LITTERATURE-ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΑ-MATHEMATICS- ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΟΥ- απο τα ΣΤΟΙΧΕΙΑ του Ευκλειδη [Βιβλιο γ']-προταση θεωρημα κβ'- μεταφραση χ.ν.κουβελης ΚΕΙΜΕΝΑ-TEXTS-Χ.Ν.Κουβελης[C.N.Couvelis}

.
.
LITTERATURE-ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΑ
ΚΕΙΜΕΝΑ-TEXTS-Χ.Ν.Κουβελης[C.N.Couvelis}
.
.

απο τα ΣΤΟΙΧΕΙΑ του Ευκλειδη [Βιβλιο γ']-προταση θεωρημα κβ'
-χ.ν.κουβελης c.n.couvelis
.
.
ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΟΥ
απο τα ΣΤΟΙΧΕΙΑ του Ευκλειδη [Βιβλιο γ']-προταση θεωρημα κβ'-
μεταφραση χ.ν.κουβελης
.
κβ΄. Τῶν ἐν τοῖς κύκλοις τετραπλεύρων αἱ ἀπεναντίον γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς
ἴσαι εἰσίν
Ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓΔ, καὶ ἐν αὐτῷ τετράπλευρον ἔστω τὸ ΑΒΓΔ· λέγω, ὅτι αἱ
ἀπεναντίον γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν.
Ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΓ, ΒΔ.
Ἐπεὶ οὖν παντὸς τριγώνου αἱ τρεῖς γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν, τοῦ ΑΒΓ ἄρα
τριγώνου αἱ τρεῖς γωνίαι αἱ ὑπὸ ΓΑΒ, ΑΒΓ, ΒΓΑ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν. ἴση δὲ ἡ
μὲν ὑπὸ ΓΑΒ τῇ ὑπὸ ΒΔΓ· ἐν γὰρ τῷ αὐτῷ τμήματί εἰσι τῷ ΒΑΔΓ·
ἡ δὲ ὑπὸ ΑΓΒ τῇ ὑπὸ ΑΔΒ· ἐν γὰρ τῷ αὐτῷ τμήματί εἰσι τῷ ΑΔΓΒ· ὅλη ἄρα ἡ
ὑπὸ ΑΔΓ ταῖς ὑπὸ ΒΑΓ, ΑΓΒ ἴση ἐστίν. κοινὴ προσκείσθω ἡ ὑπὸ ΑΒΓ· αἱ ἄρα ὑπὸ
ΑΒΓ, ΒΑΓ, ΑΓΒ ταῖς ὑπὸ ΑΒΓ, ΑΔΓ ἴσαι εἰσίν. ἀλλ' αἱ ὑπὸ ΑΒΓ, ΒΑΓ, ΑΓΒ δυσὶν
ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν. καὶ αἱ ὑπὸ ΑΒΓ, ΑΔΓ ἄρα δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν. ὁμοίως δὴ δεί-
ξομεν, ὅτι καὶ αἱ ὑπὸ ΒΑΔ, ΔΓΒ γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν.
Τῶν ἄρα ἐν τοῖς κύκλοις τετραπλεύρων αἱ ἀπεναντίον γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν·
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
.
.
κβ'.οι απεναντι γωνιες των εγγεγραμενων σε κυκλο τετραπλευρων εχουν αθροισμα
ισο με δυο ορθες
Εστω κυκλος και τα σημεια του ΑΒΓΔ, και το εγγεγραμενο σ'αυτον τετραπλευρο
ΑΒΓΔ,
υποστηριζω οτι οι απεναντι γωνιες του εχουν αθροισμα ισον με δυο ορθες
Ας ενωσουμε το Α με το Γ,και το Β με το Δ
Επειδη σε καθε τριγωνο το αθροισμα των τριων γωνιων του ειναι ισο με δυο ορθες,
τοτε του τριγωνου ΑΒΓ οι τρεις γωνιες ΓΑΒ,ΑΒΓ,ΒΓΑ εχουν αθροισμα ισον με δυο
ορθες,
η γωνια ΓΑΒ ειναι ιση με τη γωνια ΒΔΓ επειδη ειναι εγγεγραμμενες[στον ιδιο κυκλο]
στο ιδιο τμημα ΒΑΔΓ[αντιστοιχουν στο ιδιο τοξο ΒΓ ]
και η γωνια ΑΓΒ ειναι ιση με τη γωνια ΑΔΒ επειδη ειναι εγγεγραμμενες[στον ιδιο
κυκλο]στο ιδιο τμημα ΑΔΓΒ[αντιστοιχουν στο ιδιο τοξο ΑΒ]
Επομενως ολοκληρη η γωνια ΑΔΓ ιση ειναι με το αθροισμα των γωνιων ΒΑΓ,ΑΓΒ ,
με κοινη προσκειμενη[απεναντι]την γωνια ΑΒΓ
Επομενως οι γωνιες ΑΒΓ και ΑΔΓ ειναι ισες,επειδη οι γωνιες ΑΒΓ,ΒΑΓ,ΑΓΒ εχουν
αθροισμα ισον με δυο ορθες,τοτε και οι [απεναντι]γωνιες ΑΒΓ και ΑΔΓ εχουν αθροι-
σμα ισον με δυο ορθες
Ομοια θα αποδειξουμε οτι και οι [απεναντι]γωνιες ΒΑΔ και ΔΓΒ εχουν αθροισμα ισον
με δυο ορθες
Επομενως οι απεναντι γωνιες των εγγεγραμενων σε κυκλο τετραπλευρων εχουν αθροι-
σμα ισο με δυο ορθες.
Αυτο το οποιο ακριβως επρεπε να αποδειχθει
.
.
.