γωνιας
Μαθητης:αυτο ζηταω
Ευκλειδης:τοτε,επειδη τα τριγωνα ΑΔΖ,ΑΕΖ,θελω να ειναι ισα,δεν θα πρεπει το ΖΔ να ειναι
ισο με το ΖΕ;
Μαθητης:αυτο θα πρεπει
Ευκλειδης:τοτε,δεν θα ειναι το Ζ το κοινο σημειο δυο ισων κυκλων,δηλαδη με ισες ακτινες,
με κεντρα το Δ και το Ε;,δεν γνωριζουμε πως ο κυκλος οριζεται ως  ο γεωμετρικος τοπος
των σημειων του επιπεδου τα οποια ισαπεχουν απο το κεντρο του;
Μαθητης:ετσι οριζεται ο κυκλος,κι αφου το Ζ ειναι το κοινο σημειο των δυο ισων κυκλων
με κεντρα το Δ,Ε τοτε το ΖΔ θα ειναι ισο με το ΖΕ
Ευκλειδης:τοτε αν διαλεξω με το διαβητη ενα ευθυγραμμο τμημα ως ακτινα,και παιρνω το
ΔΕ,οι δυο ισοι κυκλοι με κεντρο και ακτινα το ΔΕ τεμνονται στο σημειο Ζ ,κι επομενως το
ΖΔ,το ΖΕ και το ΔΕ ειναι ισα και το τριγωνο ΔΖΕ ειναι ισοπλευρο τριγωνο
Μαθητης:αυτο συμβαινει
Ευκλειδης:ενωνω το σταθερο σημειο Ζ με το Α,τωρα παρατηρησε πως σχεδιασα δυο τριγω-
να,το ΑΔΖ και το ΑΕΖ,τα οποια εχουν τις  τρεις πλευρες τους  ισες μια προς μια αντιστοιχα,
την ΑΖ κοινη,την ΑΔ ιση με την ΑΕ,και την ΔΖ ιση με την ΕΖ,
 Μαθητης:ναι,αυτο εχουν
Ευκλειδης:δεν γνωριζουμε πως δυο τριγωνα ειναι ισα οταν εχουν τις τρεις πλευρες τους
ισες μια προς μια αντιστοιχα;
Μαθητης:αυτο γνωριζουμε
Ευκλειδης:τοτε τα τριγωνα ΑΔΖ,ΑΕΖ ειναι ισα
Μαθητης:ισα ειναι
Ευκλειδης:και δεν εχουν και τις τρεις γωνιες τους ισες μια προς μια αντιστοιχα;
Μαθητης:και βεβαια,κατα συνεπεια,εχουν
Ευκλειδης:δηλαδη οι γωνιες ΔΑΖ και ΕΑΖ ειναι ισες
Μαθητης:ισες ειναι
Ευκλειδης: αυτες οι γωνιες ΔΑΖ,ΕΑΖ ειναι οι δυο γωνιες στις οποιες η ΑΖ χωριζει την δο-
σμενη γωνια ΒΑΓ που θελαμε να διχοτομησουμε,η ΑΖ τοτε ειναι η ζητουμενη διχοτομος;
Μαθητης:ναι,αυτη ειναι
Ευκλειδης:Τοτε η δοσμενη ευθυγραμμος γωνια  εχει διχοτομηθει,αυτο το οποιο επρεπε
να κατασκευασθει
Μαθητης:ναι,αυτο αυτο το οποιο επρεπε να κατασκευασθει
Ευκλειδης:τωρα ας συνθεσουμε την αποδειξη μας την οποια θα καταγραψουμε στα Στοι-
χεια α' ως προταση θ':
Μαθητης:αυτο ας γινει
Ευκλειδης:[γραφει]
θ΄.Τὴν δοθεῖσαν γωνίαν εὐθύγραμμον δίχα τεμεῖν
Ἔστω ἡ δοθεῖσα γωνία εὐθύγραμμος ἡ ὑπὸ ΒΑΓ. δεῖ δὴ αὐτὴν δίχα τεμεῖν.
Εἰλήφθω ἐπὶ τῆς ΑΒ τυχὸν σημεῖον τὸ Δ, καὶ ἀφῃρήσθω ἀπὸ τῆς ΑΓ τῇ ΑΔ ἴση ἡ ΑΕ,
καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΕ, καὶ συνεστάτω ἐπὶ τῆς ΔΕ τρίγωνον ἰσόπλευρον τὸ ΔΕΖ,
καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΖ· λέγω, ὅτι ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνία δίχα τέτμηται ὑπὸ τῆς ΑΖ εὐθείας.
Ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΔ τῇ ΑΕ, κοινὴ δὲ ἡ ΑΖ, δύο δὴ αἱ ΔΑ, ΑΖ δυσὶ ταῖς ΕΑ,ΑΖ ἴσαι
εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ. καὶ βάσις ἡ ΔΖ βάσει τῇ ΕΖ ἴση ἐστίν· γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΑΖ
γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΑΖ ἴση ἐστίν. Ἡ ἄρα δοθεῖσα γωνία εὐθύγραμμος ἡ ὑπὸ ΒΑΓ δίχα
τέτμηται ὑπὸ τῆς ΑΖ εὐθείας· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.

[μεταφραση χ.ν.κουβελης]
ΕΥΚΛΕΙΔΗ Στοιχεια α',θ΄,τη δοθεισα ευθυγραμμο γωνια να διχοτομησω

Ευκλειδη Αποδειξη
Εστω η δοθεισα ευθυγραμμος γωνια η υπο ΒΑΓ,πρεπει τωρα αυτη να διχοτομησω.
Ας ληφθει επι της ΑΒ τυχον σημειο το Δ,κι ας αφαιρεθει απο τη ΑΓ στην ΑΔ ιση η ΑΕ.
κι ας ενωθει η ΔΕ.κι ας  σχηματισθει επι της ΔΕ τριγωνο ισοπλευρο το ΔΕΖ,κι ας ενωθει
η ΑΖ.λεγω,οτι η υπο ΒΑΓ γωνια εχει διχοτομηθει απο της ΑΖ ευθειας.Επειδη τοτε ιση ειναι
η ΑΔ στην ΑΕ,κοινη δε η ΑΖ,οι δυο τωρα οι ΔΑ,ΑΖ στις δυο τις ΕΑ,ΑΖ ισες ειναι η καθε μια
με τη καθε μια.και η βαση ΔΖ στη βαση ΕΖ ιση ειναι.η γωνια τοτε η υπο της ΔΑΖ στη γωνια
την υπο της ΕΑΖ ιση ειναι.Τοτε η δοθεισα ευθυγραμμος γωνια η υπο της ΒΑΓ εχει διχοτομη-
θει απο της ΑΖ ευθειας.αυτο το οποιο επρεπε να κατασκευασθει.
.
Ευκλειδης:[τελειωντας το γραψιμο]αν αυτο,η διχοτομηση μιας γωνιας,ειναι ευκολο,παρα
πολυ δυσκολο,ειναι η τριχοτομηση μιας γωνιας,οσες προσπαθειες εχω κανει απετυχαν,
κι ισως ειναι αδυνατο να γινει με τη χρηση κανονα και διαβητη
.
[απο το Ανθολογιο του Στοβαιου]καποιος μαθητης που ακουσε το μαθημα της γεωμε-
τριας του Ευκλειδη του ειπε:"Τί δέ μοι πλέον ἔσται ταῦτα μαθόντι;" καὶ ὁ Εὐκλείδης τὸν
παῖδα καλέσας "Δός", ἔφη, "αὐτῷ τριώβολον, ἐπειδὴ δεῖ αὐτῷ ἐξ ὧν μανθάνει κερδαίνειν".
['Τι σε μενα επιπλεον θα'ναι αυτα αν μαθω;'κι ο Ευκλειδης το παιδι βοηθο καλωντας,
'Δωσε' ειπε 'σ'αυτον τριοβολο,επειδη πρεπει αυτος απ'οσα μαθαινει να κερδιζει']
και τοτε καταλαβε ποσο δικιο ειχε ο δασκαλος,ο Πλατωνας,που πανω στην εισοδο της
Ακαδημιας του εγραψε: Μηδείς αγεωμέτρητος εισίτω μοι την θύρα
και στον Πτολεμαιο Α' ο οποιος του ζητησε ενα ευκολο τροπο να καταλαβει το θεωρημα
ο Ευκλειδης του απαντησε πως 'δεν υπαρχει βασιλικη οδος' στη γεωμετρια
.
.
ΕΥΚΛΕΙΔΗ Στοιχεια α', θ' Την δοθεισαν γωνιαν ευθυγραμμον διχα τεμειν
-prove animations c.n.couvelis χ.ν.κουβελης
-music Steve Reich Piano Phase
https://youtu.be/4d60xH4tV20


.
.