.
.
LITTERATURE-ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΑ-ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ-ΑΠΟ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ-EFCLIDIS
-μεταφραση-translation c.n.couvelis-χ.ν.κουβελης-
ΚΕΙΜΕΝΑ-TEXTS-Χ.Ν.Κουβελης[C.N.Couvelis}
.
.
ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ-ΑΠΟ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ-EFCLIDIS
-μεταφραση-translation c.n.couvelis-χ.ν.κουβελης
.
.
Ὅροι κγ΄.
α΄. Σημεῖόν ἐστιν, οὗ μέρος οὐθέν.
-σημειο ειναι αυτο που δεν εχει μερος πουθενα
β΄. Γραμμὴ δὲ μῆκος ἀπλατές.
-η γραμμη ειναι μηκος χωρις πλατος
γ΄. Γραμμῆς δὲ πέρατα σημεῖα.
-τα ακρα γραμμης ειναι σημεια
δ΄. Εὐθεῖα γραμμή ἐστιν, ἥτις ἐξ ἴσου τοῖς ἐφ' ἑαυτῆς σημείοις κεῖται.
-ευθεια γραμμη ειναι αυτη που εκτεινεται εξισου απο τα σημεια της
ε΄. Ἐπιφάνεια δέ ἐστιν, ὃ μῆκος καὶ πλάτος μόνον ἔχει.
-επιφανεια ειναι αυτη,που εχει μηκος και πλατος μονον
ϛ΄. Ἐπιφανείας δὲ πέρατα γραμμαί.
-τα ακρα επιφανειας ειναι γραμμαι
ζ΄. Ἐπίπεδος ἐπιφάνειά ἐστιν, ἥτις ἐξ ἴσου ταῖς ἐφ' ἑαυτῆς εὐθείαις
κεῖται.
-επιπεδη επιφανεια ειναι αυτη,που εκτεινεται εξισου απο τις ευθειες της
η΄. Ἐπίπεδος δὲ γωνία ἐστὶν ἡ ἐν ἐπιπέδῳ δύο γραμμῶν ἁπτομένων ἀλ-
λήλων καὶ μὴ ἐπ' εὐθείας κειμένων πρὸς ἀλλήλας τῶν γραμμῶν κλίσις.
-επιπεδη γωνια ειναι η κλιση δυο τεμνομενων ευθειων του επιπεδου
και που δεν βρισκονται πανω στην ιδια ευθεια
θ΄. Ὅταν δὲ αἱ περιέχουσαι τὴν γωνίαν γραμμαὶ εὐθεῖαι ὦσιν, εὐθύ-
γραμμος καλεῖται ἡ γωνία.
-ευθυγραμμη καλειται η γωνια οταν οι γραμμες που την περιεχουν
ειναι σ'ευθεια γραμμη
ι΄. Ὅταν δὲ εὐθεῖα ἐπ' εὐθεῖαν σταθεῖσα τὰς ἐφεξῆς γωνίας ἴσας ἀλ-
λήλαις ποιῇ, ὀρθὴ ἑκατέρα τῶν ἴσων γωνιῶν ἐστι, καὶ ἡ ἐφεστηκυῖα
εὐθεῖα κάθετος καλεῖται, ἐφ' ἣν ἐφέστηκεν.
-οταν μια ευθεια σταθει σ'αλλη ευθεια και κανει τις δυο εφεξεις
γωνιες ισες,ορθη ονομαζεται καθε μια απο τις ισες γωνιες
και η σταθησα ευθεια ονομαζεται καθετος ευθεια πανω στην
ευθεια ,που σταθηκε
ια΄. Ἀμβλεῖα γωνία ἐστὶν ἡ μείζων ὀρθῆς.
-αμβλεια γωνια ονομαζεται η μεγαλυτερη γωνια απο την ορθη
ιβ΄. Ὀξεῖα δὲ ἡ ἐλάσσων ὀρθῆς.
-οξεια γωνια ονομαζεται η μικροτερη γωνια απο την ορθη
ιγ΄. Ὅρος ἐστίν, ὅ τινός ἐστι πέρας.
-οριο ειναι το ακρο σε κατι
ιδ΄. Σχῆμά ἐστι τὸ ὑπό τινος ἤ τινων ὅρων περιεχόμενον.
-σχημα ειναι αυτο που περιεχεται σε καποιο η' καποια ορια
ιε΄. Κύκλος ἐστὶ σχῆμα ἐπίπεδον ὑπὸ μιᾶς γραμμῆς περιεχόμενον
[ἣ καλεῖται περιφέρεια], πρὸς ἣν ἀφ' ἑνὸς σημείου τῶν ἐντὸς τοῦ
σχήματος κειμένων πᾶσαι αἱ προσπίπτουσαι εὐθεῖαι [πρὸς τὴν
τοῦ κύκλου περιφέρειαν] ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.
-κυκλος ονομαζεται το επιπεδο σχημα που περιεχεται σε
μια γραμμη[η οποια καλειται περιφερεια],προς την οποιαν
ειναι ισες ολες οι ευρισκομενες μεσα στο σχημα προσπιπτου-
σες ευθειες απο ενα σημειο
ιϛ΄. Κέντρον δὲ τοῦ κύκλου τὸ σημεῖον καλεῖται.
-κεντρο του κυκλου αυτο το σημειο καλειται
ιζ΄. Διάμετρος δὲ τοῦ κύκλου ἐστὶν εὐθεῖά τις διὰ τοῦ κέντρου
ἠγμένη καὶ περατουμένη ἐφ' ἑκάτερα τὰ μέρη ὑπὸ τῆς τοῦ κύ-
κλου περιφερείας, ἥτις καὶ δίχα τέμνει τὸν κύκλον.
-διαμετρος του κυκλου ειναι καποια ευθεια που διερχεται
απ'το κεντρο και τελειωνει στα δυο μερη της απο δω κι απο
εκει στην περιφερεια του κυκλου,και η οποια διαιρει τον κυ-
κλο στα δυο
ιη΄. Ἡμικύκλιον δέ ἐστι τὸ περιεχόμενον σχῆμα ὑπό τε τῆς δια-
μέτρου καὶ τῆς ἀπολαμβανομένης ὑπ' αὐτῆς περιφερείας. κέντρον
δὲ τοῦ ἡμικυκλίου τὸ αὐτό, ὃ καὶ τοῦ κύκλου ἐστίν.
-ημικυκλιο ειναι το σχημα που περιεχεται απο την διαμετρο
και την διαιρουμενη απ'αυτην περιφερεια,
κεντρο του ημικυκλιου ειναι αυτο,που ειναι και του κυκλου
ιθ΄. Σχήματα εὐθύγραμμά ἐστι τὰ ὑπὸ εὐθειῶν περιεχόμενα,
τρίπλευρα μὲν τὰ ὑπὸ τριῶν, τετράπλευρα δὲ τὰ ὑπὸ τεσσάρων,
πολύπλευρα δὲ τὰ ὑπὸ πλειόνων ἢ τεσσάρων εὐθειῶν περιε-
χόμενα.
-ευθυγραμμα σχηματα ειναι αυτα που περιεχονται απο
ευθειες,
τριπλευρα απο τρεις,τετραπλευρα απο τεσσερις,πολυπλευρα
απο περισσοτερες απο τεσσερις ευθειες περιεχομενα
κ΄. Τῶν δὲ τριπλεύρων σχημάτων ἰσόπλευρον μὲν τρίγωνόν
ἐστι τὸ τὰς τρεῖς ἴσας ἔχον πλευράς, ἰσοσκελὲς δὲ τὸ τὰς δύο
μόνας ἴσας ἔχον πλευράς, σκαληνὸν δὲ τὸ τὰς τρεῖς ἀνίσους
ἔχον πλευράς.
-απο τα τριπλευρα σχηματα ισοπλευρο τριγωνο ειναι αυτο
που εχει ισες και τις τρεις πλευρες,
ισοσκελες αυτο που εχει ισες μονο τις δυο πλευρες,
σκαληνο αυτο που εχει ανισες τις τρεις πλευρες
κα΄. Ἔτι δὲ τῶν τριπλεύρων σχημάτων ὀρθογώνιον μὲν τρίγωνόν
ἐστι τὸ ἔχον ὀρθὴν γωνίαν, ἀμβλυγώνιον δὲ τὸ ἔχον ἀμβλεῖαν γω-
νίαν, ὀξυγώνιον δὲ τὸ τὰς τρεῖς ὀξείας ἔχον γωνίας.
-ακομη απο τα τριπλευρα σχηματα ορθογωνιο τριγωνο ειναι αυτο
που εχει ορθη γωνια,
αμβλυγωνιο αυτο που εχει αμβλεια γωνια
οξυγωνιο αυτο που εχεις οξειες τις τρεις γωνιες
κβ΄. Τῶν δὲ τετραπλεύρων σχημάτων τετράγωνον μέν ἐστιν,
ὃ ἰσόπλευρόν τέ ἐστι καὶ ὀρθογώνιον, ἑτερόμηκες δέ, ὃ ὀρθογώνιον
μέν, οὐκ ἰσόπλευρον δέ, ῥόμβος δέ, ὃ ἰσόπλευρον μέν, οὐκ ὀρθογώ-
νιον δέ, ῥομβοειδὲς δὲ τὸ τὰς ἀπεναντίον πλευράς τε καὶ γωνίας ἴσας
ἀλλήλαις ἔχον, ὃ οὔτε ἰσόπλευρόν ἐστιν οὔτε ὀρθογώνιον: τὰ δὲ
παρὰ ταῦτα τετράπλευρα τραπέζια καλείσθω.
-απο τα τετραπλευρα σχηματα τετραγωνο ειναι αυτο που ειναι
ισοπλευρο και ορθογωνιο,
ετερομηκες,ορθογωνιο,οχι ισοπλευρο,
ρομβος,ισοπλευρο,οχι ορθογωνιο,
ρομβοειδες αυτο που εχει τις απεναντι πλευρες και γωνιες ισες,που
δεν ειναι ουτε ισοπλευρο ουτε ορθογωνιο,
τα δε αλλα απ'αυτα τετραπλευρα,τραπεζια ας ονομασθουν
κγ΄. Παράλληλοί εἰσιν εὐθεῖαι, αἵτινες ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ οὖσαι
καὶ ἐκβαλλόμεναι εἰς ἄπειρον ἐφ' ἑκάτερα τὰ μέρη ἐπὶ μηδέτερα
συμπίπτουσιν ἀλλήλαις.
-παραλληλες ειναι οι ευθειες,εκεινες που βρισκονται στο ιδιο επι-
πεδο και οταν προεκταθουν στο απειρο και απ'τα δυο τους μερη
καμια δεν συνανταει την αλλη
Αἰτήματα ε΄.
α΄. Ἠιτήσθω ἀπὸ παντὸς σημείου ἐπὶ πᾶν σημεῖον εὐθεῖαν γραμμὴν
ἀγαγεῖν.
-να ζητηται απο καθε σημειο σε καθε σημειο να τραβιεται ευθεια
γραμμη
β΄. Καὶ πεπερασμένην εὐθεῖαν κατὰ τὸ συνεχὲς ἐπ' εὐθείας ἐκβαλεῖν.
-και πεπερασμενη ευθεια κατα συνεχη τροπο να προεκτεινεται σ'ευθεια
γ΄. Καὶ παντὶ κέντρῳ καὶ διαστήματι κύκλον γράφεσθαι.
-και απο καθε κεντρο και μηκος να σχεδιαζεται κυκλος
δ΄. Καὶ πάσας τὰς ὀρθὰς γωνίας ἴσας ἀλλήλαις εἶναι.
-και ολες οι ορθες γωνιες μεταξυ τους ισες ειναι
ε΄. Καὶ ἐὰν εἰς δύο εὐθείας εὐθεῖα ἐμπίπτουσα τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ
αὐτὰ μέρη γωνίας δύο ὀρθῶν ἐλάσσονας ποιῇ, ἐκβαλλομένας τὰς
δύο εὐθείας ἐπ' ἄπειρον συμπίπτειν, ἐφ' ἃ μέρη εἰσὶν αἱ τῶν δύο
ὀρθῶν ἐλάσσονες.
-και αν σε δυο ευθειες η ευθεια που τις τεμνει τις εντος και επι
τα αυτα μερη γωνιες μικροτερες απο δυο ορθες κανει,προεκτει-
νομενες οι δυο ευθειες στο απειρο συναντιονται,προς το μερος
που ειναι οι δυο γωνιες οι μικροτερες απο τις δυο ορθες
Κοιναί Ἒνοιαι θ΄.
α΄. Τὰ τῷ αὐτῷ ἴσα καὶ ἀλλήλοις ἐστὶν ἴσα.
-αυτα που ειναι ισα με το ιδιο και το ενα με το αλλο ειναι ισα
β΄. Καὶ ἐὰν ἴσοις ἴσα προστεθῇ, τὰ ὅλα ἐστὶν ἴσα.
-και αν σε ισα ισα προστεθουν τα αθροισματα ισα ειναι
γ΄. Καὶ ἐὰν ἀπὸ ἴσων ἴσα ἀφαιρεθῇ, τὰ καταλειπόμενά ἐστιν ἴσα.
-και αν απο ισα ισα αφαιρεθουν ,τα υπολοιπα ισα εινα
δ΄. Καὶ ἐὰν ἀνίσοις ἴσα προστεθῇ, τὰ ὅλα ἐστὶν ἄνισα.
-και αν σε ανισα ισα προστεθουν,τα αθροισματα ειναι ανισα
ε΄. Καὶ τὰ τοῦ αὐτοῦ διπλάσια ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν.
-και τα διπλασια του ιδιου ισα το ενα με το αλλο ειναι
ϛ΄. Καὶ τὰ τοῦ αὐτοῦ ἡμίση ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν.
-και τα μισα του ιδιου ισα το ενα με το αλλο ειναι
ζ΄. Καὶ τὰ ἐφαρμόζοντα ἐπ' ἄλληλα ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν.
-και αυτα που εφαρμοζουν το ενα με το αλλο ισα το ενα με
το αλλο ειναι
η΄. Καὶ τὸ ὅλον τοῦ μέρους μεῖζον [ἐστιν].
-και το ολο απο το μερος ειναι μεγαλυτερο
θ΄. Καὶ δύο εὐθεῖαι χωρίον οὐ περιέχουσιν.
-και δυο ευθειες δεν περιεχουν χωρο
.
.
ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ-Η ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΤΟΥ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ
[ΣΤΟΙΧΕΙΑ του Ευκλειδη-Βιβλιο 1,Προταση 47}
[Αρχαιο κειμενο-μεταφραση χ.ν.κουβελης]
.
1.47] ἐν τοῖς ὀρθογωνίοις τριγώνοις τὸ ἀπὸ τῆς τὴν ὀρθὴν γωνίαν
ὑποτεινούσης πλευρᾶς τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν τὴν
ὀρθὴν γωνίαν περιεχουσῶν πλευρῶν τετραγώνοις.
ἔστω τρίγωνον ὀρθογώνιον τὸ ΑΒΓ ὀρθὴν ἔχον τὴν ὑπὸ ΒΑΓ
γωνίαν· λέγω, ὅτι τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ
τῶν ΒΑ, ΑΓ τετραγώνοις.
ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ μὲν τῆς ΒΓ τετράγωνον τὸ ΒΔΕΓ, ἀπὸ
δὲ τῶν ΒΑ, ΑΓ τὰ ΗΒ, ΘΓ, καὶ διὰ τοῦ Α ὁποτέρᾳ τῶν ΒΔ, ΓΕ
παράλληλος ἤχθω ἡ ΑΛ· καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΔ, ΖΓ. καὶ ἐπεὶ
ὀρθή ἐστιν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΒΑΓ, ΒΑΗ γωνιῶν, πρὸς δή τινι
εὐθείᾳ τῇ ΒΑ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Α δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΓ,
ΑΗ μὴ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη κείμεναι τὰς ἐφεξῆς γωνίας δυσὶν ὀρθαῖς
ἴσας ποιοῦσιν· ἐπ᾽ εὐθείας ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΑ τῇ ΑΗ. διὰ τὰ αὐτὰ
δὴ καὶ ἡ ΒΑ τῇ ΑΘ ἐστιν ἐπ᾽ εὐθείας. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ
ΔΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΖΒΑ —ὀρθὴ γὰρ ἑκατέρα— κοινὴ προσκεί-
σθω ἡ ὑπὸ ΑΒΓ· ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΒΑ ὅλῃ τῇ ὑπὸ ΖΒΓ ἐστιν ἴση.
καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΔΒ τῇ ΒΓ, ἡ δὲ ΖΒ τῇ ΒΑ, δύο δὴ αἱ ΔΒ,
ΒΑ δύο ταῖς ΖΒ, ΒΓ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ· καὶ γωνία ἡ ὑπὸ
ΔΒΑ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΖΒΓ ἴση· βάσις ἄρα ἡ ΑΔ βάσει τῇ ΖΓ {ἐστιν}
ἴση, καὶ τὸ ΑΒΔ τρίγωνον τῷ ΖΒΓ τριγώνῳ ἐστὶν ἴσον· καὶ {ἐστι}
τοῦ μὲν ΑΒΔ τριγώνου διπλάσιον τὸ ΒΛ παραλληλόγραμμον·
βάσιν τε γὰρ τὴν αὐτὴν ἔχουσι τὴν ΒΔ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς εἰσι πα-
ραλλήλοις ταῖς ΒΔ, ΑΛ· τοῦ δὲ ΖΒΓ τριγώνου διπλάσιον τὸ ΗΒ
τετράγωνον· βάσιν τε γὰρ πάλιν τὴν αὐτὴν ἔχουσι τὴν ΖΒ καὶ ἐν
ταῖς αὐταῖς εἰσι παραλλήλοις ταῖς ΖΒ, ΗΓ. {τὰ δὲ τῶν ἴσων δι-
πλάσια ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν·} ἴσον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΒΛ παραλλη-
λόγραμμον τῷ ΗΒ τετραγώνῳ. ὁμοίως δὴ ἐπιζευγνυμένων τῶν
ΑΕ, ΒΚ δειχθήσεται καὶ τὸ ΓΛ παραλληλόγραμμον ἴσον τῷ ΘΓ
τετραγώνῳ· ὅλον ἄρα τὸ ΒΔΕΓ τετράγωνον δυσὶ τοῖς ΗΒ, ΘΓ
τετραγώνοις ἴσον ἐστίν. καί ἐστι τὸ μὲν ΒΔΕΓ τετράγωνον ἀπὸ
τῆς ΒΓ ἀναγραφέν, τὰ δὲ ΗΒ, ΘΓ ἀπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ. τὸ ἄρα ἀπὸ
τῆς ΒΓ πλευρᾶς τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ
πλευρῶν τετραγώνοις.
ἐν ἄρα τοῖς ὀρθογωνίοις τριγώνοις τὸ ἀπὸ τῆς τὴν ὀρθὴν γωνίαν
ὑποτεινούσης πλευρᾶς τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν τὴν
ὀρθὴν {γωνίαν} περιεχουσῶν πλευρῶν τετραγώνοις· ὅπερ ἔδει
δεῖξαι.
.
[μεταφραση χ.ν.κουβελης]
στα ορθογωνια τριγωνα το τετραγωνο της υποτεινουσας ,της
πλευρας απεναντι απο την ορθη γωνια,ειναι ισο με τα τετρα-
γωνα των πλευρων που περιεχουν την ορθη γωνια
εστω ορθογωνιο τριγωνο ΑΒΓ που εχει τη γωνια ΒΑΓ ορθη.
λεω[υποθετω]:πως το τετραγωνο της ΒΓ ειναι ισο με τα τετρα-
γωνα των ΒΑ,ΑΓ
ας σχεδιασω απο τη ΒΓ το τετραγωνο ΒΔΕΙ,απο τις ΒΑ,ΑΓ τα
τετραγωνα ΗΒ,ΘΓ και δια Α σε καθε μια απο τις ΒΔ,ΓΕ φερνω
την παραλληλο ΑΛ,κι ας συνδεθουν τα ΑΔ,ΖΓ,και επειδη καθε
γωνια ΒΑΓ,ΒΑΗ ειναι ορθη,αφου προς την ευθεια ΒΑ και προς
το σημειο της Α οι δυο ευθειες ΑΓ,ΑΗ δεν βρισκονται στο ιδιο
μερος τις εφεξης γωνιες τις κανουν ισες με δυο ορθες γωνιες,
ευθεια γωνια,επομενως σε ευθεια ειναι η ΓΑ με την ΑΗ,
για τον ιδιο λογο σε ευθεια ειναι και η ΒΑ με τη ΑΘ,
και επειδη η γωνια ΔΒΓ ειναι ιση με τη γωνια ΖΒΑ-αφου καθεμια
ορθη-αν τους κανω κοινη,τους προσθεσω,τη γωνια ΑΒΓ τοτε
το αθροισμα,ολη,η γωνια ΔΒΑ ειναι ιση με το αθροισμα,ολη,τη γωνια
ΖΒΓ,και επειδη ειναι ιση η ΔΒ με τη ΒΓ,και η ΖΒ με τη ΒΑ,οι ΔΒ,ΒΑ
με τις ΖΒ,ΒΓ καθεμια με καθεμια,και η γωνια ΔΒΑ ιση με τη ΖΒΓ,
τοτε η βαση ΑΔ ειναι ιση με τη βαση ΖΓ,και το τριγωνο ΔΒΑ
ειναι ισο με το τριγωνο ΖΒΓ,και ειναι το παραλληλογραμμο ΒΛ
διπλασιο του τριγωνου ΑΒΔ,αφου εχουν την ιδια βαση τη ΒΔ και
ειναι στις ιδιες παραλληλες στις ΒΔ,ΑΛ,το ΗΒ τετραγωνο ειναι διπλα-
σιο του τριγωνου ΖΒΓ,παλι εχουν την ιδια βαση την ΖΒ και ειναι
στις ιδιες παραλληλες στις ΖΒ,ΗΓ,[τα διπλασια ισων ειναι το ενα
με το αλλο ισα],επομενως ισο ειναι και το παραλληλογραμμο ΒΛ
με το τετραγωνο ΗΒ,ομοια συνδεδεμενων των ΑΕ,ΒΕ αποδειχνεται
και το παραλληλογραμμο ΓΛ ισο με το τετραγωνο ΘΓ,
επομενως ολοκληρο το τετραγωνο ΒΔΕΓ ειναι ισο και με τα δυο τετρα-
γωνα ΗΒ,ΘΓ μαζι,και ειναι το τετραγωνο ΒΔΕΓ σχεδιασμενο απο
την ΒΓ,και τα τετραγωνα ΗΒ,ΘΓ απο τις ΒΑ,ΑΓ,επομενως το τετραγωνο
απο τη πλευρα ΒΓ ειναι ισο με τα τετραγωνα απο τις πλευρες ΒΑ,ΑΓ.
επομενως στα ορθογωνια τριγωνα το τετραγωνο της υποτεινουσας,
της πλευρας απεναντι απο την ορθη γωνια,ειναι ισο με τα τετρα-
γωνα των πλευρων που περιεχουν την ορθη γωνια.[οπερ εδει δειξαι].
αυτο ακριβως το οποιο επρεπε να αποδειχθει
.
.
απο τα ΣΤΟΙΧΕΙΑ του Ευκλειδη [Βιβλιο γ']-προταση θεωρημα κβ'-
μεταφραση χ.ν.κουβελης
.
κβ΄. Τῶν ἐν τοῖς κύκλοις τετραπλεύρων αἱ ἀπεναντίον γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς
ἴσαι εἰσίν
Ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓΔ, καὶ ἐν αὐτῷ τετράπλευρον ἔστω τὸ ΑΒΓΔ· λέγω, ὅτι αἱ
ἀπεναντίον γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν.
Ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΓ, ΒΔ.
Ἐπεὶ οὖν παντὸς τριγώνου αἱ τρεῖς γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν, τοῦ ΑΒΓ ἄρα
τριγώνου αἱ τρεῖς γωνίαι αἱ ὑπὸ ΓΑΒ, ΑΒΓ, ΒΓΑ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν. ἴση δὲ ἡ
μὲν ὑπὸ ΓΑΒ τῇ ὑπὸ ΒΔΓ· ἐν γὰρ τῷ αὐτῷ τμήματί εἰσι τῷ ΒΑΔΓ·
ἡ δὲ ὑπὸ ΑΓΒ τῇ ὑπὸ ΑΔΒ· ἐν γὰρ τῷ αὐτῷ τμήματί εἰσι τῷ ΑΔΓΒ· ὅλη ἄρα ἡ
ὑπὸ ΑΔΓ ταῖς ὑπὸ ΒΑΓ, ΑΓΒ ἴση ἐστίν. κοινὴ προσκείσθω ἡ ὑπὸ ΑΒΓ· αἱ ἄρα ὑπὸ
ΑΒΓ, ΒΑΓ, ΑΓΒ ταῖς ὑπὸ ΑΒΓ, ΑΔΓ ἴσαι εἰσίν. ἀλλ' αἱ ὑπὸ ΑΒΓ, ΒΑΓ, ΑΓΒ δυσὶν
ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν. καὶ αἱ ὑπὸ ΑΒΓ, ΑΔΓ ἄρα δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν. ὁμοίως δὴ δεί-
ξομεν, ὅτι καὶ αἱ ὑπὸ ΒΑΔ, ΔΓΒ γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν.
Τῶν ἄρα ἐν τοῖς κύκλοις τετραπλεύρων αἱ ἀπεναντίον γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν·
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
.
.
κβ'.οι απεναντι γωνιες των εγγεγραμενων σε κυκλο τετραπλευρων εχουν αθροισμα
ισο με δυο ορθες
Εστω κυκλος και τα σημεια του ΑΒΓΔ, και το εγγεγραμενο σ'αυτον τετραπλευρο
ΑΒΓΔ,
υποστηριζω οτι οι απεναντι γωνιες του εχουν αθροισμα ισον με δυο ορθες
Ας ενωσουμε το Α με το Γ,και το Β με το Δ
Επειδη σε καθε τριγωνο το αθροισμα των τριων γωνιων του ειναι ισο με δυο ορθες,
τοτε του τριγωνου ΑΒΓ οι τρεις γωνιες ΓΑΒ,ΑΒΓ,ΒΓΑ εχουν αθροισμα ισον με δυο
ορθες,
η γωνια ΓΑΒ ειναι ιση με τη γωνια ΒΔΓ επειδη ειναι εγγεγραμμενες[στον ιδιο κυκλο]
στο ιδιο τμημα ΒΑΔΓ[αντιστοιχουν στο ιδιο τοξο ΒΓ ]
και η γωνια ΑΓΒ ειναι ιση με τη γωνια ΑΔΒ επειδη ειναι εγγεγραμμενες[στον ιδιο
κυκλο]στο ιδιο τμημα ΑΔΓΒ[αντιστοιχουν στο ιδιο τοξο ΑΒ]
Επομενως ολοκληρη η γωνια ΑΔΓ ιση ειναι με το αθροισμα των γωνιων ΒΑΓ,ΑΓΒ ,
με κοινη προσκειμενη[απεναντι]την γωνια ΑΒΓ
Επομενως οι γωνιες ΑΒΓ και ΑΔΓ ειναι ισες,επειδη οι γωνιες ΑΒΓ,ΒΑΓ,ΑΓΒ εχουν
αθροισμα ισον με δυο ορθες,τοτε και οι [απεναντι]γωνιες ΑΒΓ και ΑΔΓ εχουν αθροι-
σμα ισον με δυο ορθες
Ομοια θα αποδειξουμε οτι και οι [απεναντι]γωνιες ΒΑΔ και ΔΓΒ εχουν αθροισμα ισον
με δυο ορθες
Επομενως οι απεναντι γωνιες των εγγεγραμενων σε κυκλο τετραπλευρων εχουν αθροι-
σμα ισο με δυο ορθες.
Αυτο το οποιο ακριβως επρεπε να αποδειχθει
.
.
ΕΥΚΛΕΙΔΗ ΣΤΟΙΧΕΙΑ Βιβλιο δ'-ια΄. Εις τον δοθεντα κυκλον κυκλον πενταγωνον
ισοπλευρον τε και ισογωνιον εγγραψαι-μεταφραση χ.ν.κουβελης c.n.couvelis
.
.
ΕΥΚΛΕΙΔΗ ΣΤΟΙΧΕΙΑ Βιβλιο δ'
ια΄. Εἰς τὸν δοθέντα κύκλον πεντάγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον ἐγγράψαι
Ἔστω ὁ δοθεὶς κύκλος ὁ ΑΒΓΔΕ· δεῖ δὴ εἰς τὸν ΑΒΓΔΕ κύκλον πεντάγωνον
ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον ἐγγράψαι.
Ἐκκείσθω τρίγωνον ἰσοσκελὲς τὸ ΖΗΘ διπλασίονα ἔχον ἑκατέραν τῶν πρὸς τοῖς Η,
Θ γωνιῶν τῆς πρὸς τῷ Ζ, καὶ ἐγγεγράφθω εἰς τὸν ΑΒΓΔΕ κύκλον τῷ ΖΗΘ τριγώνῳ
ἰσογώνιον τρίγωνον τὸ ΑΓΔ, ὥστε τῇ μὲν πρὸς τῷ Ζ γωνίᾳ ἴσην εἶναι τὴν ὑπὸ ΓΑΔ,
ἑκατέραν δὲ τῶν πρὸς τοῖς Η, Θ ἴσην ἑκατέρᾳ τῶν ὑπὸ ΑΓΔ, ΓΔΑ· καὶ ἑκατέρα ἄρα
τῶν ὑπὸ ΑΓΔ, ΓΔΑ τῆς ὑπὸ ΓΑΔ ἐστι διπλῆ. τετμήσθω δὴ ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΑΓΔ,
ΓΔΑ δίχα ὑπὸ ἑκατέρας τῶν ΓΕ, ΔΒ εὐθειῶν, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΒ, ΒΓ, [ΓΔ],
ΔΕ, ΕΑ.
Ἐπεὶ οὖν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΑΓΔ, ΓΔΑ γωνιῶν διπλασίων ἐστὶ τῆς ὑπὸ ΓΑΔ, καὶ
τετμημέναι εἰσὶ δίχα ὑπὸ τῶν ΓΕ, ΔΒ εὐθειῶν, αἱ πέντε ἄρα γωνίαι αἱ ὑπὸ ΔΑΓ, ΑΓΕ,
ΕΓΔ, ΓΔΒ, ΒΔΑ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. αἱ δὲ ἴσαι γωνίαι ἐπὶ ἴσων περιφερειῶν βεβήκασιν·
αἱ πέντε ἄρα περιφέρειαι αἱ ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ, ΕΑ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. ὑπὸ δὲ τὰς ἴσας
περιφερείας ἴσαι εὐθεῖαι ὑποτείνουσιν· αἱ πέντε ἄρα εὐθεῖαι αἱ ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ, ΕΑ
ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν· ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓΔΕ πεντάγωνον. λέγω δή, ὅτι καὶ
ἰσογώνιον. ἐπεὶ γὰρ ἡ ΑΒ περιφέρεια τῇ ΔΕ περιφερείᾳ ἐστὶν ἴση, κοινὴ προσκείσθω
ἡ ΒΓΔ· ὅλη ἄρα ἡ ΑΒΓΔ περιφέρεια ὅλῃ τῇ ΕΔΓΒ περιφερείᾳ ἐστὶν ἴση. καὶ βέβηκεν
ἐπὶ μὲν τῆς ΑΒΓΔ περιφερείας γωνία ἡ ὑπὸ ΑΕΔ, ἐπὶ δὲ τῆς ΕΔΓΒ περιφερείας γωνία
ἡ ὑπὸ ΒΑΕ· καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΕ ἄρα γωνία τῇ ὑπὸ ΑΕΔ ἐστιν ἴση. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ
ἑκάστη τῶν ὑπὸ ΑΒΓ, ΒΓΔ, ΓΔΕ γωνιῶν ἑκατέρᾳ τῶν ὑπὸ ΒΑΕ, ΑΕΔ ἐστιν ἴση·
ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓΔΕ πεντάγωνον. ἐδείχθη δὲ καὶ ἰσόπλευρον.
Εἰς ἄρα τὸν δοθέντα κύκλον πεντάγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον ἐγγέγραπται·
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
[μεταφραση χ.ν.κουβελης]
ια'.Στον δοθεντα κυκλο πενταγωνο και ισοπλευρο και ισογωνιο να εγγραφει
Εστω ο δοθεις κυκλος ΑΒΓΔΕ.πρεπει στον ΑΒΓΔΕ κυκλο πενταγωνο και ισοπλευρο
και ισογωνιο να εγγραφει
Ας ειναι τριγωνο ισοσκελες ΗΖΘ το οποιο εχει διπλασια καθε μια απο τις γωνιες
στα Η,Θ της γωνιας προς το Ζ,και ας εγγραφει στον κυκλο ΑΒΓΔΕ στο ΖΗΘ τριγω-
νο ισογωνιο τριγωνο το ΑΓΔ,ωστε στη γωνια προς το Ζ ιση ειναι η υπο ΓΔΑ,καθε μια
δε απο τις γωνιες προς τα Η,Θ ιση με καθε μια απο τις υπο ΑΓΔ,ΓΔΑ,και καθε μια
επομενως απο τις υπο ΑΓΔ,ΓΔΑ της υπο ΓΑΔ ειναι διπλασια.ας διχοτομηθει καθε
μια απο τις υπο ΑΓΔ,ΓΔΑ απο καθε μια των ΓΕ,ΔΒ ευθειων,και ας συνδεθουν οι ΑΒ,
ΒΓ,ΓΔ,ΔΕ,ΕΑ
Επειδη λοιπον καθε μια απο τις υπο ΑΓΔ,ΓΔΑ γωνιες διπλασιες ειναι της υπο ΓΑΔ,
και διχοτομημενες ειναι απο των ,ΔΒ ευθειων,οι πεντε επομενως γωνιες υπο ΔΑΓ,
ΑΓΕ,ΕΓΔ,ΓΔΒ,ΒΔΑ ισες η μια με την αλλη ειναι,οι δε ισες γωνιες επι ισων περιφερειων
[τοξων] βαινουν.οι πεντε επομενως περιφερειες[τοξα] οι ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ, ΕΑ,ισες η
μια με την αλλη ειναι.υπο δε τις ισες περιφερειες[τοξα]ισες ευθειες[τμηματα]εκτει-
νονται.οι πεντε επομενως ευθεις οι ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ, ΕΑ,ισες η μια με την αλλη ειναι.
ισοπλευρο επομενως ειναι το ΑΒΓΔΕ πενταγωνο.λεω,πραγματι,οτι και ισογωνιο.επειδη
λοιπον η ΑΒ περιφερεια[τοξο] με την ΔΕ περιφερεια[τοξο] ειναι ιση,κοινη ας τοποθε-
τηθει πλαι η ΒΓΔ.ολη επομενως η ΑΒΓΔ περιφερεια[τοξο] σε ολη την ΕΔΓΒ περιφερεια
[τοξο] ειναι ιση.και βαινει επι μεν της ΑΒΓΔ περιφερειας[τοξου] γωνια η υπο ΑΕΔ,επι
δε της ΕΔΓΒ περιφερειας[τοξου] γωνια η υπο ΒΑΕ.και η υπο ΒΑΕ επομενως γωνια
στην υπο ΑΕΔ ειναι ιση.για τα ιδια,πραγματι,και καθε μια των υπο ΑΒΓ, ΒΓΔ, ΓΔΕ γω-
νιων με καθε μια απο των υπο ΒΑΕ, ΑΕΔ ειναι ιση.ισογωνιο επομενως ειναι το ΑΒΓΔΕ
πενταγωνο.αποδειχθηκε δε και ισοπλευρο.
Επομενως στον δοθεντα κυκλο πενταγωνο και ισοπλευρο και ισογωνιο εχει εγγραφει.
αυτο το οποιο επρεπε να κανουμε
[να κατασκευασθει]
.
.
.jpg)
ΕΥΚΛΕΙΔΗ ΣΤΟΙΧΕΙΑ Βιβλιο δ'-ι΄.Ισοσκελες τριγωνον συστησασθαι εχον εκατεραν
των προς τη βασει γωνιων διπλασιονα της λοιπης-μεταφραση χ.ν.κουβελης c.n.couvelis
.
.
ΕΥΚΛΕΙΔΗ ΣΤΟΙΧΕΙΑ-Βιβλιο δ'
ι΄. Ἰσοσκελὲς τρίγωνον συστήσασθαι ἔχον ἑκατέραν τῶν πρὸς τῇ βάσει γωνιῶν διπλασίονα
τῆς λοιπῆς
Ἐκκείσθω τις εὐθεῖα ἡ ΑΒ, καὶ τετμήσθω κατὰ τὸ Γ σημεῖον, ὥστε τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ
περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον εἶναι τῷ ἀπὸ τῆς ΓΑ τετραγώνῳ· καὶ κέντρῳ τῷ Α καὶ
διαστήματι τῷ ΑΒ κύκλος γεγράφθω ὁ ΒΔΕ, καὶ ἐνηρμόσθω εἰς τὸν ΒΔΕ κύκλον τῇ ΑΓ
εὐθείᾳ μὴ μείζονι οὔσῃ τῆς τοῦ ΒΔΕ κύκλου διαμέτρου ἴση εὐθεῖα ἡ ΒΔ· καὶ ἐπεζεύ-
χθωσαν αἱ ΑΔ, ΔΓ, καὶ περιγεγράφθω περὶ τὸ ΑΓΔ τρίγωνον κύκλος ὁ ΑΓΔ.Καὶ ἐπεὶ
τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΓ, ἴση δὲ ἡ ΑΓ τῇ ΒΔ, τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΒ,
ΒΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΒΔ. καὶ ἐπεὶ κύκλου τοῦ ΑΓΔ εἴληπταί τι σημεῖον ἐκτὸς τὸ Β,
καὶ ἀπὸ τοῦ Β πρὸς τὸν ΑΓΔ κύκλον προσπεπτώκασι δύο εὐθεῖαι αἱ ΒΑ, ΒΔ, καὶ ἡ μὲν
αὐτῶν τέμνει, ἡ δὲ προσπίπτει, καί ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΒΔ, ἡ ΒΔ
ἄρα ἐφάπτεται τοῦ ΑΓΔ κύκλου. ἐπεὶ οὖν ἐφάπτεται μὲν ἡ ΒΔ, ἀπὸ δὲ τῆς κατὰ τὸ Δ ἐπα-
φῆς διῆκται ἡ ΔΓ, ἡ ἄρα ὑπὸ ΒΔΓ γωνία ἴση ἐστὶ τῇ ἐν τῷ ἐναλλὰξ τοῦ κύκλου τμήματι
γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΔΑΓ. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΔΓ τῇ ὑπὸ ΔΑΓ, κοινὴ προσκείσθω ἡ ὑπὸ
ΓΔΑ· ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΔΑ ἴση ἐστὶ δυσὶ ταῖς ὑπὸ ΓΔΑ, ΔΑΓ. ἀλλὰ ταῖς ὑπὸ ΓΔΑ, ΔΑΓ
ἴση ἐστὶν ἡ ἐκτὸς ἡ ὑπὸ ΒΓΔ· καὶ ἡ ὑπὸ ΒΔΑ ἄρα ἴση ἐστὶ τῇ ὑπὸ ΒΓΔ. ἀλλὰ ἡ ὑπὸ ΒΔΑ
τῇ ὑπὸ ΓΒΔ ἐστιν ἴση, ἐπεὶ καὶ πλευρὰ ἡ ΑΔ τῇ ΑΒ ἐστιν ἴση· ὥστε καὶ ἡ ὑπὸ ΔΒΑ τῇ
ὑπὸ ΒΓΔ ἐστιν ἴση. αἱ τρεῖς ἄρα αἱ ὑπὸ ΒΔΑ, ΔΒΑ, ΒΓΔ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. καὶ ἐπεὶ ἴση
ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΔΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΒΓΔ, ἴση ἐστὶ καὶ πλευρὰ ἡ ΒΔ πλευρᾷ τῇ ΔΓ. ἀλλὰ ἡ ΒΔ
τῇ ΓΑ ὑπόκειται ἴση· καὶ ἡ ΓΑ ἄρα τῇ ΓΔ ἐστιν ἴση· ὥστε καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΓΔΑ γωνίᾳ
τῇ ὑπὸ ΔΑΓ ἐστιν ἴση· αἱ ἄρα ὑπὸ ΓΔΑ, ΔΑΓ τῆς ὑπὸ ΔΑΓ εἰσι διπλασίους. ἴση δὲ ἡ ὑπὸ
ΒΓΔ ταῖς ὑπὸ ΓΔΑ, ΔΑΓ· καὶ ἡ ὑπὸ ΒΓΔ ἄρα τῆς ὑπὸ ΓΑΔ ἐστι διπλῆ. ἴση δὲ ἡ ὑπὸ ΒΓΔ
ἑκατέρᾳ τῶν ὑπὸ ΒΔΑ, ΔΒΑ· καὶ ἑκατέρα ἄρα τῶν ὑπὸ ΒΔΑ, ΔΒΑ τῆς ὑπὸ ΔΑΒ ἐστι
διπλῆ.
Ἰσοσκελὲς ἄρα τρίγωνον συνέσταται τὸ ΑΒΔ ἔχον ἑκατέραν τῶν πρὸς τῇ ΔΒ βάσει
γωνιῶν διπλασίονα τῆς λοιπῆς· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
[μεταφραση χ.ν.κουβελης]
ι' ισοσκελες τριγωνο να κατασκευασθει το οποιο εχει καθε μια απο τις προς
τη βαση γωνιες διπλασια της λοιπης
Ας ειναι καποια ευθεια[τμημα]ΑΒ] και ας τμηθει κατα το Γ σημειο,ωστε το υπο
των ΑΒ,ΒΓπεριεχομενον ορθογωνιον[ΑΒ.ΒΓ] ισο ειναι με το απο της ΓΑ τετραγωνο
[ΓΑ .ΓΑ].και με κεντρο το Α και με διαστημα το ΑΒ κυκλος ας γραφει ο ΒΔΕ,και
ας συναρμοσθει στον ΒΔΕ κυκλο στην ΑΓ ευθεια οχι μεγαλυτερη να ειναι της δια-
μετρου του ΒΔΕ κυκλου ιση ευθεια η ΒΔ.και ας συνδεθουν οι ΑΔ,ΔΓ,και ας περι-
γραφει περι το ΑΓΔ τριγωνο κυκλος ο ΑΓΔ.
Και επειδη το υπο των ΑΒ,ΒΓ[ορθογωνιο] ισον ειναι στο απο της ΑΓ[τετραγωνο],
ιση δε η ΑΓ στη ΒΔ,επομενως το υπο των ΑΒ,ΒΓ[ορθογωνιο] ισο ειναι στο απο της
ΒΔ[τετραγωνο],και επειδη του ΑΓΔ[κυκλου] βρισκεται καποιο σημειο εκτος το Β,
και απο του Β προς τον ΑΓΔ κυκλον προσπιπτουν δυο ευθειες οι ΒΑ,ΒΔ,και η μια
μεν απ'αυτες τεμνει,η δε αλλη προσπιπτει,και ειναι το υπο των ΑΒ,ΒΓ[ορθογωνιο]
ισο με το απο της ΒΔ[τετραγωνο],η ΒΔ επομενως εφαπτεται του ΑΓΔ κυκλου.
επειδη λοιπον εφαπτεται μεν η ΒΔ,απο δε της κατα το Δ επαφης διερχεται η ΔΓ,η
υπο ΒΔΓ γωνια επομενως ιση ειναι με την στο αλλο μερος του κυκλου γωνια στην
υπο ΔΑΓ.επειδη λοιπον ιση ειναι η υπο ΒΓΔ στην υπο ΔΑΓ,κι ας μαζι προσκηθει η
υπο ΓΔΑ.ολη επομενως η υπο ΒΔΑ ιση ειναι με τις δυο τις υπο ΓΔΑ,ΔΑΓ.αλλα στις
υπο ΓΔΑ,ΔΑΓ ιση ειναι η εκτος η υπο ΒΓΔ.και η υπο ΒΔΑ επομενως ιση ειναι με την
υπο ΒΓΔ.αλλα η υπο ΒΔΑ με την υπο ΓΒΔ ειναι ιση,επειδη και η πλευρα ΑΔ με την
ΑΒ ειναι ιση.ωστε και η υπο ΔΒΑ με την υπο ΒΓΔ ειναι ιση.οι τρεις επομενως οι υπο
ΒΔΑ,ΔΒΑ,ΒΓΔ ισες η μια με την αλλη ειναι.και επειδη ιση ειναι η υπο ΔΒΓ γωνια με
την υπο ΒΓΔ,ιση ειναι και η πλευρα ΒΔ με την πλευρα την ΔΓ.αλλα η ΒΔ στη ΓΑ
βρισκεται απο κατω ιση.και η ΓΑ επομενως με τη ΓΔ ιση ειναι.ωστε και η γωνια η υπο
ΓΔΑ με την γωνια υπο ΔΑΓ ειναι ιση.επομενως οι υπο ΓΔΑ,ΔΑΓ της υπο ΔΑΓ ειναι
διπλασιες.ιση δε η υπο ΒΓΔ με τις υπο ΓΔΑ,ΔΑΓ.και η υπο ΒΓΔ επομενως της υπο
ΓΑΔ ειναι διπλασια.ιση δε η υπο ΒΓΔ με καθε μια σπο τις υπο ΒΔΑ,ΔΒΑ.και καθε μια
επομενως απο τις υπο ΒΔΑ,ΔΒΑ της υπο ΔΒΑ ειναι διπλασια.
Ισοσκελες επομενως τριγωνο κατατασκευασθηκε το ΑΒΔ το οποιο εχει καθε μια απο
τις προς τη ΔΒ βαση γωνιες διπλασιες της λοιπης.
αυτο το οποιο επρεπε να κανουμε
[να κατασκευασθει]
το αντιστροφο του 4ο αιτηματος του Ευκλειδη δεν ισχυει παντοτε-χ.ν.κουβελης c.n.couvelis
4ο Αιτημα των ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ του ΕΥΚΛΕΙΔΗ:
-Ολες οι ορθες γωνιες ειναι ισες-
Κατα τον Παππο το αντιστροφο δεν ισχυει:
οι γωνιες που ειναι ισες με μια ορθη γωνια δεν ειναι ισες παντοτε,παρα μονο
αν ειναι ευθυγραμμες
Αποδειξη:
Εστω η ορθη γωνια ΑΒΓ,με ΑΒ=ΒΓ και τα ισα ημικυκλια ΑΔΒ και ΒΕΓ
Τοτε γωνια ΑΔΒ=ΒΕΓ γωνια.Αν σ'αυτες προσθεσω την ΑΒΕ εχω:
ΔΒΕ γωνια=ΑΒΓ γωνια που ειναι ιση με ορθη γωνια.
Τοτε οι γωνιες αυτες δεν ειναι ισες ενω ειναι ισες με μια ορθη.
Οπερ Εδει Δειξαι.
.
.
.
Ἔστω τὸ μὲν δοθὲν σημεῖον τὸ Α, ἡ δὲ δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΒΓ· δεῖ δὴ πρὸς τῷ Α σημείῳ τῇ
δοθείσῃ εὐθείᾳ τῇ ΒΓ ἴσην εὐθεῖαν θέσθαι.
Ἐπεζεύχθω γὰρ ἀπὸ τοῦ Α σημείου ἐπὶ τὸ Β σημεῖον εὐθεῖα ἡ ΑΒ, καὶ συνεστάτω ἐπ' αὐτῆς τρίγωνον ἰσόπλευρον τὸ ΔΑΒ, καὶ ἐκβεβλήσθωσαν ἐπ' εὐθείας ταῖς ΔΑ, ΔΒ εὐθεῖαι αἱ ΑΕ, ΒΖ,
καὶ κέντρῳ μὲν τῷ Β διαστήματι δὲ τῷ ΒΓ κύκλος γεγράφθω ὁ ΓΗΘ, καὶ πάλιν κέντρῳ τῷ Δ καὶ διαστήματι τῷ ΔΗ κύκλος γεγράφθω ὁ ΗΚΛ.
Ἐπεὶ οὖν τὸ Β σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΓΗΘ κύκλου, ἴση ἐστὶν ἡ ΒΓ τῇ ΒΗ. πάλιν, ἐπεὶ τὸ Δ σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΚΛΗ κύκλου, ἴση ἐστὶν ἡ ΔΛ τῇ ΔΗ, ὧν ἡ ΔΑ τῇ ΔΒ ἴση ἐστίν. λοιπὴ
ἄρα ἡ ΑΛ λοιπῇ τῇ ΒΗ ἐστὶν ἴση. ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ΒΓ τῇ ΒΗ ἴση· ἑκατέρα ἄρα τῶν ΑΛ, ΒΓ τῇ
ΒΗ ἐστὶν ἴση. τὰ δὲ τῷ αὐτῷ ἴσα καὶ ἀλλήλοις ἐστὶν ἴσα· καὶ ἡ ΑΛ ἄρα τῇ ΒΓ ἐστὶν ἴση.
Πρὸς ἄρα τῷ δοθέντι σημείῳ τῷ Α τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ τῇ ΒΓ ἴση εὐθεῖα κεῖται ἡ ΑΛ·
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
Εστω το μεν δοσμενο σημειο το Α,η δε δοσμενη ευθεια η ΒΓ.πρεπει στο Α σημειο στη
δοσμενη ευθεια ΒΓ ιση ευθεια να τοποθετηθει.
Συνδεεται απο το Α σημειο επι το Β σημειο ευθεια ΑΒ,και κατασκευαζεται πανω αυτης
τριγωνο ισοπλευρο το ΔΑΒ,και προεκτεινονται σε ευθεια στις ΔΑ,ΔΒ ευθειες οι ΑΕ,ΒΖ,
και με κεντρο μεν στο Β με διαστημα ισο στο ΒΓ κυκλος θα εχει γραφει ο ΓΗΘ,και παλι με
κεντρο στο Δ και με διαστημα ισο στο ΔΗ κυκλος θα εχει γραφει ο ΗΚΛ.
Επειδη λοιπον το Β σημειο κεντρο ειναι του ΓΗΘ κυκλου,ιση ειναι η ΒΓ στη ΒΗ.παλι,επειδη
το Δ σημειο κεντρο ειναι του ΚΛΗ κυκλου,ιση ειναι η ΔΛ στη ΔΗ,οντας η ΔΑ στη ΔΒ ιση
ειναι.η υπολοιπη επομενως η ΑΛ στην υπολοιπη την ΒΗ ειναι ιση.αποδειχτηκε δε και η ΒΓ
στη ΒΗ ιση.καθε μια επομενως των ΑΛ,ΒΓ στη ΒΗ ειναι ιση.τα δε στο ιδιο ισα και μεταξυ
τους ειναι ισα.και η ΑΛ επομενως στη ΒΓ ειναι ιση.
Επομενως στο δοσμενο σημειο στο Α στη δοσμενη ευθεια ΒΓ ιση ευθεια βρισκεται η ΑΛ.
αυτο το οποιο επρεπε να γινει.
.
.
ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ-Βιβλιο Α'-προταση β'
-animations αποδειξης c.n.couvelis χ.ν.κουβελης
-music Iannis Xenakis Rebonds A
.
.
.
.
.
ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ-Στοιχεια Α'-προτασεις ε' και στ'.-χ.ν.κουβελης c.n.couvelis
.
.
ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ-Στοιχεια Α'-προτασεις ε' και στ'.
[μεταφραση χ.ν.κουβελης]
.
.
ε'. Τῶν ἰσοσκελῶν τριγώνων αἱ πρὸς τῇ βάσει γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν, καὶ
προσεκβληθεισῶν τῶν ἴσων εὐθειῶν αἱ ὑπὸ τὴν βάσιν γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις ἔσονται.
Εστω τριγωνο ισοσκελες το ΑΒΓ ιση εχον την ΑΒ πλευρα στην ΑΓ πλευρα,και ας εχουν
προεκταθει σ'ευθεια στις ΑΒ,ΑΓ ευθειες οι ΒΔ,ΓΕ.λεγω,οτι η μεν υπο ΑΒΓ γωνια στην
υπο ΑΓΒ ιση ειναι,η δε υπο ΓΒΔ στην υπο ΒΓΕ.
Ας ληφθει επι της ΒΔ τυχον σημειον το Ζ,και ας αφαιρεθει απο της μεγαλυτερης της
ΑΕ στη μικροτερη στη ΑΖ ιση η ΑΗ,κι ας συνδεθουν οι ΖΓ,ΗΒ ευθειες.Επειδη λοιπον
ιση ειναι η μεν ΑΖ στην ΑΗ η δε ΑΒ στην ΑΓ ,δυο ακομα οι ΖΑ,ΑΓ στις δυο ΗΑ,ΑΒ ισες
ειναι καθε μια με καθε μια.και γωνια κοινη περιεχουν την υπο ΖΑΗ.επομενως η βαση
ΖΓ στη βαση ΗΒ ιση ειναι,και το ΑΖΓ τριγωνο στο ΑΗΒ τριγωνο ισο ειναι,και οι λοιπες
γωνιες στις λοιπες γωνιες ισες γινονται η καθε μια με καθε μια,αυτες που οι ισες
πλευρες υποτεινουν, η μεν υπο ΑΓΖ στην υπο ΑΒΗ,η δε υπο ΑΖΓ στην υπο ΑΗΒ.και
επειδη ολη η ΑΖ σε ολη την ΑΗ ειναι ιση,ακομα η ΑΒ στην ΑΓ ειναι ιση,επομενως η
λοιπη ΒΖ στη λοιπη ΓΗ ειναι ιση.δειχθηκε δε και η ΖΓ στην ΗΒ ιση.δυο ακομα οι
ΒΖ,ΖΓ στις δυο ΓΗ,ΗΒ ισες ειναι καθε μια με καθε μια.και η γωνια υπο ΒΖΓ στη
γωνια υπο ΓΗΒ ιση,και βαση αυτων κοινη η ΒΓ.και το ΒΖΓ επομενως τριγωνο στο ΓΗΒ
τριγωνο ισο ειναι,και οι λοιπες γωνιες στις λοιπες γωνιες ισες γινονται καθε μια
με καθε μια,αυτες που οι ισες πλευρες υποτεινουν.ιση επομενως ειναι η μεν υπο
ΖΒΓ στην υπο ΗΓΒ η δε υπο ΒΓΖ στην υπο ΓΒΗ.επειδη λοιπον ολη η υπο ΑΒΗ γωνια με
ολη την υπο ΑΓΖ γωνια δειχθηκε ιση,αφου η υπο ΓΒΗ στην υπο ΒΓΖ ιση,η λοιπη
επομενως υπο ΑΒΓ στην λοιπη υπο ΑΓΒ ειναι ιση.και ειναι προς στην βαση του ΑΒΓ
τριγωνου.δειχθηκε δε και η υπο ΖΒΓ στην υπο ΗΓΒ ιση. και ειναι υπο τη βαση.
Επομενως των ισοσκελων τριγωνων οι προς στη βαση γωνιες ισες η μια με την αλλη
ειναι,και προεκτεινομενων των ισων ευθειων οι υπο τη βαση γωνιες ισες η μια με
την αλλη γινονται. αυτο το οποιο επρεπε να δειχθει.
.
.
Ἔστω τρίγωνον τὸ ΑΒΓ ἴσην ἔχον τὴν ὑπὸ ΑΒΓ γωνίαν τῇ ὑπὸ ΑΓΒ γωνίᾳ· λέγω, ὅτι καὶ
πλευρὰ ἡ ΑΒ πλευρᾷ τῇ ΑΓ ἐστιν ἴση. Εἰ γὰρ ἄνισός ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΑΓ, ἡ ἑτέρα αὐτῶν μείζων
ἐστίν. ἔστω μείζων ἡ ΑΒ, καὶ ἀφῃρήσθω ἀπὸ τῆς μείζονος τῆς ΑΒ τῇ ἐλάττονι τῇ ΑΓ ἴση ἡ
ΔΒ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΓ. Ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΔΒ τῇ ΑΓ κοινὴ δὲ ἡ ΒΓ, δύο δὴ αἱ ΔΒ, ΒΓ δύο
ταῖς ΑΓ, ΓΒ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ, καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΔΒΓ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΑΓΒ ἐστιν ἴση·
βάσις ἄρα ἡ ΔΓ βάσει τῇ ΑΒ ἴση ἐστίν, καὶ τὸ ΔΒΓ τρίγωνον τῷ ΑΓΒ τριγώνῳ ἴσον ἔσται, τὸ
ἔλασσον τῷ μείζονι· ὅπερ ἄτοπον· οὐκ ἄρα ἄνισός ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΑΓ· ἴση ἄρα. Ἐὰν ἄρα
τριγώνου αἱ δύο γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις ὦσιν, καὶ αἱ ὑπὸ τὰς ἴσας γωνίας ὑποτείνουσαι
πλευραὶ ἴσαι ἀλλήλαις ἔσονται· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
Εστω τριγωνο το ΑΒΓ ισην εχον την υπο ΑΒΓ γωνια στη υπο ΑΓΒ γωνια.λεγω,οτι και η
πλευρα ΑΒ στη πλευρα ΑΓ ειναι ιση.Εαν επομενως ανιση ειναι η ΑΒ στη ΑΓ,η αλλη απο
αυτες μεγαλυτερη ειναι. εστω μεγαλυτερη η ΑΒ,κι ας αφαιρεθει απο της μεγαλυτερης
της ΑΒ στη μικροτερη στη ΑΓ ιση η ΔΒ.κι ας συνδεθει η ΔΓ.Επειδη λοιπον ιση ειναι η ΔΒ
στην ΑΓ κοινη δε η ΒΓ,δυο τοτε οι ΔΒ,ΒΓ στις δυο ΑΓ,ΓΒ ισες ειναι καθε μια με καθε μια,
και η γωνια υπο ΔΒΓ στη γωνια υπο ΑΓΒ ειναι ιση.επομενως η βαση ΔΓ στη βαση ΑΒ ιση
ειναι,και το ΔΒΓ τριγωνο στο ΑΓΒ τριγωνο ισο ειναι,το μικροτερο στο μεγαλυτερο.αυτο
το οποιο ειναι ατοπο.επομενως δεν ειναι ανιση η ΑΒ στην ΑΓ.ιση επομενως.
Εαν επομενως τριγωνου οι δυο γωνιες ισες η μια με την αλλη ειναι,και οι υπο τις ισες
γωνιες υποτεινουσες πλευρες ισες η μια με την αλλη γινονται.
αυτο το οποιο επρεπε να δειχθει.
.
.
.
Ευκλειδης-Παππος-και η 5 προταση των Στοιχειων-χ.ν.κουβελης c.n.couvelis
.
.
Παππος ο Αλεξανδρευς[3ος-4ος αι. μ.Χ]Μεγαλος Ελληνας μαθηματικος της Αλεξανδρειας.
Εγραψε,εκτος των αλλων,την Μαθηματικη Συναγωγη,8 βιβλια.
.
.
Η ΕΥΦΥΗΣ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΤΟΥ ΠΑΠΠΟΥ ΤΗΣ Ε' ΠΡΟΤΑΣΗΣ ΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ Α'
ΤΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΗ-χ.ν.κουβελης
ε΄. Τῶν ἰσοσκελῶν τριγώνων αἱ πρὸς τῇ βάσει γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν, καὶ προσεκβληθεισῶν
τῶν ἴσων εὐθειῶν αἱ ὑπὸ τὴν βάσιν γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις ἔσονται.
[τα ισοσκελη τριγωνα εχουν τις παρα την βασιν γωνιες ισες]
.
Αν το τριγωνο ΑΒΓ ειναι ισοσκελες,ΑΒ=ΑΓ τοτε:γωνια Β=Γ γωνια,παρα την βασιν
Αποδειξη του Παππου:Αν μεταφερουμε[μεταθεσουμε] ενα σχημα τοτε αυτο
παραμενει[ειναι]το ιδιο και αλλο.
στα τριγωνα ΒΑΓ και ΓΑΒ ειναι ΑΒ=ΑΓ,ΑΓ=ΑΒ και γωνια ΒΑΓ=ΓΑΒ γωνια
τοτε απο την δ' προταση:
Ἐὰν δύο τρίγωνα τὰς δύο πλευρὰς [ταῖς] δυσὶ πλευραῖς ἴσας ἔχῃ ἑκατέραν ἑκατέρᾳ
καὶ τὴν γωνίαν τῇ γωνίᾳ ἴσην ἔχῃ τὴν ὑπὸ τῶν ἴσων εὐθειῶν περιεχομένην, καὶ τὴν
βάσιν τῇ βάσει ἴσην ἕξει, καὶ τὸ τρίγωνον τῷ τριγώνῳ ἴσον ἔσται, καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι
ταῖς λοιπαῖς γωνίαις ἴσαι ἔσονται ἑκατέρα ἑκατέρᾳ, ὑφ' ἃς αἱ ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν.
[εαν δυο τριγωνα εχουν δυο πλευρες τους μια προς μια ισες και τις περιεχομενες σ'αυτες
τις πλευρες γωνιες ισες ,τοτε ειναι ισα,και εχουν και τ'αλλα τους στοιχεια,γωνιες και
πλευρες,ισα ενα προς ενα.]
εχω:τριγωνο ΒΑΓ=ΓΑΒ τριγωνο.Επομενως:γωνια Β=Γ γωνια,παρα την βασιν γωνιες.
Οπερ εδει δειξαι.
.
.
.
ΕΥΚΛΕΙΔΗ Στοιχεια α',θ΄.Τὴν δοθεῖσαν γωνίαν εὐθύγραμμον δίχα τεμεῖν.
-χ.ν.κουβελης c.n.couvelis
ΕΥΚΛΕΙΔΗ Στοιχεια α',θ΄,Τὴν δοθεῖσαν γωνίαν εὐθύγραμμον δίχα τεμεῖν.
[μεταφραση χ.ν.κουβελης]
Ευκλειδους Αποδειξις
Ἔστω ἡ δοθεῖσα γωνία εὐθύγραμμος ἡ ὑπὸ ΒΑΓ. δεῖ δὴ αὐτὴν δίχα τεμεῖν.
Εἰλήφθω ἐπὶ τῆς ΑΒ τυχὸν σημεῖον τὸ Δ, καὶ ἀφῃρήσθω ἀπὸ τῆς ΑΓ τῇ ΑΔ
ἴση ἡ ΑΕ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΕ, καὶ συνεστάτω ἐπὶ τῆς ΔΕ τρίγωνον ἰσόπλευρον
τὸ ΔΕΖ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΖ· λέγω, ὅτι ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνία δίχα τέτμηται ὑπὸ τῆς ΑΖ
εὐθείας. Ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΔ τῇ ΑΕ, κοινὴ δὲ ἡ ΑΖ, δύο δὴ αἱ ΔΑ, ΑΖ δυσὶ ταῖς ΕΑ,
ΑΖ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ. καὶ βάσις ἡ ΔΖ βάσει τῇ ΕΖ ἴση ἐστίν· γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ
ΔΑΖ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΑΖ ἴση ἐστίν. Ἡ ἄρα δοθεῖσα γωνία εὐθύγραμμος ἡ ὑπὸ ΒΑΓ δίχα
τέτμηται ὑπὸ τῆς ΑΖ εὐθείας· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
[μεταφραση χ.ν.κουβελης]
ΕΥΚΛΕΙΔΗ Στοιχεια α',θ΄,τη δοθεισα ευθυγραμμο γωνια να διχοτομησω
Ευκλειδη Αποδειξη
Εστω η δοθεισα ευθυγραμμος γωνια η υπο ΒΑΓ,πρεπει τωρα αυτη να διχοτομησω.
Ας ληφθει επι της ΑΒ τυχον σημειο το Δ,κι ας αφαιρεθει απο τη ΑΓ στην ΑΔ ιση η ΑΕ.
κι ας ενωθει η ΔΕ.κι ας σχηματισθει επι της ΔΕ τριγωνο ισοπλευρο το ΔΕΖ,κι ας ενωθει
η ΑΖ.λεγω,οτι η υπο ΒΑΓ γωνια εχει διχοτομηθει απο της ΑΖ ευθειας.Επειδη τοτε ιση ειναι
η ΑΔ στην ΑΕ,κοινη δε η ΑΖ,οι δυο τωρα οι ΔΑ,ΑΖ στις δυο τις ΕΑ,ΑΖ ισες ειναι η καθε μια
με τη καθε μια.και η βαση ΔΖ στη βαση ΕΖ ιση ειναι.η γωνια τοτε η υπο της ΔΑΖ στη γωνια
την υπο της ΕΑΖ ιση ειναι.Τοτε η δοθεισα ευθυγραμμος γωνια η υπο της ΒΑΓ εχει διχοτομη-
θει απο της ΑΖ ευθειας.αυτο το οποιο επρεπε να κατασκευασθει.
.
.
ΕΥΚΛΕΙΔΗ Στοιχεια α', θ' Την δοθεισαν γωνιαν ευθυγραμμον διχα τεμειν
-prove animations c.n.couvelis χ.ν.κουβελης
-music Steve Reich Piano Phase
https://youtu.be/4d60xH4tV20
.
.
.
-Ευκλειδης Στοιχεια Βιβλιο γ',προταση ιστ' -
Δυο Μαθηματικοι Κατα Πλατωνα Διαλογοι,Ακαδημια Αθηνα και Αλεξανδρεια
μεταφραση translation προτασης και κειμενα διαλογων χ.ν.κουβελης c.n.couvelis
Α' Μαθηματικος Κατα Πλατωνα Διαλογος:
Πλατων, Ευκλειδης διαλογος,
Αθηνα,Ακαδημια
Πλατων:οι αισθησεις απατουν.δεν συμφωνεις;
Ευκλειδης:και βεβαια
Πλατων:επομενως δεν ειναι τα αισθητα κατωτερα των νοητων;
Ευκλειδης:ναι,ειναι
Πλατων:αυτος ο κυκλος που εδω γραφω ειναι αισθητος,μια εικονα του νοητου,ετσι
δεν ειναι;
Ευκλειδης:ετσι,βεβαια
Πλατων:φερνω τη διαμετρο ΑΒ,και σ'αυτη τη καθετο ΑΕ,βλεπεις τον ενδιαμεσο
χωρο μεταξυ αυτης και του κυκλου;
Ευκλειδης:τον βλεπω
Πλατων:νομιζεις οτι μεσα σ'αυτον μπορει να παρεμβληθει και αλλη ευθεια με την
ιδιοτητα της ΑΕ;
Ευκλειδης:νομιζω πως ναι
Πλατων:ποσες;
Ευκλειδης:απειρες
Πλατων:η' και καμια;
Ευκλειδης:η΄και καμια
Πλατων:δεν θα πρεπει αυτο να το αποδειξουμε,τι αληθεια συμβαινει;
Ευκλειδης:θα πρεπει
.
Β' Μαθηματικος Κατα Πλατωνα Διαλογος:
Ευκλειδης Μαθητης διαλογος,
Αλεξανδρεια
Ευκλειδης:οι αισθησεις απατουν.δεν συμφωνεις;
Μαθητης:και βεβαια
Ευκλειδης:επομενως δεν ειναι τα αισθητα κατωτερα των νοητων;
Μαθητης:ναι,ειναι
Ευκλειδης:αυτος ο κυκλος που εδω γραφω ειναι αισθητος,μια εικονα του νοητου,ετσι
δεν ειναι;
Μαθητης:ετσι,βεβαια
Ευκλειδης:φερνω τη διαμετρο ΑΒ,και σ'αυτη τη καθετο ΑΕ,βλεπεις τον ενδιαμεσο
χωρο μεταξυ αυτης και του κυκλου;
Μαθητης:τον βλεπω
Ευκλειδης:νομιζεις οτι μεσα σ'αυτον μπορει να παρεμβληθει και αλλη ευθεια με την
ιδιοτητα της ΑΕ;
Μαθητης:νομιζω πως ναι
Ευκλειδης:ποσες;
Μαθητης:απειρες
Ευκλειδης:η' και καμια;
Μαθητης:η΄και καμια
Ευκλειδης:δεν θα πρεπει αυτο να το αποδειξουμε,τι αληθεια συμβαινει;
Μαθητης:θα πρεπει
Ευκλειδης:αν υποθεσουμε οτι παρεμβαλλονται απειρες,ας γραψουμε μια παρα
πολυ κοντα της ΑΕ,φαινεται να ειναι η ευθεια που ζητουμε
Μαθητης:ετσι φαινεται
Ευκλειδης:ας μεγεθυνουμε το σχημα μας,τι βλεπεις τωρα;
Μαθητης:οτι η ευθεια μας τεμνει την περιφερεια του κυκλου
Ευκλειδης:κι επομενως δεν ειναι εντος του τοπου της ΑΕ και του Κυκλου
Μαθητης:δεν ειναι
Ευκλειδης:και τι λοιπον
Μαθητης:οι αισθησεις μας απατουν
Ευκλειδης:τοτε δεν θα ζητησουμε την αληθεια με τον νου,οπως Πλατων μας διδαξε;
Μαθητης:και βεβαια
Ευκλειδης:Ας αρχισουμε λοιπον
Μαθητης:ανυπομονω
.
ΕΥΚΛΕΙΔΗ Στοιχεια,βιβλιο γ',προταση ιστ'
ιϛ΄. Ἡ τῇ διαμέτρῳ τοῦ κύκλου πρὸς ὀρθὰς ἀπ' ἄκρας ἀγομένη ἐκτὸς πεσεῖται τοῦ
κύκλου, καὶ εἰς τὸν μεταξὺ τόπον τῆς τε εὐθείας καὶ τῆς περιφερείας ἑτέρα εὐθεῖα οὐ
παρεμπεσεῖται, καὶ ἡ μὲν τοῦ ἡμικυκλίου γωνία ἁπάσης γωνίας ὀξείας εὐθυγράμμου
μείζων ἐστίν, ἡ δὲ λοιπὴ ἐλάττων.
Ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ περὶ κέντρον τὸ Δ καὶ διάμετρον τὴν ΑΒ· λέγω, ὅτι ἡ ἀπὸ τοῦ Α
τῇ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς ἀπ' ἄκρας ἀγομένη ἐκτὸς πεσεῖται τοῦ κύκλου.
Μὴ γάρ, ἀλλ' εἰ δυνατόν, πιπτέτω ἐντὸς ὡς ἡ ΓΑ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΓ.
Ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΔΑ τῇ ΔΓ, ἴση ἐστὶ καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΔΑΓ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΑΓΔ. ὀρθὴ δὲ ἡ ὑπὸ ΔΑΓ· ὀρθὴ ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΑΓΔ· τριγώνου δὴ τοῦ ΑΓΔ αἱ δύο γωνίαι αἱ ὑπὸ ΔΑΓ, ΑΓΔ δύο ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα ἡ ἀπὸ τοῦ Α σημείου τῇ ΒΑ πρὸς ὀρθὰς ἀγομένη ἐντὸς
πεσεῖται τοῦ κύκλου. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι οὐδ' ἐπὶ τῆς περιφερείας· ἐκτὸς ἄρα.
Πιπτέτω ὡς ἡ ΑΕ· λέγω δή, ὅτι εἰς τὸν μεταξὺ τόπον τῆς τε ΑΕ εὐθείας καὶ τῆς ΓΘΑ περιφερείας ἑτέρα εὐθεῖα οὐ παρεμπεσεῖται.
Εἰ γὰρ δυνατόν, παρεμπιπτέτω ὡς ἡ ΖΑ, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Δ σημείου ἐπὶ τὴν ΖΑ κάθετος
ἡ ΔΗ. καὶ ἐπεὶ ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΗΔ, ἐλάττων δὲ ὀρθῆς ἡ ὑπὸ ΔΑΗ, μείζων ἄρα ἡ ΑΔ τῆς ΔΗ.
ἴση δὲ ἡ ΔΑ τῇ ΔΘ· μείζων ἄρα ἡ ΔΘ τῆς ΔΗ, ἡ ἐλάττων τῆς μείζονος· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
οὐκ ἄρα εἰς τὸν μεταξὺ τόπον τῆς τε εὐθείας καὶ τῆς περιφερείας ἑτέρα εὐθεῖα παρεμπεσεῖται.
Λέγω, ὅτι καὶ ἡ μὲν τοῦ ἡμικυκλίου γωνία ἡ περιεχομένη ὑπό τε τῆς ΒΑ εὐθείας καὶ τῆς
ΓΘΑ περιφερείας ἁπάσης γωνίας ὀξείας εὐθυγράμμου μείζων ἐστίν, ἡ δὲ λοιπὴ ἡ περιεχομένη
ὑπό τε τῆς ΓΘΑ περιφερείας καὶ τῆς ΑΕ εὐθείας ἁπάσης γωνίας ὀξείας εὐθυγράμμου ἐλάττων
ἐστίν.
Εἰ γὰρ ἐστί τις γωνία εὐθύγραμμος μείζων μὲν τῆς περιεχομένης ὑπό τε τῆς ΒΑ εὐθείας καὶ τῆς
ΓΘΑ περιφερείας, ἐλάττων δὲ τῆς περιεχομένης ὑπό τε τῆς ΓΘΑ περιφερείας καὶ τῆς ΑΕ εὐθείας,
εἰς τὸν μεταξὺ τόπον τῆς τε ΓΘΑ περιφερείας καὶ τῆς ΑΕ εὐθείας εὐθεῖα περεμπεσεῖται, ἥτις
ποιήσει μείζονα μὲν τῆς περιεχομένης ὑπό τε τῆς ΒΑ εὐθείας καὶ τῆς ΓΘΑ περιφερείας ὑπὸ
εὐθειῶν περιεχομένην, ἐλάττονα δὲ τῆς περιεχομένης ὑπό τε τῆς ΓΘΑ περιφερείας καὶ τῆς ΑΕ εὐθείας. οὐ παρεμπίπτει δέ· οὐκ ἄρα τῆς περιεχομένης γωνίας ὑπό τε τῆς ΒΑ εὐθείας καὶ τῆς
ΓΘΑ περιφερείας ἔσται μείζων ὀξεῖα ὑπὸ εὐθειῶν περιεχομένη, οὐδὲ μὴν ἐλάττων τῆς περιεχομένης ὑπό τε τῆς ΓΘΑ περιφερείας καὶ τῆς ΑΕ εὐθείας.
ιϛ΄.η αγομενη στη διαμετρο του κυκλου κατα ορθες γωνιες στο ακρο εκτος θα πεσει
του κυκλου,και στο ενδιαμεσο τοπο και της ευθειας και της περιφερειας αλλη
ευθεια δεν παρεμβαλεται,και η μεν του ημικυκλιου γωνια καθε ευθυγραμμης οξειας
γωνιας μεγαλυτερη ειναι,η δε υπολοιπη μικροτερη.
Αποδειξη:
Εστω ο κυκλος ΑΒΓ περι το κεντρον Δ και διαμετρον την ΑΒ,
λεω,οτι η απο του Α στην ΑΒ κατα ορθες γωνιες στο ακρο αγομενη εκτος θα πεσει
του κυκλου.
οχι λοιπον,αλλα αν ειναι δυνατον,ας πεσει εντος ως η ΓΑ,κι ας συνδεθει η ΔΓ.
επειδη ιση ειναι η ΔΑ στην ΔΓ,ιση ειναι και η γωνια ΔΑΓ με την ΑΓΔ,
ορθη δε η ΔΑΓ.ορθη επομενως και ΑΓΔ.του τριγωνου ΑΓΔ τωρα οι δυο γωνιες οι
ΔΑΓ,ΑΓΔ δυο ορθες ειναι.το οποιον ειναι αδυνατον.
επομενως η απο του Α σημειου στη ΒΑ κατα ορθες αγομενη δεν θα πεσει εντος
του κυκλου.
ομοια τωρα θα δειξομε,οτι ουτε επι της περιφερειας.εκτος επομενως.
ας πεσει ως η ΑΕ.λεω τωρα,οτι στον ενδιαμεσο τοπο και της ΑΕ ευθειας και της ΓΘΑ
περιφερειας αλλη ευθεια δεν παρεμβαλεται.
γιατι αν δυνατον,ας παρεμβληθει ως η ΖΑ,και ας αχθει απο του Δ σημειου επι την ΖΑ
καθετος ΔΗ.κι επειδη ορθη ειναι η ΑΗΔ,μικροτερη δε ορθης η ΔΑΗ,μεγαλυτερη επομενως
η ΑΔ της ΔΗ.ιση δε η ΔΑ στη ΔΘ.μεγαλυτερη επομενως η ΔΘ της ΔΗ,η μικροτερη της
μεγαλυτερης.το οποιο ειναι αδυνατον.
επομενως στον ενδιαμεσο τοπο και της ευθειας και της περιφερειας αλλη ευθεια
δεν παρεμβαλεται.
λεω,οτι και η μεν του ημικυκλιου γωνια η περιεχομενη και υπο της ΒΑ ευθειας και της
ΓΘΑ περιφερειας καθε ευθυγραμμης οξειας γωνιας μεγαλυτερη ειναι,η δε υπολοιπη
η περιεχομενη και υπο της ΓΘΑ περιφερειας και της ΑΕ ευθειας καθε ευθυγραμμης οξειας
γωνιας μικροτερη ειναι.
γιατι αν ειναι καποια γωνια ευθυγραμμη μεγαλυτερη μεν της περιεχομενης υπο και της ΒΑ
ευθειας και της ΓΘΑ περιφερειας,μικροτερη δε της περιεχομενης υπο και της ΓΘΑ
περιφερειας και της ΑΕ ευθειας,στον ενδιαμεσο τοπο και της ΓΘΑ περιφερειας και της
ΑΕ ευθειας ευθεια παρεμβαλεται,η οποια θα κανει μεγαλυτερη μεν της περιεχομενης
υπο και της ΒΑ ευθειας και της ΓΘΑ περιφερειας υπο ευθειων περιεχομενη,μικροτερη
δε της περιεχομενης και υπο της ΓΘΑ περιφερειας και της ΑΕ ευθειας.ομως δεν παρεμ-
βαλεται.επομενως της περιεχομενης γωνιας και υπο της ΒΑ ευθειας και της ΓΘΑ περι-
φερειας δεν ειναι μεγαλυτερη οξεια υπο ευθειων περιεχομενη,ουτε οχι λιγοτερη της
της περιεχομενης γωνιας και υπο της ΓΘΑ περιφερειας και της ΑΕ ευθειας
.
Ευκλειδης:τωρα δεν εισαι σε θεση να περιγραψεις την αποδειξη που αποσιωπησαμε;
Μαθητης:και βεβαια ειμαι
Ευκλειδης:ακουω λοιπον
Μαθητης:στην πρωτη περιπτωση: η γωνια υπο και τη περιφερεια ΓΘΑ και την ευθεια
ΒΑ ειναι μεγαλυτερη καθε ευθυγραμμης οξειας γωνιας με μια ευθεια τη ΒΑ,
τοτε η αλλη ευθεια,ας πουμε ΑΖ, της οξειας γωνιας ,δεν μπορει να βρισκεται εντος του
τοπου υπο της ΓΘΑ περιφερειας και της ΑΕ ευθειας,πραγμα που αποδειξαμε ατοπο
να παρεμβαλεται,
επομενως μενει να τεμνει τον κυκλο,τοτε η σχηματιζομενη ευθυγραμμη οξεια γωνια
ΖΑΒ ειναι φυσικα μικροτερη.οπερ εδει δειξαι.
και στην δευτερη περιπτωση: η γωνια υπο και τη περιφερεια ΓΘΑ και την ευθεια
ΑΕ ειναι μικροτερη καθε ευθυγραμμης οξειας γωνιας με μια ευθεια τη ΑΕ
τοτε η αλλη ευθεια,ας πουμε ΑΖ, της οξειας γωνιας ,δεν μπορει να βρισκεται εντος του
τοπου υπο της ΓΘΑ περιφερειας και της ΑΕ ευθειας,πραγμα που αποδειξαμε ατοπο
να παρεμβαλεται,
επομενως μενει να τεμνει τον κυκλο,τοτε η σχηματιζομενη ευθυγραμμη οξεια γωνια
ΖΑΕ ειναι φυσικα μεγαλυτερη.οπερ εδει δειξαι
Ευκλειδης:Ευγε,,αποδειχθηκε καθαρα,νοητα,χωρις παρεμβολη αισθητων,μηχανικων,
μεσων,ετσι ακριβως οπως ηθελε ο δασκαλος μας Πλατων
:Ἡ τῇ διαμέτρῳ τοῦ κύκλου πρὸς ὀρθὰς ἀπ' ἄκρας ἀγομένη ἐκτὸς πεσεῖται τοῦ κύκλου,
καὶ εἰς τὸν μεταξὺ τόπον τῆς τε εὐθείας καὶ τῆς περιφερείας ἑτέρα εὐθεῖα οὐ
παρεμπεσεῖται, καὶ ἡ μὲν τοῦ ἡμικυκλίου γωνία ἁπάσης γωνίας ὀξείας εὐθυγράμμου
μείζων ἐστίν, ἡ δὲ λοιπὴ ἐλάττων.
.
.
.
.
LITTERATURE-ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΑ-ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ-ΑΠΟ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ-EFCLIDIS
-μεταφραση-translation c.n.couvelis-χ.ν.κουβελης-
ΚΕΙΜΕΝΑ-TEXTS-Χ.Ν.Κουβελης[C.N.Couvelis}
.
.
ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ-ΑΠΟ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ-EFCLIDIS
-μεταφραση-translation c.n.couvelis-χ.ν.κουβελης
.
.
Ὅροι κγ΄.
α΄. Σημεῖόν ἐστιν, οὗ μέρος οὐθέν.
-σημειο ειναι αυτο που δεν εχει μερος πουθενα
β΄. Γραμμὴ δὲ μῆκος ἀπλατές.
-η γραμμη ειναι μηκος χωρις πλατος
γ΄. Γραμμῆς δὲ πέρατα σημεῖα.
-τα ακρα γραμμης ειναι σημεια
δ΄. Εὐθεῖα γραμμή ἐστιν, ἥτις ἐξ ἴσου τοῖς ἐφ' ἑαυτῆς σημείοις κεῖται.
-ευθεια γραμμη ειναι αυτη που εκτεινεται εξισου απο τα σημεια της
ε΄. Ἐπιφάνεια δέ ἐστιν, ὃ μῆκος καὶ πλάτος μόνον ἔχει.
-επιφανεια ειναι αυτη,που εχει μηκος και πλατος μονον
ϛ΄. Ἐπιφανείας δὲ πέρατα γραμμαί.
-τα ακρα επιφανειας ειναι γραμμαι
ζ΄. Ἐπίπεδος ἐπιφάνειά ἐστιν, ἥτις ἐξ ἴσου ταῖς ἐφ' ἑαυτῆς εὐθείαις
κεῖται.
-επιπεδη επιφανεια ειναι αυτη,που εκτεινεται εξισου απο τις ευθειες της
η΄. Ἐπίπεδος δὲ γωνία ἐστὶν ἡ ἐν ἐπιπέδῳ δύο γραμμῶν ἁπτομένων ἀλ-
λήλων καὶ μὴ ἐπ' εὐθείας κειμένων πρὸς ἀλλήλας τῶν γραμμῶν κλίσις.
-επιπεδη γωνια ειναι η κλιση δυο τεμνομενων ευθειων του επιπεδου
και που δεν βρισκονται πανω στην ιδια ευθεια
θ΄. Ὅταν δὲ αἱ περιέχουσαι τὴν γωνίαν γραμμαὶ εὐθεῖαι ὦσιν, εὐθύ-
γραμμος καλεῖται ἡ γωνία.
-ευθυγραμμη καλειται η γωνια οταν οι γραμμες που την περιεχουν
ειναι σ'ευθεια γραμμη
ι΄. Ὅταν δὲ εὐθεῖα ἐπ' εὐθεῖαν σταθεῖσα τὰς ἐφεξῆς γωνίας ἴσας ἀλ-
λήλαις ποιῇ, ὀρθὴ ἑκατέρα τῶν ἴσων γωνιῶν ἐστι, καὶ ἡ ἐφεστηκυῖα
εὐθεῖα κάθετος καλεῖται, ἐφ' ἣν ἐφέστηκεν.
-οταν μια ευθεια σταθει σ'αλλη ευθεια και κανει τις δυο εφεξεις
γωνιες ισες,ορθη ονομαζεται καθε μια απο τις ισες γωνιες
και η σταθησα ευθεια ονομαζεται καθετος ευθεια πανω στην
ευθεια ,που σταθηκε
ια΄. Ἀμβλεῖα γωνία ἐστὶν ἡ μείζων ὀρθῆς.
-αμβλεια γωνια ονομαζεται η μεγαλυτερη γωνια απο την ορθη
ιβ΄. Ὀξεῖα δὲ ἡ ἐλάσσων ὀρθῆς.
-οξεια γωνια ονομαζεται η μικροτερη γωνια απο την ορθη
ιγ΄. Ὅρος ἐστίν, ὅ τινός ἐστι πέρας.
-οριο ειναι το ακρο σε κατι
ιδ΄. Σχῆμά ἐστι τὸ ὑπό τινος ἤ τινων ὅρων περιεχόμενον.
-σχημα ειναι αυτο που περιεχεται σε καποιο η' καποια ορια
ιε΄. Κύκλος ἐστὶ σχῆμα ἐπίπεδον ὑπὸ μιᾶς γραμμῆς περιεχόμενον
[ἣ καλεῖται περιφέρεια], πρὸς ἣν ἀφ' ἑνὸς σημείου τῶν ἐντὸς τοῦ
σχήματος κειμένων πᾶσαι αἱ προσπίπτουσαι εὐθεῖαι [πρὸς τὴν
τοῦ κύκλου περιφέρειαν] ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.
-κυκλος ονομαζεται το επιπεδο σχημα που περιεχεται σε
μια γραμμη[η οποια καλειται περιφερεια],προς την οποιαν
ειναι ισες ολες οι ευρισκομενες μεσα στο σχημα προσπιπτου-
σες ευθειες απο ενα σημειο
ιϛ΄. Κέντρον δὲ τοῦ κύκλου τὸ σημεῖον καλεῖται.
-κεντρο του κυκλου αυτο το σημειο καλειται
ιζ΄. Διάμετρος δὲ τοῦ κύκλου ἐστὶν εὐθεῖά τις διὰ τοῦ κέντρου
ἠγμένη καὶ περατουμένη ἐφ' ἑκάτερα τὰ μέρη ὑπὸ τῆς τοῦ κύ-
κλου περιφερείας, ἥτις καὶ δίχα τέμνει τὸν κύκλον.
-διαμετρος του κυκλου ειναι καποια ευθεια που διερχεται
απ'το κεντρο και τελειωνει στα δυο μερη της απο δω κι απο
εκει στην περιφερεια του κυκλου,και η οποια διαιρει τον κυ-
κλο στα δυο
ιη΄. Ἡμικύκλιον δέ ἐστι τὸ περιεχόμενον σχῆμα ὑπό τε τῆς δια-
μέτρου καὶ τῆς ἀπολαμβανομένης ὑπ' αὐτῆς περιφερείας. κέντρον
δὲ τοῦ ἡμικυκλίου τὸ αὐτό, ὃ καὶ τοῦ κύκλου ἐστίν.
-ημικυκλιο ειναι το σχημα που περιεχεται απο την διαμετρο
και την διαιρουμενη απ'αυτην περιφερεια,
κεντρο του ημικυκλιου ειναι αυτο,που ειναι και του κυκλου
ιθ΄. Σχήματα εὐθύγραμμά ἐστι τὰ ὑπὸ εὐθειῶν περιεχόμενα,
τρίπλευρα μὲν τὰ ὑπὸ τριῶν, τετράπλευρα δὲ τὰ ὑπὸ τεσσάρων,
πολύπλευρα δὲ τὰ ὑπὸ πλειόνων ἢ τεσσάρων εὐθειῶν περιε-
χόμενα.
-ευθυγραμμα σχηματα ειναι αυτα που περιεχονται απο
ευθειες,
τριπλευρα απο τρεις,τετραπλευρα απο τεσσερις,πολυπλευρα
απο περισσοτερες απο τεσσερις ευθειες περιεχομενα
κ΄. Τῶν δὲ τριπλεύρων σχημάτων ἰσόπλευρον μὲν τρίγωνόν
ἐστι τὸ τὰς τρεῖς ἴσας ἔχον πλευράς, ἰσοσκελὲς δὲ τὸ τὰς δύο
μόνας ἴσας ἔχον πλευράς, σκαληνὸν δὲ τὸ τὰς τρεῖς ἀνίσους
ἔχον πλευράς.
-απο τα τριπλευρα σχηματα ισοπλευρο τριγωνο ειναι αυτο
που εχει ισες και τις τρεις πλευρες,
ισοσκελες αυτο που εχει ισες μονο τις δυο πλευρες,
σκαληνο αυτο που εχει ανισες τις τρεις πλευρες
κα΄. Ἔτι δὲ τῶν τριπλεύρων σχημάτων ὀρθογώνιον μὲν τρίγωνόν
ἐστι τὸ ἔχον ὀρθὴν γωνίαν, ἀμβλυγώνιον δὲ τὸ ἔχον ἀμβλεῖαν γω-
νίαν, ὀξυγώνιον δὲ τὸ τὰς τρεῖς ὀξείας ἔχον γωνίας.
-ακομη απο τα τριπλευρα σχηματα ορθογωνιο τριγωνο ειναι αυτο
που εχει ορθη γωνια,
αμβλυγωνιο αυτο που εχει αμβλεια γωνια
οξυγωνιο αυτο που εχεις οξειες τις τρεις γωνιες
κβ΄. Τῶν δὲ τετραπλεύρων σχημάτων τετράγωνον μέν ἐστιν,
ὃ ἰσόπλευρόν τέ ἐστι καὶ ὀρθογώνιον, ἑτερόμηκες δέ, ὃ ὀρθογώνιον
μέν, οὐκ ἰσόπλευρον δέ, ῥόμβος δέ, ὃ ἰσόπλευρον μέν, οὐκ ὀρθογώ-
νιον δέ, ῥομβοειδὲς δὲ τὸ τὰς ἀπεναντίον πλευράς τε καὶ γωνίας ἴσας
ἀλλήλαις ἔχον, ὃ οὔτε ἰσόπλευρόν ἐστιν οὔτε ὀρθογώνιον: τὰ δὲ
παρὰ ταῦτα τετράπλευρα τραπέζια καλείσθω.
-απο τα τετραπλευρα σχηματα τετραγωνο ειναι αυτο που ειναι
ισοπλευρο και ορθογωνιο,
ετερομηκες,ορθογωνιο,οχι ισοπλευρο,
ρομβος,ισοπλευρο,οχι ορθογωνιο,
ρομβοειδες αυτο που εχει τις απεναντι πλευρες και γωνιες ισες,που
δεν ειναι ουτε ισοπλευρο ουτε ορθογωνιο,
τα δε αλλα απ'αυτα τετραπλευρα,τραπεζια ας ονομασθουν
κγ΄. Παράλληλοί εἰσιν εὐθεῖαι, αἵτινες ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ οὖσαι
καὶ ἐκβαλλόμεναι εἰς ἄπειρον ἐφ' ἑκάτερα τὰ μέρη ἐπὶ μηδέτερα
συμπίπτουσιν ἀλλήλαις.
-παραλληλες ειναι οι ευθειες,εκεινες που βρισκονται στο ιδιο επι-
πεδο και οταν προεκταθουν στο απειρο και απ'τα δυο τους μερη
καμια δεν συνανταει την αλλη
Αἰτήματα ε΄.
α΄. Ἠιτήσθω ἀπὸ παντὸς σημείου ἐπὶ πᾶν σημεῖον εὐθεῖαν γραμμὴν
ἀγαγεῖν.
-να ζητηται απο καθε σημειο σε καθε σημειο να τραβιεται ευθεια
γραμμη
β΄. Καὶ πεπερασμένην εὐθεῖαν κατὰ τὸ συνεχὲς ἐπ' εὐθείας ἐκβαλεῖν.
-και πεπερασμενη ευθεια κατα συνεχη τροπο να προεκτεινεται σ'ευθεια
γ΄. Καὶ παντὶ κέντρῳ καὶ διαστήματι κύκλον γράφεσθαι.
-και απο καθε κεντρο και μηκος να σχεδιαζεται κυκλος
δ΄. Καὶ πάσας τὰς ὀρθὰς γωνίας ἴσας ἀλλήλαις εἶναι.
-και ολες οι ορθες γωνιες μεταξυ τους ισες ειναι
ε΄. Καὶ ἐὰν εἰς δύο εὐθείας εὐθεῖα ἐμπίπτουσα τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ
αὐτὰ μέρη γωνίας δύο ὀρθῶν ἐλάσσονας ποιῇ, ἐκβαλλομένας τὰς
δύο εὐθείας ἐπ' ἄπειρον συμπίπτειν, ἐφ' ἃ μέρη εἰσὶν αἱ τῶν δύο
ὀρθῶν ἐλάσσονες.
-και αν σε δυο ευθειες η ευθεια που τις τεμνει τις εντος και επι
τα αυτα μερη γωνιες μικροτερες απο δυο ορθες κανει,προεκτει-
νομενες οι δυο ευθειες στο απειρο συναντιονται,προς το μερος
που ειναι οι δυο γωνιες οι μικροτερες απο τις δυο ορθες
Κοιναί Ἒνοιαι θ΄.
α΄. Τὰ τῷ αὐτῷ ἴσα καὶ ἀλλήλοις ἐστὶν ἴσα.
-αυτα που ειναι ισα με το ιδιο και το ενα με το αλλο ειναι ισα
β΄. Καὶ ἐὰν ἴσοις ἴσα προστεθῇ, τὰ ὅλα ἐστὶν ἴσα.
-και αν σε ισα ισα προστεθουν τα αθροισματα ισα ειναι
γ΄. Καὶ ἐὰν ἀπὸ ἴσων ἴσα ἀφαιρεθῇ, τὰ καταλειπόμενά ἐστιν ἴσα.
-και αν απο ισα ισα αφαιρεθουν ,τα υπολοιπα ισα εινα
δ΄. Καὶ ἐὰν ἀνίσοις ἴσα προστεθῇ, τὰ ὅλα ἐστὶν ἄνισα.
-και αν σε ανισα ισα προστεθουν,τα αθροισματα ειναι ανισα
ε΄. Καὶ τὰ τοῦ αὐτοῦ διπλάσια ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν.
-και τα διπλασια του ιδιου ισα το ενα με το αλλο ειναι
ϛ΄. Καὶ τὰ τοῦ αὐτοῦ ἡμίση ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν.
-και τα μισα του ιδιου ισα το ενα με το αλλο ειναι
ζ΄. Καὶ τὰ ἐφαρμόζοντα ἐπ' ἄλληλα ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν.
-και αυτα που εφαρμοζουν το ενα με το αλλο ισα το ενα με
το αλλο ειναι
η΄. Καὶ τὸ ὅλον τοῦ μέρους μεῖζον [ἐστιν].
-και το ολο απο το μερος ειναι μεγαλυτερο
θ΄. Καὶ δύο εὐθεῖαι χωρίον οὐ περιέχουσιν.
-και δυο ευθειες δεν περιεχουν χωρο
.
.
ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ-Η ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΤΟΥ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ
[ΣΤΟΙΧΕΙΑ του Ευκλειδη-Βιβλιο 1,Προταση 47}
[Αρχαιο κειμενο-μεταφραση χ.ν.κουβελης]
.
1.47] ἐν τοῖς ὀρθογωνίοις τριγώνοις τὸ ἀπὸ τῆς τὴν ὀρθὴν γωνίαν
ὑποτεινούσης πλευρᾶς τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν τὴν
ὀρθὴν γωνίαν περιεχουσῶν πλευρῶν τετραγώνοις.
ἔστω τρίγωνον ὀρθογώνιον τὸ ΑΒΓ ὀρθὴν ἔχον τὴν ὑπὸ ΒΑΓ
γωνίαν· λέγω, ὅτι τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ
τῶν ΒΑ, ΑΓ τετραγώνοις.
ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ μὲν τῆς ΒΓ τετράγωνον τὸ ΒΔΕΓ, ἀπὸ
δὲ τῶν ΒΑ, ΑΓ τὰ ΗΒ, ΘΓ, καὶ διὰ τοῦ Α ὁποτέρᾳ τῶν ΒΔ, ΓΕ
παράλληλος ἤχθω ἡ ΑΛ· καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΔ, ΖΓ. καὶ ἐπεὶ
ὀρθή ἐστιν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΒΑΓ, ΒΑΗ γωνιῶν, πρὸς δή τινι
εὐθείᾳ τῇ ΒΑ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Α δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΓ,
ΑΗ μὴ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη κείμεναι τὰς ἐφεξῆς γωνίας δυσὶν ὀρθαῖς
ἴσας ποιοῦσιν· ἐπ᾽ εὐθείας ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΑ τῇ ΑΗ. διὰ τὰ αὐτὰ
δὴ καὶ ἡ ΒΑ τῇ ΑΘ ἐστιν ἐπ᾽ εὐθείας. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ
ΔΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΖΒΑ —ὀρθὴ γὰρ ἑκατέρα— κοινὴ προσκεί-
σθω ἡ ὑπὸ ΑΒΓ· ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΒΑ ὅλῃ τῇ ὑπὸ ΖΒΓ ἐστιν ἴση.
καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΔΒ τῇ ΒΓ, ἡ δὲ ΖΒ τῇ ΒΑ, δύο δὴ αἱ ΔΒ,
ΒΑ δύο ταῖς ΖΒ, ΒΓ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ· καὶ γωνία ἡ ὑπὸ
ΔΒΑ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΖΒΓ ἴση· βάσις ἄρα ἡ ΑΔ βάσει τῇ ΖΓ {ἐστιν}
ἴση, καὶ τὸ ΑΒΔ τρίγωνον τῷ ΖΒΓ τριγώνῳ ἐστὶν ἴσον· καὶ {ἐστι}
τοῦ μὲν ΑΒΔ τριγώνου διπλάσιον τὸ ΒΛ παραλληλόγραμμον·
βάσιν τε γὰρ τὴν αὐτὴν ἔχουσι τὴν ΒΔ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς εἰσι πα-
ραλλήλοις ταῖς ΒΔ, ΑΛ· τοῦ δὲ ΖΒΓ τριγώνου διπλάσιον τὸ ΗΒ
τετράγωνον· βάσιν τε γὰρ πάλιν τὴν αὐτὴν ἔχουσι τὴν ΖΒ καὶ ἐν
ταῖς αὐταῖς εἰσι παραλλήλοις ταῖς ΖΒ, ΗΓ. {τὰ δὲ τῶν ἴσων δι-
πλάσια ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν·} ἴσον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΒΛ παραλλη-
λόγραμμον τῷ ΗΒ τετραγώνῳ. ὁμοίως δὴ ἐπιζευγνυμένων τῶν
ΑΕ, ΒΚ δειχθήσεται καὶ τὸ ΓΛ παραλληλόγραμμον ἴσον τῷ ΘΓ
τετραγώνῳ· ὅλον ἄρα τὸ ΒΔΕΓ τετράγωνον δυσὶ τοῖς ΗΒ, ΘΓ
τετραγώνοις ἴσον ἐστίν. καί ἐστι τὸ μὲν ΒΔΕΓ τετράγωνον ἀπὸ
τῆς ΒΓ ἀναγραφέν, τὰ δὲ ΗΒ, ΘΓ ἀπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ. τὸ ἄρα ἀπὸ
τῆς ΒΓ πλευρᾶς τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ
πλευρῶν τετραγώνοις.
ἐν ἄρα τοῖς ὀρθογωνίοις τριγώνοις τὸ ἀπὸ τῆς τὴν ὀρθὴν γωνίαν
ὑποτεινούσης πλευρᾶς τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν τὴν
ὀρθὴν {γωνίαν} περιεχουσῶν πλευρῶν τετραγώνοις· ὅπερ ἔδει
δεῖξαι.
.
[μεταφραση χ.ν.κουβελης]
στα ορθογωνια τριγωνα το τετραγωνο της υποτεινουσας ,της
πλευρας απεναντι απο την ορθη γωνια,ειναι ισο με τα τετρα-
γωνα των πλευρων που περιεχουν την ορθη γωνια
εστω ορθογωνιο τριγωνο ΑΒΓ που εχει τη γωνια ΒΑΓ ορθη.
λεω[υποθετω]:πως το τετραγωνο της ΒΓ ειναι ισο με τα τετρα-
γωνα των ΒΑ,ΑΓ
ας σχεδιασω απο τη ΒΓ το τετραγωνο ΒΔΕΙ,απο τις ΒΑ,ΑΓ τα
τετραγωνα ΗΒ,ΘΓ και δια Α σε καθε μια απο τις ΒΔ,ΓΕ φερνω
την παραλληλο ΑΛ,κι ας συνδεθουν τα ΑΔ,ΖΓ,και επειδη καθε
γωνια ΒΑΓ,ΒΑΗ ειναι ορθη,αφου προς την ευθεια ΒΑ και προς
το σημειο της Α οι δυο ευθειες ΑΓ,ΑΗ δεν βρισκονται στο ιδιο
μερος τις εφεξης γωνιες τις κανουν ισες με δυο ορθες γωνιες,
ευθεια γωνια,επομενως σε ευθεια ειναι η ΓΑ με την ΑΗ,
για τον ιδιο λογο σε ευθεια ειναι και η ΒΑ με τη ΑΘ,
και επειδη η γωνια ΔΒΓ ειναι ιση με τη γωνια ΖΒΑ-αφου καθεμια
ορθη-αν τους κανω κοινη,τους προσθεσω,τη γωνια ΑΒΓ τοτε
το αθροισμα,ολη,η γωνια ΔΒΑ ειναι ιση με το αθροισμα,ολη,τη γωνια
ΖΒΓ,και επειδη ειναι ιση η ΔΒ με τη ΒΓ,και η ΖΒ με τη ΒΑ,οι ΔΒ,ΒΑ
με τις ΖΒ,ΒΓ καθεμια με καθεμια,και η γωνια ΔΒΑ ιση με τη ΖΒΓ,
τοτε η βαση ΑΔ ειναι ιση με τη βαση ΖΓ,και το τριγωνο ΔΒΑ
ειναι ισο με το τριγωνο ΖΒΓ,και ειναι το παραλληλογραμμο ΒΛ
διπλασιο του τριγωνου ΑΒΔ,αφου εχουν την ιδια βαση τη ΒΔ και
ειναι στις ιδιες παραλληλες στις ΒΔ,ΑΛ,το ΗΒ τετραγωνο ειναι διπλα-
σιο του τριγωνου ΖΒΓ,παλι εχουν την ιδια βαση την ΖΒ και ειναι
στις ιδιες παραλληλες στις ΖΒ,ΗΓ,[τα διπλασια ισων ειναι το ενα
με το αλλο ισα],επομενως ισο ειναι και το παραλληλογραμμο ΒΛ
με το τετραγωνο ΗΒ,ομοια συνδεδεμενων των ΑΕ,ΒΕ αποδειχνεται
και το παραλληλογραμμο ΓΛ ισο με το τετραγωνο ΘΓ,
επομενως ολοκληρο το τετραγωνο ΒΔΕΓ ειναι ισο και με τα δυο τετρα-
γωνα ΗΒ,ΘΓ μαζι,και ειναι το τετραγωνο ΒΔΕΓ σχεδιασμενο απο
την ΒΓ,και τα τετραγωνα ΗΒ,ΘΓ απο τις ΒΑ,ΑΓ,επομενως το τετραγωνο
απο τη πλευρα ΒΓ ειναι ισο με τα τετραγωνα απο τις πλευρες ΒΑ,ΑΓ.
επομενως στα ορθογωνια τριγωνα το τετραγωνο της υποτεινουσας,
της πλευρας απεναντι απο την ορθη γωνια,ειναι ισο με τα τετρα-
γωνα των πλευρων που περιεχουν την ορθη γωνια.[οπερ εδει δειξαι].
αυτο ακριβως το οποιο επρεπε να αποδειχθει
.
.
απο τα ΣΤΟΙΧΕΙΑ του Ευκλειδη [Βιβλιο γ']-προταση θεωρημα κβ'-
μεταφραση χ.ν.κουβελης
.
κβ΄. Τῶν ἐν τοῖς κύκλοις τετραπλεύρων αἱ ἀπεναντίον γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς
ἴσαι εἰσίν
Ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓΔ, καὶ ἐν αὐτῷ τετράπλευρον ἔστω τὸ ΑΒΓΔ· λέγω, ὅτι αἱ
ἀπεναντίον γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν.
Ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΓ, ΒΔ.
Ἐπεὶ οὖν παντὸς τριγώνου αἱ τρεῖς γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν, τοῦ ΑΒΓ ἄρα
τριγώνου αἱ τρεῖς γωνίαι αἱ ὑπὸ ΓΑΒ, ΑΒΓ, ΒΓΑ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν. ἴση δὲ ἡ
μὲν ὑπὸ ΓΑΒ τῇ ὑπὸ ΒΔΓ· ἐν γὰρ τῷ αὐτῷ τμήματί εἰσι τῷ ΒΑΔΓ·
ἡ δὲ ὑπὸ ΑΓΒ τῇ ὑπὸ ΑΔΒ· ἐν γὰρ τῷ αὐτῷ τμήματί εἰσι τῷ ΑΔΓΒ· ὅλη ἄρα ἡ
ὑπὸ ΑΔΓ ταῖς ὑπὸ ΒΑΓ, ΑΓΒ ἴση ἐστίν. κοινὴ προσκείσθω ἡ ὑπὸ ΑΒΓ· αἱ ἄρα ὑπὸ
ΑΒΓ, ΒΑΓ, ΑΓΒ ταῖς ὑπὸ ΑΒΓ, ΑΔΓ ἴσαι εἰσίν. ἀλλ' αἱ ὑπὸ ΑΒΓ, ΒΑΓ, ΑΓΒ δυσὶν
ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν. καὶ αἱ ὑπὸ ΑΒΓ, ΑΔΓ ἄρα δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν. ὁμοίως δὴ δεί-
ξομεν, ὅτι καὶ αἱ ὑπὸ ΒΑΔ, ΔΓΒ γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν.
Τῶν ἄρα ἐν τοῖς κύκλοις τετραπλεύρων αἱ ἀπεναντίον γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν·
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
.
.
κβ'.οι απεναντι γωνιες των εγγεγραμενων σε κυκλο τετραπλευρων εχουν αθροισμα
ισο με δυο ορθες
Εστω κυκλος και τα σημεια του ΑΒΓΔ, και το εγγεγραμενο σ'αυτον τετραπλευρο
ΑΒΓΔ,
υποστηριζω οτι οι απεναντι γωνιες του εχουν αθροισμα ισον με δυο ορθες
Ας ενωσουμε το Α με το Γ,και το Β με το Δ
Επειδη σε καθε τριγωνο το αθροισμα των τριων γωνιων του ειναι ισο με δυο ορθες,
τοτε του τριγωνου ΑΒΓ οι τρεις γωνιες ΓΑΒ,ΑΒΓ,ΒΓΑ εχουν αθροισμα ισον με δυο
ορθες,
η γωνια ΓΑΒ ειναι ιση με τη γωνια ΒΔΓ επειδη ειναι εγγεγραμμενες[στον ιδιο κυκλο]
στο ιδιο τμημα ΒΑΔΓ[αντιστοιχουν στο ιδιο τοξο ΒΓ ]
και η γωνια ΑΓΒ ειναι ιση με τη γωνια ΑΔΒ επειδη ειναι εγγεγραμμενες[στον ιδιο
κυκλο]στο ιδιο τμημα ΑΔΓΒ[αντιστοιχουν στο ιδιο τοξο ΑΒ]
Επομενως ολοκληρη η γωνια ΑΔΓ ιση ειναι με το αθροισμα των γωνιων ΒΑΓ,ΑΓΒ ,
με κοινη προσκειμενη[απεναντι]την γωνια ΑΒΓ
Επομενως οι γωνιες ΑΒΓ και ΑΔΓ ειναι ισες,επειδη οι γωνιες ΑΒΓ,ΒΑΓ,ΑΓΒ εχουν
αθροισμα ισον με δυο ορθες,τοτε και οι [απεναντι]γωνιες ΑΒΓ και ΑΔΓ εχουν αθροι-
σμα ισον με δυο ορθες
Ομοια θα αποδειξουμε οτι και οι [απεναντι]γωνιες ΒΑΔ και ΔΓΒ εχουν αθροισμα ισον
με δυο ορθες
Επομενως οι απεναντι γωνιες των εγγεγραμενων σε κυκλο τετραπλευρων εχουν αθροι-
σμα ισο με δυο ορθες.
Αυτο το οποιο ακριβως επρεπε να αποδειχθει
.
.
ΕΥΚΛΕΙΔΗ ΣΤΟΙΧΕΙΑ Βιβλιο δ'-ια΄. Εις τον δοθεντα κυκλον κυκλον πενταγωνον
ισοπλευρον τε και ισογωνιον εγγραψαι-μεταφραση χ.ν.κουβελης c.n.couvelis
.
.
ΕΥΚΛΕΙΔΗ ΣΤΟΙΧΕΙΑ Βιβλιο δ'
ια΄. Εἰς τὸν δοθέντα κύκλον πεντάγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον ἐγγράψαι
Ἔστω ὁ δοθεὶς κύκλος ὁ ΑΒΓΔΕ· δεῖ δὴ εἰς τὸν ΑΒΓΔΕ κύκλον πεντάγωνον
ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον ἐγγράψαι.
Ἐκκείσθω τρίγωνον ἰσοσκελὲς τὸ ΖΗΘ διπλασίονα ἔχον ἑκατέραν τῶν πρὸς τοῖς Η,
Θ γωνιῶν τῆς πρὸς τῷ Ζ, καὶ ἐγγεγράφθω εἰς τὸν ΑΒΓΔΕ κύκλον τῷ ΖΗΘ τριγώνῳ
ἰσογώνιον τρίγωνον τὸ ΑΓΔ, ὥστε τῇ μὲν πρὸς τῷ Ζ γωνίᾳ ἴσην εἶναι τὴν ὑπὸ ΓΑΔ,
ἑκατέραν δὲ τῶν πρὸς τοῖς Η, Θ ἴσην ἑκατέρᾳ τῶν ὑπὸ ΑΓΔ, ΓΔΑ· καὶ ἑκατέρα ἄρα
τῶν ὑπὸ ΑΓΔ, ΓΔΑ τῆς ὑπὸ ΓΑΔ ἐστι διπλῆ. τετμήσθω δὴ ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΑΓΔ,
ΓΔΑ δίχα ὑπὸ ἑκατέρας τῶν ΓΕ, ΔΒ εὐθειῶν, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΒ, ΒΓ, [ΓΔ],
ΔΕ, ΕΑ.
Ἐπεὶ οὖν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΑΓΔ, ΓΔΑ γωνιῶν διπλασίων ἐστὶ τῆς ὑπὸ ΓΑΔ, καὶ
τετμημέναι εἰσὶ δίχα ὑπὸ τῶν ΓΕ, ΔΒ εὐθειῶν, αἱ πέντε ἄρα γωνίαι αἱ ὑπὸ ΔΑΓ, ΑΓΕ,
ΕΓΔ, ΓΔΒ, ΒΔΑ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. αἱ δὲ ἴσαι γωνίαι ἐπὶ ἴσων περιφερειῶν βεβήκασιν·
αἱ πέντε ἄρα περιφέρειαι αἱ ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ, ΕΑ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. ὑπὸ δὲ τὰς ἴσας
περιφερείας ἴσαι εὐθεῖαι ὑποτείνουσιν· αἱ πέντε ἄρα εὐθεῖαι αἱ ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ, ΕΑ
ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν· ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓΔΕ πεντάγωνον. λέγω δή, ὅτι καὶ
ἰσογώνιον. ἐπεὶ γὰρ ἡ ΑΒ περιφέρεια τῇ ΔΕ περιφερείᾳ ἐστὶν ἴση, κοινὴ προσκείσθω
ἡ ΒΓΔ· ὅλη ἄρα ἡ ΑΒΓΔ περιφέρεια ὅλῃ τῇ ΕΔΓΒ περιφερείᾳ ἐστὶν ἴση. καὶ βέβηκεν
ἐπὶ μὲν τῆς ΑΒΓΔ περιφερείας γωνία ἡ ὑπὸ ΑΕΔ, ἐπὶ δὲ τῆς ΕΔΓΒ περιφερείας γωνία
ἡ ὑπὸ ΒΑΕ· καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΕ ἄρα γωνία τῇ ὑπὸ ΑΕΔ ἐστιν ἴση. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ
ἑκάστη τῶν ὑπὸ ΑΒΓ, ΒΓΔ, ΓΔΕ γωνιῶν ἑκατέρᾳ τῶν ὑπὸ ΒΑΕ, ΑΕΔ ἐστιν ἴση·
ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓΔΕ πεντάγωνον. ἐδείχθη δὲ καὶ ἰσόπλευρον.
Εἰς ἄρα τὸν δοθέντα κύκλον πεντάγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον ἐγγέγραπται·
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
[μεταφραση χ.ν.κουβελης]
ια'.Στον δοθεντα κυκλο πενταγωνο και ισοπλευρο και ισογωνιο να εγγραφει
Εστω ο δοθεις κυκλος ΑΒΓΔΕ.πρεπει στον ΑΒΓΔΕ κυκλο πενταγωνο και ισοπλευρο
και ισογωνιο να εγγραφει
Ας ειναι τριγωνο ισοσκελες ΗΖΘ το οποιο εχει διπλασια καθε μια απο τις γωνιες
στα Η,Θ της γωνιας προς το Ζ,και ας εγγραφει στον κυκλο ΑΒΓΔΕ στο ΖΗΘ τριγω-
νο ισογωνιο τριγωνο το ΑΓΔ,ωστε στη γωνια προς το Ζ ιση ειναι η υπο ΓΔΑ,καθε μια
δε απο τις γωνιες προς τα Η,Θ ιση με καθε μια απο τις υπο ΑΓΔ,ΓΔΑ,και καθε μια
επομενως απο τις υπο ΑΓΔ,ΓΔΑ της υπο ΓΑΔ ειναι διπλασια.ας διχοτομηθει καθε
μια απο τις υπο ΑΓΔ,ΓΔΑ απο καθε μια των ΓΕ,ΔΒ ευθειων,και ας συνδεθουν οι ΑΒ,
ΒΓ,ΓΔ,ΔΕ,ΕΑ
Επειδη λοιπον καθε μια απο τις υπο ΑΓΔ,ΓΔΑ γωνιες διπλασιες ειναι της υπο ΓΑΔ,
και διχοτομημενες ειναι απο των ,ΔΒ ευθειων,οι πεντε επομενως γωνιες υπο ΔΑΓ,
ΑΓΕ,ΕΓΔ,ΓΔΒ,ΒΔΑ ισες η μια με την αλλη ειναι,οι δε ισες γωνιες επι ισων περιφερειων
[τοξων] βαινουν.οι πεντε επομενως περιφερειες[τοξα] οι ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ, ΕΑ,ισες η
μια με την αλλη ειναι.υπο δε τις ισες περιφερειες[τοξα]ισες ευθειες[τμηματα]εκτει-
νονται.οι πεντε επομενως ευθεις οι ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ, ΕΑ,ισες η μια με την αλλη ειναι.
ισοπλευρο επομενως ειναι το ΑΒΓΔΕ πενταγωνο.λεω,πραγματι,οτι και ισογωνιο.επειδη
λοιπον η ΑΒ περιφερεια[τοξο] με την ΔΕ περιφερεια[τοξο] ειναι ιση,κοινη ας τοποθε-
τηθει πλαι η ΒΓΔ.ολη επομενως η ΑΒΓΔ περιφερεια[τοξο] σε ολη την ΕΔΓΒ περιφερεια
[τοξο] ειναι ιση.και βαινει επι μεν της ΑΒΓΔ περιφερειας[τοξου] γωνια η υπο ΑΕΔ,επι
δε της ΕΔΓΒ περιφερειας[τοξου] γωνια η υπο ΒΑΕ.και η υπο ΒΑΕ επομενως γωνια
στην υπο ΑΕΔ ειναι ιση.για τα ιδια,πραγματι,και καθε μια των υπο ΑΒΓ, ΒΓΔ, ΓΔΕ γω-
νιων με καθε μια απο των υπο ΒΑΕ, ΑΕΔ ειναι ιση.ισογωνιο επομενως ειναι το ΑΒΓΔΕ
πενταγωνο.αποδειχθηκε δε και ισοπλευρο.
Επομενως στον δοθεντα κυκλο πενταγωνο και ισοπλευρο και ισογωνιο εχει εγγραφει.
αυτο το οποιο επρεπε να κανουμε
[να κατασκευασθει]
.
.
ΕΥΚΛΕΙΔΗ ΣΤΟΙΧΕΙΑ Βιβλιο δ'-ι΄.Ισοσκελες τριγωνον συστησασθαι εχον εκατεραν
των προς τη βασει γωνιων διπλασιονα της λοιπης-μεταφραση χ.ν.κουβελης c.n.couvelis
.
.
ΕΥΚΛΕΙΔΗ ΣΤΟΙΧΕΙΑ-Βιβλιο δ'
ι΄. Ἰσοσκελὲς τρίγωνον συστήσασθαι ἔχον ἑκατέραν τῶν πρὸς τῇ βάσει γωνιῶν διπλασίονα
τῆς λοιπῆς
Ἐκκείσθω τις εὐθεῖα ἡ ΑΒ, καὶ τετμήσθω κατὰ τὸ Γ σημεῖον, ὥστε τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ
περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον εἶναι τῷ ἀπὸ τῆς ΓΑ τετραγώνῳ· καὶ κέντρῳ τῷ Α καὶ
διαστήματι τῷ ΑΒ κύκλος γεγράφθω ὁ ΒΔΕ, καὶ ἐνηρμόσθω εἰς τὸν ΒΔΕ κύκλον τῇ ΑΓ
εὐθείᾳ μὴ μείζονι οὔσῃ τῆς τοῦ ΒΔΕ κύκλου διαμέτρου ἴση εὐθεῖα ἡ ΒΔ· καὶ ἐπεζεύ-
χθωσαν αἱ ΑΔ, ΔΓ, καὶ περιγεγράφθω περὶ τὸ ΑΓΔ τρίγωνον κύκλος ὁ ΑΓΔ.Καὶ ἐπεὶ
τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΓ, ἴση δὲ ἡ ΑΓ τῇ ΒΔ, τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΒ,
ΒΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΒΔ. καὶ ἐπεὶ κύκλου τοῦ ΑΓΔ εἴληπταί τι σημεῖον ἐκτὸς τὸ Β,
καὶ ἀπὸ τοῦ Β πρὸς τὸν ΑΓΔ κύκλον προσπεπτώκασι δύο εὐθεῖαι αἱ ΒΑ, ΒΔ, καὶ ἡ μὲν
αὐτῶν τέμνει, ἡ δὲ προσπίπτει, καί ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΒΔ, ἡ ΒΔ
ἄρα ἐφάπτεται τοῦ ΑΓΔ κύκλου. ἐπεὶ οὖν ἐφάπτεται μὲν ἡ ΒΔ, ἀπὸ δὲ τῆς κατὰ τὸ Δ ἐπα-
φῆς διῆκται ἡ ΔΓ, ἡ ἄρα ὑπὸ ΒΔΓ γωνία ἴση ἐστὶ τῇ ἐν τῷ ἐναλλὰξ τοῦ κύκλου τμήματι
γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΔΑΓ. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΔΓ τῇ ὑπὸ ΔΑΓ, κοινὴ προσκείσθω ἡ ὑπὸ
ΓΔΑ· ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΔΑ ἴση ἐστὶ δυσὶ ταῖς ὑπὸ ΓΔΑ, ΔΑΓ. ἀλλὰ ταῖς ὑπὸ ΓΔΑ, ΔΑΓ
ἴση ἐστὶν ἡ ἐκτὸς ἡ ὑπὸ ΒΓΔ· καὶ ἡ ὑπὸ ΒΔΑ ἄρα ἴση ἐστὶ τῇ ὑπὸ ΒΓΔ. ἀλλὰ ἡ ὑπὸ ΒΔΑ
τῇ ὑπὸ ΓΒΔ ἐστιν ἴση, ἐπεὶ καὶ πλευρὰ ἡ ΑΔ τῇ ΑΒ ἐστιν ἴση· ὥστε καὶ ἡ ὑπὸ ΔΒΑ τῇ
ὑπὸ ΒΓΔ ἐστιν ἴση. αἱ τρεῖς ἄρα αἱ ὑπὸ ΒΔΑ, ΔΒΑ, ΒΓΔ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. καὶ ἐπεὶ ἴση
ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΔΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΒΓΔ, ἴση ἐστὶ καὶ πλευρὰ ἡ ΒΔ πλευρᾷ τῇ ΔΓ. ἀλλὰ ἡ ΒΔ
τῇ ΓΑ ὑπόκειται ἴση· καὶ ἡ ΓΑ ἄρα τῇ ΓΔ ἐστιν ἴση· ὥστε καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΓΔΑ γωνίᾳ
τῇ ὑπὸ ΔΑΓ ἐστιν ἴση· αἱ ἄρα ὑπὸ ΓΔΑ, ΔΑΓ τῆς ὑπὸ ΔΑΓ εἰσι διπλασίους. ἴση δὲ ἡ ὑπὸ
ΒΓΔ ταῖς ὑπὸ ΓΔΑ, ΔΑΓ· καὶ ἡ ὑπὸ ΒΓΔ ἄρα τῆς ὑπὸ ΓΑΔ ἐστι διπλῆ. ἴση δὲ ἡ ὑπὸ ΒΓΔ
ἑκατέρᾳ τῶν ὑπὸ ΒΔΑ, ΔΒΑ· καὶ ἑκατέρα ἄρα τῶν ὑπὸ ΒΔΑ, ΔΒΑ τῆς ὑπὸ ΔΑΒ ἐστι
διπλῆ.
Ἰσοσκελὲς ἄρα τρίγωνον συνέσταται τὸ ΑΒΔ ἔχον ἑκατέραν τῶν πρὸς τῇ ΔΒ βάσει
γωνιῶν διπλασίονα τῆς λοιπῆς· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
[μεταφραση χ.ν.κουβελης]
ι' ισοσκελες τριγωνο να κατασκευασθει το οποιο εχει καθε μια απο τις προς
τη βαση γωνιες διπλασια της λοιπης
Ας ειναι καποια ευθεια[τμημα]ΑΒ] και ας τμηθει κατα το Γ σημειο,ωστε το υπο
των ΑΒ,ΒΓπεριεχομενον ορθογωνιον[ΑΒ.ΒΓ] ισο ειναι με το απο της ΓΑ τετραγωνο
[ΓΑ .ΓΑ].και με κεντρο το Α και με διαστημα το ΑΒ κυκλος ας γραφει ο ΒΔΕ,και
ας συναρμοσθει στον ΒΔΕ κυκλο στην ΑΓ ευθεια οχι μεγαλυτερη να ειναι της δια-
μετρου του ΒΔΕ κυκλου ιση ευθεια η ΒΔ.και ας συνδεθουν οι ΑΔ,ΔΓ,και ας περι-
γραφει περι το ΑΓΔ τριγωνο κυκλος ο ΑΓΔ.
Και επειδη το υπο των ΑΒ,ΒΓ[ορθογωνιο] ισον ειναι στο απο της ΑΓ[τετραγωνο],
ιση δε η ΑΓ στη ΒΔ,επομενως το υπο των ΑΒ,ΒΓ[ορθογωνιο] ισο ειναι στο απο της
ΒΔ[τετραγωνο],και επειδη του ΑΓΔ[κυκλου] βρισκεται καποιο σημειο εκτος το Β,
και απο του Β προς τον ΑΓΔ κυκλον προσπιπτουν δυο ευθειες οι ΒΑ,ΒΔ,και η μια
μεν απ'αυτες τεμνει,η δε αλλη προσπιπτει,και ειναι το υπο των ΑΒ,ΒΓ[ορθογωνιο]
ισο με το απο της ΒΔ[τετραγωνο],η ΒΔ επομενως εφαπτεται του ΑΓΔ κυκλου.
επειδη λοιπον εφαπτεται μεν η ΒΔ,απο δε της κατα το Δ επαφης διερχεται η ΔΓ,η
υπο ΒΔΓ γωνια επομενως ιση ειναι με την στο αλλο μερος του κυκλου γωνια στην
υπο ΔΑΓ.επειδη λοιπον ιση ειναι η υπο ΒΓΔ στην υπο ΔΑΓ,κι ας μαζι προσκηθει η
υπο ΓΔΑ.ολη επομενως η υπο ΒΔΑ ιση ειναι με τις δυο τις υπο ΓΔΑ,ΔΑΓ.αλλα στις
υπο ΓΔΑ,ΔΑΓ ιση ειναι η εκτος η υπο ΒΓΔ.και η υπο ΒΔΑ επομενως ιση ειναι με την
υπο ΒΓΔ.αλλα η υπο ΒΔΑ με την υπο ΓΒΔ ειναι ιση,επειδη και η πλευρα ΑΔ με την
ΑΒ ειναι ιση.ωστε και η υπο ΔΒΑ με την υπο ΒΓΔ ειναι ιση.οι τρεις επομενως οι υπο
ΒΔΑ,ΔΒΑ,ΒΓΔ ισες η μια με την αλλη ειναι.και επειδη ιση ειναι η υπο ΔΒΓ γωνια με
την υπο ΒΓΔ,ιση ειναι και η πλευρα ΒΔ με την πλευρα την ΔΓ.αλλα η ΒΔ στη ΓΑ
βρισκεται απο κατω ιση.και η ΓΑ επομενως με τη ΓΔ ιση ειναι.ωστε και η γωνια η υπο
ΓΔΑ με την γωνια υπο ΔΑΓ ειναι ιση.επομενως οι υπο ΓΔΑ,ΔΑΓ της υπο ΔΑΓ ειναι
διπλασιες.ιση δε η υπο ΒΓΔ με τις υπο ΓΔΑ,ΔΑΓ.και η υπο ΒΓΔ επομενως της υπο
ΓΑΔ ειναι διπλασια.ιση δε η υπο ΒΓΔ με καθε μια σπο τις υπο ΒΔΑ,ΔΒΑ.και καθε μια
επομενως απο τις υπο ΒΔΑ,ΔΒΑ της υπο ΔΒΑ ειναι διπλασια.
Ισοσκελες επομενως τριγωνο κατατασκευασθηκε το ΑΒΔ το οποιο εχει καθε μια απο
τις προς τη ΔΒ βαση γωνιες διπλασιες της λοιπης.
αυτο το οποιο επρεπε να κανουμε
[να κατασκευασθει]
.
.
το αντιστροφο του 4ο αιτηματος του Ευκλειδη δεν ισχυει παντοτε-χ.ν.κουβελης c.n.couvelis
4ο Αιτημα των ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ του ΕΥΚΛΕΙΔΗ:
-Ολες οι ορθες γωνιες ειναι ισες-
Κατα τον Παππο το αντιστροφο δεν ισχυει:
οι γωνιες που ειναι ισες με μια ορθη γωνια δεν ειναι ισες παντοτε,παρα μονο
αν ειναι ευθυγραμμες
Αποδειξη:
Εστω η ορθη γωνια ΑΒΓ,με ΑΒ=ΒΓ και τα ισα ημικυκλια ΑΔΒ και ΒΕΓ
Τοτε γωνια ΑΔΒ=ΒΕΓ γωνια.Αν σ'αυτες προσθεσω την ΑΒΕ εχω:
ΔΒΕ γωνια=ΑΒΓ γωνια που ειναι ιση με ορθη γωνια.
Τοτε οι γωνιες αυτες δεν ειναι ισες ενω ειναι ισες με μια ορθη.
Οπερ Εδει Δειξαι.
.
.
.
ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ-Βιβλιο Α'-προταση β'- c.n.couvelis χ.ν.κουβελης
.
.
ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ
Βιβλιο Α'
προταση β'.
Προς τω δοθεντι σημειω τη δοθειση ευθεια ισην ευθειαν θεσθαι
Στο δοσμενο σημειο στη δοσμενη ευθεια ιση ευθεια να τοποθετηθει
[μεταφραση χ.ν.κουβελης]
.
β΄. Πρὸς τῷ δοθέντι σημείῳ τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ ἴσην εὐθεῖαν θέσθαι.
Ἔστω τὸ μὲν δοθὲν σημεῖον τὸ Α, ἡ δὲ δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΒΓ· δεῖ δὴ πρὸς τῷ Α σημείῳ τῇ
δοθείσῃ εὐθείᾳ τῇ ΒΓ ἴσην εὐθεῖαν θέσθαι.
Ἐπεζεύχθω γὰρ ἀπὸ τοῦ Α σημείου ἐπὶ τὸ Β σημεῖον εὐθεῖα ἡ ΑΒ, καὶ συνεστάτω ἐπ' αὐτῆς τρίγωνον ἰσόπλευρον τὸ ΔΑΒ, καὶ ἐκβεβλήσθωσαν ἐπ' εὐθείας ταῖς ΔΑ, ΔΒ εὐθεῖαι αἱ ΑΕ, ΒΖ,
καὶ κέντρῳ μὲν τῷ Β διαστήματι δὲ τῷ ΒΓ κύκλος γεγράφθω ὁ ΓΗΘ, καὶ πάλιν κέντρῳ τῷ Δ καὶ διαστήματι τῷ ΔΗ κύκλος γεγράφθω ὁ ΗΚΛ.
Ἐπεὶ οὖν τὸ Β σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΓΗΘ κύκλου, ἴση ἐστὶν ἡ ΒΓ τῇ ΒΗ. πάλιν, ἐπεὶ τὸ Δ σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΚΛΗ κύκλου, ἴση ἐστὶν ἡ ΔΛ τῇ ΔΗ, ὧν ἡ ΔΑ τῇ ΔΒ ἴση ἐστίν. λοιπὴ
ἄρα ἡ ΑΛ λοιπῇ τῇ ΒΗ ἐστὶν ἴση. ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ΒΓ τῇ ΒΗ ἴση· ἑκατέρα ἄρα τῶν ΑΛ, ΒΓ τῇ
ΒΗ ἐστὶν ἴση. τὰ δὲ τῷ αὐτῷ ἴσα καὶ ἀλλήλοις ἐστὶν ἴσα· καὶ ἡ ΑΛ ἄρα τῇ ΒΓ ἐστὶν ἴση.
Πρὸς ἄρα τῷ δοθέντι σημείῳ τῷ Α τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ τῇ ΒΓ ἴση εὐθεῖα κεῖται ἡ ΑΛ·
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
.
.
β'.Στο δοσμενο σημειο στη δοσμενη ευθεια ιση ευθεια να τοποθετηθει.
δοσμενη ευθεια ΒΓ ιση ευθεια να τοποθετηθει.
Συνδεεται απο το Α σημειο επι το Β σημειο ευθεια ΑΒ,και κατασκευαζεται πανω αυτης
τριγωνο ισοπλευρο το ΔΑΒ,και προεκτεινονται σε ευθεια στις ΔΑ,ΔΒ ευθειες οι ΑΕ,ΒΖ,
και με κεντρο μεν στο Β με διαστημα ισο στο ΒΓ κυκλος θα εχει γραφει ο ΓΗΘ,και παλι με
κεντρο στο Δ και με διαστημα ισο στο ΔΗ κυκλος θα εχει γραφει ο ΗΚΛ.
Επειδη λοιπον το Β σημειο κεντρο ειναι του ΓΗΘ κυκλου,ιση ειναι η ΒΓ στη ΒΗ.παλι,επειδη
το Δ σημειο κεντρο ειναι του ΚΛΗ κυκλου,ιση ειναι η ΔΛ στη ΔΗ,οντας η ΔΑ στη ΔΒ ιση
ειναι.η υπολοιπη επομενως η ΑΛ στην υπολοιπη την ΒΗ ειναι ιση.αποδειχτηκε δε και η ΒΓ
στη ΒΗ ιση.καθε μια επομενως των ΑΛ,ΒΓ στη ΒΗ ειναι ιση.τα δε στο ιδιο ισα και μεταξυ
τους ειναι ισα.και η ΑΛ επομενως στη ΒΓ ειναι ιση.
Επομενως στο δοσμενο σημειο στο Α στη δοσμενη ευθεια ΒΓ ιση ευθεια βρισκεται η ΑΛ.
αυτο το οποιο επρεπε να γινει.
.
.
ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ-Βιβλιο Α'-προταση β'
-animations αποδειξης c.n.couvelis χ.ν.κουβελης
-music Iannis Xenakis Rebonds A
.
.
.
.
.
ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ-Στοιχεια Α'-προτασεις ε' και στ'.-χ.ν.κουβελης c.n.couvelis
.
.
ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ-Στοιχεια Α'-προτασεις ε' και στ'.
[μεταφραση χ.ν.κουβελης]
.
.
ε'. Τῶν ἰσοσκελῶν τριγώνων αἱ πρὸς τῇ βάσει γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν, καὶ
προσεκβληθεισῶν τῶν ἴσων εὐθειῶν αἱ ὑπὸ τὴν βάσιν γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις ἔσονται.
Ἔστω τρίγωνον ἰσοσκελὲς τὸ ΑΒΓ ἴσην ἔχον τὴν ΑΒ πλευρὰν τῇ ΑΓ πλευρᾷ, καὶ προσεκβεβλήσθωσαν ἐπ' εὐθείας ταῖς ΑΒ, ΑΓ εὐθεῖαι αἱ ΒΔ, ΓΕ· λέγω, ὅτι ἡ μὲν ὑπὸ ΑΒΓ
γωνία τῇ ὑπὸ ΑΓΒ ἴση ἐστίν, ἡ δὲ ὑπὸ ΓΒΔ τῇ ὑπὸ ΒΓΕ. Εἰλήφθω γὰρ ἐπὶ τῆς ΒΔ τυχὸν
σημεῖον τὸ Ζ, καὶ ἀφῃρήσθω ἀπὸ τῆς μείζονος τῆς ΑΕ τῇ ἐλάσσονι τῇ ΑΖ ἴση ἡ ΑΗ, καὶ
ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΖΓ, ΗΒ εὐθεῖαι. Ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΑΖ τῇ ΑΗ ἡ δὲ ΑΒ τῇ ΑΓ, δύο δὴ
αἱ ΖΑ, ΑΓ δυσὶ ταῖς ΗΑ, ΑΒ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ· καὶ γωνίαν κοινὴν περιέχουσι τὴν
ὑπὸ ΖΑΗ· βάσις ἄρα ἡ ΖΓ βάσει τῇ ΗΒ ἴση ἐστίν, καὶ τὸ ΑΖΓ τρίγωνον τῷ ΑΗΒ τριγώνῳ ἴσον
ἔσται, καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις ἴσαι ἔσονται ἑκατέρα ἑκατέρᾳ, ὑφ' ἃς αἱ
ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν, ἡ μὲν ὑπὸ ΑΓΖ τῇ ὑπὸ ΑΒΗ, ἡ δὲ ὑπὸ ΑΖΓ τῇ ὑπὸ ΑΗΒ. καὶ ἐπεὶ
ὅλη ἡ ΑΖ ὅλῃ τῇ ΑΗ ἐστιν ἴση, ὧν ἡ ΑΒ τῇ ΑΓ ἐστιν ἴση, λοιπὴ ἄρα ἡ ΒΖ λοιπῇ τῇ ΓΗ ἐστιν
ἴση. ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ΖΓ τῇ ΗΒ ἴση· δύο δὴ αἱ ΒΖ, ΖΓ δυσὶ ταῖς ΓΗ, ΗΒ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα
ἑκατέρᾳ· καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΖΓ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΓΗΒ ἴση, καὶ βάσις αὐτῶν κοινὴ ἡ ΒΓ· καὶ τὸ
ΒΖΓ ἄρα τρίγωνον τῷ ΓΗΒ τριγώνῳ ἴσον ἔσται, καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις
ἴσαι ἔσονται ἑκατέρα ἑκατέρᾳ, ὑφ' ἃς αἱ ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν
ὑπὸ ΖΒΓ τῇ ὑπὸ ΗΓΒ ἡ δὲ ὑπὸ ΒΓΖ τῇ ὑπὸ ΓΒΗ. ἐπεὶ οὖν ὅλη ἡ ὑπὸ ΑΒΗ γωνία ὅλῃ τῇ ὑπὸ
ΑΓΖ γωνίᾳ ἐδείχθη ἴση, ὧν ἡ ὑπὸ ΓΒΗ τῇ ὑπὸ ΒΓΖ ἴση, λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΒΓ λοιπῇ τῇ ὑπὸ
ΑΓΒ ἐστιν ἴση· καί εἰσι πρὸς τῇ βάσει τοῦ ΑΒΓ τριγώνου. ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΖΒΓ τῇ ὑπὸ
ΗΓΒ ἴση· καί εἰσιν ὑπὸ τὴν βάσιν. Τῶν ἄρα ἰσοσκελῶν τριγώνων αἱ πρὸς τῇ βάσει γωνίαι
ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν, καὶ προσεκβληθεισῶν τῶν ἴσων εὐθειῶν αἱ ὑπὸ τὴν βάσιν γωνίαι ἴσαι
ἀλλήλαις ἔσονται· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
.
.
ε'.Των ισοσκελων τριγωνων οι προς στη βαση γωνιες ισες η μια με την αλλη ειναι,
και προεκτεινομενων των ισων ευθειων οι υπο τη βαση γωνιες ισες η μια με την
αλλη γινονται.
Εστω τριγωνο ισοσκελες το ΑΒΓ ιση εχον την ΑΒ πλευρα στην ΑΓ πλευρα,και ας εχουν
προεκταθει σ'ευθεια στις ΑΒ,ΑΓ ευθειες οι ΒΔ,ΓΕ.λεγω,οτι η μεν υπο ΑΒΓ γωνια στην
υπο ΑΓΒ ιση ειναι,η δε υπο ΓΒΔ στην υπο ΒΓΕ.
Ας ληφθει επι της ΒΔ τυχον σημειον το Ζ,και ας αφαιρεθει απο της μεγαλυτερης της
ΑΕ στη μικροτερη στη ΑΖ ιση η ΑΗ,κι ας συνδεθουν οι ΖΓ,ΗΒ ευθειες.Επειδη λοιπον
ιση ειναι η μεν ΑΖ στην ΑΗ η δε ΑΒ στην ΑΓ ,δυο ακομα οι ΖΑ,ΑΓ στις δυο ΗΑ,ΑΒ ισες
ειναι καθε μια με καθε μια.και γωνια κοινη περιεχουν την υπο ΖΑΗ.επομενως η βαση
ΖΓ στη βαση ΗΒ ιση ειναι,και το ΑΖΓ τριγωνο στο ΑΗΒ τριγωνο ισο ειναι,και οι λοιπες
γωνιες στις λοιπες γωνιες ισες γινονται η καθε μια με καθε μια,αυτες που οι ισες
πλευρες υποτεινουν, η μεν υπο ΑΓΖ στην υπο ΑΒΗ,η δε υπο ΑΖΓ στην υπο ΑΗΒ.και
επειδη ολη η ΑΖ σε ολη την ΑΗ ειναι ιση,ακομα η ΑΒ στην ΑΓ ειναι ιση,επομενως η
λοιπη ΒΖ στη λοιπη ΓΗ ειναι ιση.δειχθηκε δε και η ΖΓ στην ΗΒ ιση.δυο ακομα οι
ΒΖ,ΖΓ στις δυο ΓΗ,ΗΒ ισες ειναι καθε μια με καθε μια.και η γωνια υπο ΒΖΓ στη
γωνια υπο ΓΗΒ ιση,και βαση αυτων κοινη η ΒΓ.και το ΒΖΓ επομενως τριγωνο στο ΓΗΒ
τριγωνο ισο ειναι,και οι λοιπες γωνιες στις λοιπες γωνιες ισες γινονται καθε μια
με καθε μια,αυτες που οι ισες πλευρες υποτεινουν.ιση επομενως ειναι η μεν υπο
ΖΒΓ στην υπο ΗΓΒ η δε υπο ΒΓΖ στην υπο ΓΒΗ.επειδη λοιπον ολη η υπο ΑΒΗ γωνια με
ολη την υπο ΑΓΖ γωνια δειχθηκε ιση,αφου η υπο ΓΒΗ στην υπο ΒΓΖ ιση,η λοιπη
επομενως υπο ΑΒΓ στην λοιπη υπο ΑΓΒ ειναι ιση.και ειναι προς στην βαση του ΑΒΓ
τριγωνου.δειχθηκε δε και η υπο ΖΒΓ στην υπο ΗΓΒ ιση. και ειναι υπο τη βαση.
Επομενως των ισοσκελων τριγωνων οι προς στη βαση γωνιες ισες η μια με την αλλη
ειναι,και προεκτεινομενων των ισων ευθειων οι υπο τη βαση γωνιες ισες η μια με
την αλλη γινονται. αυτο το οποιο επρεπε να δειχθει.
.
.
στ'. Ἐὰν τριγώνου αἱ δύο γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις ὦσιν, καὶ αἱ ὑπὸ τὰς ἴσας γωνίαις
ὑποτείνουσαι πλευραὶ ἴσαι ἀλλήλαις ἔσονται.
Ἔστω τρίγωνον τὸ ΑΒΓ ἴσην ἔχον τὴν ὑπὸ ΑΒΓ γωνίαν τῇ ὑπὸ ΑΓΒ γωνίᾳ· λέγω, ὅτι καὶ
πλευρὰ ἡ ΑΒ πλευρᾷ τῇ ΑΓ ἐστιν ἴση. Εἰ γὰρ ἄνισός ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΑΓ, ἡ ἑτέρα αὐτῶν μείζων
ἐστίν. ἔστω μείζων ἡ ΑΒ, καὶ ἀφῃρήσθω ἀπὸ τῆς μείζονος τῆς ΑΒ τῇ ἐλάττονι τῇ ΑΓ ἴση ἡ
ΔΒ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΓ. Ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΔΒ τῇ ΑΓ κοινὴ δὲ ἡ ΒΓ, δύο δὴ αἱ ΔΒ, ΒΓ δύο
ταῖς ΑΓ, ΓΒ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ, καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΔΒΓ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΑΓΒ ἐστιν ἴση·
βάσις ἄρα ἡ ΔΓ βάσει τῇ ΑΒ ἴση ἐστίν, καὶ τὸ ΔΒΓ τρίγωνον τῷ ΑΓΒ τριγώνῳ ἴσον ἔσται, τὸ
ἔλασσον τῷ μείζονι· ὅπερ ἄτοπον· οὐκ ἄρα ἄνισός ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΑΓ· ἴση ἄρα. Ἐὰν ἄρα
τριγώνου αἱ δύο γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις ὦσιν, καὶ αἱ ὑπὸ τὰς ἴσας γωνίας ὑποτείνουσαι
πλευραὶ ἴσαι ἀλλήλαις ἔσονται· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
.
.
στ'.Εαν τριγωνου οι δυο γωνιες ισες η μια με την αλλη ειναι,και οι υπο τις ισες γωνιες
υποτεινουσες πλευρες ισες η μια με την αλλη γινονται.
Εστω τριγωνο το ΑΒΓ ισην εχον την υπο ΑΒΓ γωνια στη υπο ΑΓΒ γωνια.λεγω,οτι και η
πλευρα ΑΒ στη πλευρα ΑΓ ειναι ιση.Εαν επομενως ανιση ειναι η ΑΒ στη ΑΓ,η αλλη απο
αυτες μεγαλυτερη ειναι. εστω μεγαλυτερη η ΑΒ,κι ας αφαιρεθει απο της μεγαλυτερης
της ΑΒ στη μικροτερη στη ΑΓ ιση η ΔΒ.κι ας συνδεθει η ΔΓ.Επειδη λοιπον ιση ειναι η ΔΒ
στην ΑΓ κοινη δε η ΒΓ,δυο τοτε οι ΔΒ,ΒΓ στις δυο ΑΓ,ΓΒ ισες ειναι καθε μια με καθε μια,
και η γωνια υπο ΔΒΓ στη γωνια υπο ΑΓΒ ειναι ιση.επομενως η βαση ΔΓ στη βαση ΑΒ ιση
ειναι,και το ΔΒΓ τριγωνο στο ΑΓΒ τριγωνο ισο ειναι,το μικροτερο στο μεγαλυτερο.αυτο
το οποιο ειναι ατοπο.επομενως δεν ειναι ανιση η ΑΒ στην ΑΓ.ιση επομενως.
Εαν επομενως τριγωνου οι δυο γωνιες ισες η μια με την αλλη ειναι,και οι υπο τις ισες
γωνιες υποτεινουσες πλευρες ισες η μια με την αλλη γινονται.
αυτο το οποιο επρεπε να δειχθει.
.
.
.
Ευκλειδης-Παππος-και η 5 προταση των Στοιχειων-χ.ν.κουβελης c.n.couvelis
.
.
Παππος ο Αλεξανδρευς[3ος-4ος αι. μ.Χ]Μεγαλος Ελληνας μαθηματικος της Αλεξανδρειας.
Εγραψε,εκτος των αλλων,την Μαθηματικη Συναγωγη,8 βιβλια.
.
.
Η ΕΥΦΥΗΣ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΤΟΥ ΠΑΠΠΟΥ ΤΗΣ Ε' ΠΡΟΤΑΣΗΣ ΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ Α'
ΤΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΗ-χ.ν.κουβελης
ε΄. Τῶν ἰσοσκελῶν τριγώνων αἱ πρὸς τῇ βάσει γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν, καὶ προσεκβληθεισῶν
τῶν ἴσων εὐθειῶν αἱ ὑπὸ τὴν βάσιν γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις ἔσονται.
[τα ισοσκελη τριγωνα εχουν τις παρα την βασιν γωνιες ισες]
.
Αν το τριγωνο ΑΒΓ ειναι ισοσκελες,ΑΒ=ΑΓ τοτε:γωνια Β=Γ γωνια,παρα την βασιν
Αποδειξη του Παππου:Αν μεταφερουμε[μεταθεσουμε] ενα σχημα τοτε αυτο
παραμενει[ειναι]το ιδιο και αλλο.
στα τριγωνα ΒΑΓ και ΓΑΒ ειναι ΑΒ=ΑΓ,ΑΓ=ΑΒ και γωνια ΒΑΓ=ΓΑΒ γωνια
τοτε απο την δ' προταση:
Ἐὰν δύο τρίγωνα τὰς δύο πλευρὰς [ταῖς] δυσὶ πλευραῖς ἴσας ἔχῃ ἑκατέραν ἑκατέρᾳ
καὶ τὴν γωνίαν τῇ γωνίᾳ ἴσην ἔχῃ τὴν ὑπὸ τῶν ἴσων εὐθειῶν περιεχομένην, καὶ τὴν
βάσιν τῇ βάσει ἴσην ἕξει, καὶ τὸ τρίγωνον τῷ τριγώνῳ ἴσον ἔσται, καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι
ταῖς λοιπαῖς γωνίαις ἴσαι ἔσονται ἑκατέρα ἑκατέρᾳ, ὑφ' ἃς αἱ ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν.
[εαν δυο τριγωνα εχουν δυο πλευρες τους μια προς μια ισες και τις περιεχομενες σ'αυτες
τις πλευρες γωνιες ισες ,τοτε ειναι ισα,και εχουν και τ'αλλα τους στοιχεια,γωνιες και
πλευρες,ισα ενα προς ενα.]
εχω:τριγωνο ΒΑΓ=ΓΑΒ τριγωνο.Επομενως:γωνια Β=Γ γωνια,παρα την βασιν γωνιες.
Οπερ εδει δειξαι.
.
.
.
[Στον Πλατωνα]
Η ΔΙΑΛΕΚΤΙΚΗ-ΜΑΙΕΥΤΙΚΗ-ΜΕΘΟΔΟΣ ΣΤΗ ΛΥΣΗ ΕΝΟΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ
-χ.ν.κουβελης
.
Δασκαλος:αν σ'ενα τριγωνο γνωριζουμε μια γωνια του,το υψος του προς την απεναντι
αυτης της γωνιας πλευρας του και την περιμετρο του,μπορουμε να το κατασκευασουμε;
Μαθητης:δυσκολο,μου φαινεται
Δ:ας το δουμε.Τι εννοω λεγοντας να το δουμε;
Μ:να σχεδιασουμε,φυσικα
Δ:πολυ ορθα.Σχεδιαζω το σχημα 1.ΑΒΓ το τριγωνο,με τη γωνια ΒΑΓ γνωστη,και το υψος υ απο
την κορυφη Α στην πλευρα ΒΓ γνωστο,με την περιμετρο του τ,ΑΒ συν ΒΓ συν ΓΑ γνωστη.
Μ:το βλεπω
Δ:απο αυτο μπορουμε να δουμε κατι που μπορει να μας βοηθησει;
Μ:οχι,δεν βλεπω,ευκολα κατι.
Δ:σχεδιαζω το σχημα 2,τωρα βλεπεις κατι;
Μ:οχι,δεν βλεπω
Δ:σχεδιαζω και το σχημα 3,τωρα;
Μ:ουτε τωρα.
Δ:γιατι;
Μ:να,δεν με ικανοποιουν,νομιζω πως αυτο ειναι
Δ:μηπως δεν σε ικανοποιουν επειδη δεν σ'αρεσουν,δεν ειναι ομορφα;
Μ:αυτο ειναι,δεν ειναι ομορφα
Δ:ποτε ειναι κατι ομορφο;
Μ:φυσικα οταν εχει αναλογιες
Δ:ορθα λες,δηλαδη οταν κατι εχει συμμετρια.
Μ:ναι,ορθα,συμμετρια.
Δ:ας σχεδιασω το σχημα 4,τοτε βλεπεις αυτο να εχει καποια συμμετρια;
Μ:ναι,τωρα βλεπω να εχει συμμετρια
Δ:με βαση το σχημα 4 σχεδιαζω το σχημα 5
οπου παιρνω στη βαση,το ΒΔ προς το μερος του ΑΒ και ισο του,και το ΓΕ προς το
μερος του ΑΓ και ισο του,τωρα σου φαινεται περισσοτερο συμμετρικο;
Μ:φυσικα,περισσοτερο συμμετρικο
Δ:τα τριγωνα ΑΒΔ,ΑΓΕ τοτε δεν ειναι ισοσκελη;
Μ:ορθα και ειναι,αφου εχουν δυο πλευρες ισες,την ΒΑ ιση με την ΒΔ τοτε το τριγωνο ΑΒΔ
ειναι ισοσκελες,και την ΓΑ ιση με την ΓΕ τοτε το τριγωνο ΑΓΕ τριγωνο ειναι ισοσκελες
Δ:τα ισοσκελη τριγωνα δεν γνωριζουμε πως εχουν τις παρα την βασιν γωνιες ισες;
αυτο απο τα Στοιχεια του Ευκλειδη
Μ:βεβαια ετσι ειναι απο τον Ευκλειδη,η γωνια ΔΑΒ ιση με την ΒΔΑ γωνια στο τριγωνο ΑΒΔ,
και η γωνια ΕΑΓ ιση με την ΓΕΑ γωνια στο τριγωνο ΑΓΕ
Δ:ορθα λες,τοτε η γωνια ΑΒΓ ειναι εξωτερικη γωνια στο τριγωνο ΑΒΔ και ειναι ιση με το
αθροισμα των απεναντι εσωτερικων γωνιων του,την ΔΑΒ συν την ΒΔΑ
Μ:ετσι ειναι,και η γωνια ΑΓΒ ειναι εξωτερικη γωνια στο τριγωνο ΑΓΕ και ειναι ιση με το
αθροισμα των απεναντι εσωτερικων γωνιων του,την ΕΑΓ συν την ΓΕΑ
Δ:ορθα,τοτε εχουμε την ΑΒΓ ιση με την ΔΑΒ συν την ΒΔΑ,κι επειδη η ΔΑΒ ιση με την ΒΔΑ
τοτε η ΑΒΓ ειναι διπλασια απο καθεμια απο τις ΒΔΑ,ΔΑΒ
Μ:φυσικα ετσι ειναι, ακομα εχουμε την ΑΓΒ ιση με την ΕΑΓ συν την ΓΕΑ,κι επειδη η ΕΑΓ
ιση με την ΓΕΑ τοτε η ΑΓΒ ειναι διπλασια απο καθεμια απο τις ΓΕΑ, ΕΑΓ
Δ:ετσι ειναι,και η γωνια ΔΑΕ ειναι ιση με το αθροισμα των τριων γωνιων,ΔΑΒ,ΒΑΓ,ΕΑΓ,
επειδη η γωνια ΔΑΒ ειναι ιση με το ημισυ της γωνιας ΑΒΓ και η γωνια ΕΑΓ ειναι ιση με το ημισυ
της γωνιας ΑΓΒ τοτε η γωνια ΔΑΕ ειναι ιση με το αθροισμα της γωνιας ΒΑΓ συν το ημισυ του
αθροισματος των γωνιων ΑΒΓ και ΑΓΒ
Μ:και βεβαια ειναι
Δ:και σε καθε τριγωνο το αθροισμα των γωνιων του δεν ειναι ισο με δυο ορθες;
Μ:απο τον Ευκλειδη αυτο ειναι
Δ:τοτε και στο τριγωνο ΑΒΓ το αθροισμα των τριων γωνιων του,ΒΑΓ,ΑΓΒ,ΑΒΓ ειναι ισο με
δυο ορθες
Μ:ειναι
Δ: τοτε το αθροισμα των γωνιων ΑΒΓ και ΑΓΒ ειναι ισο με δυο ορθες μειον την γωνια ΒΑΓ;
Μ:φυσικα αυτο εξαγεται
Δ:και το ημισυ του αθροισματος των γωνιων ΑΒΓ και ΑΓΒ δεν ειναι ισο με μια ορθη γωνια
μειον το ημισυ της γωνιας ΒΑΓ;
Μ:ορθα
Δ:τοτε η γωνια ΔΑΕ ειναι ιση με μια ορθη γωνια συν το ημισυ της γωνιας ΒΑΓ και ειναι γνωστη
γωνια
Μ:φαινεται να ειναι ετσι
Δ:στο τριγωνο ΔΑΕ τοτε εχουμε μια γωνια γνωστη,την ΔΑΕ,επισης το υψος υ απ'αυτη την
κορυφη Α στην απεναντι πλευρα ΔΕ γνωστο ,κι αυτη την απεναντι πλευρα ιση με τ,την
δοσμενη περιμετρο του αρχικα ζητουμενου να κατασκευασθει τριγωνου ΑΒΓ
Μ:αληθεια,αυτο εχουμε
Δ:αυτο το τριγωνο ΔΑΕ μπορει να κατασκευασθει;
Μ:φυσικα,ευκολα μπορει
Δ:κι αν αυτο κατασκευασθει τοτε κατασκευαζεται και το τριγωνο ΑΒΓ το οποιο ειναι το
ζητουμενο;
Μ:ναι,το ζητουμενο τριγωνο ΑΒΓ θα κατασκευασθει.
Δ:πως λοιπον μπορει να γινει αυτο;πες
Μ:πρωτον,ας αρχισουμε να σχεδιαζουμε το σχημα 6 θα κατασκευασθει μια γωνια ιση με την
γωνια ΔΑΕ,σε μια πλευρα αυτης της γωνιας θα παρουμε τμημα,με αρχη την κορυφη της,ισο
με τ την περιμετρο του ΑΒΓ,κι ας το ονομασουμε ΔΕ
Δ:πως προχωραμε;συνεχισε
Μ:εχοντας υπ'οψιν το θεωρημα:
η γωνια η υπο χορδης και εφαπτομενης ενος κυκλου στο ακρο της χορδης ειναι ιση με την
εγγεγραμμενη γωνια του κυκλου αντιστοιχη στο τοξο της χορδης,
απ'αυτο το θεωρημα συνεπαγεται πως η κορυφη Α ανηκει στον γεωμετρικο τοπο του κυκλου
κι επιπλεον επειδη αυτη απεχει αποσταση ιση με υ απο την χορδη τοτε ανηκει στον γεωμετρικο
τοπο της παραλληλης ευθειας στην χορδη σε αποσταση υ κι επομενως η ζητουμενη κορυφη Α
ειναι η τομη αυτων των δυο γεωμετρικων τοπων
Δ:πρεπει να κατασκευασθουν αυτοι οι δυο γεωμετρικοι τοποι
Μ:ναι,για να κατασκευασουμε τον πρωτο γεωμετρικο τοπο του κυκλου πρεπει να βρουμε το
κεντρο του,αυτο βρισκεται στην τομη της μεσοκαθετου της χορδης με την καθετο στην αλλη
πλευρα της γωνιας στην κορυφη της γωνιας αυτης
Δ:πολυ ορθα
Μ:τοτε με κεντρο αυτο το σημειο τομης και ακτινα την αποσταση του απο το ενα ακρο
της χορδης γραφουμε τον ζητουμενο κυκλο
Δ:πολυ ορθα,συνεχισε
Μ:δες το σχημα 7,φερνουμε παραλληλη ευθεια προς την χορδη σε αποσταση ιση με υ απο
αυτην,η τομη του κυκλου και αυτης της παραλληλης ευθειας ειναι το ζητουμενο σημειο,το Α,
η κορυφη του τριγωνου ΑΒΓ το οποιο θελουμε να κατασκευασουμε
Δ:βεβαιως αυτο ειναι,αφου κατασκευασες το τριγωνο ΔΑΕ συνεχισε
Μ:συνεχιζω σχεδιαζοντας το σχημα 8,
στο τριγωνο ΔΑΕ στη μια πλευρα του την ΑΔ φερνω την μεσοκαθετο σ'αυτη η οποια
τεμνει την πλευρα του ΔΕ στο σημειο Β,συνδεω το Β με το Α,τοτε το τριγωνο ΑΒΔ ειναι
ισοσκελες με την ΑΒ ιση με την ΔΒ
Δ:ορθα,ομοια συνεχιζεις
Μ:ναι,ομοια,στην αλλη πλευρα την ΑΕ του τριγωνου ΑΔΕ φερνω την μεσοκαθετο σ'αυτη
η οποια τεμνει την ΔΕ στο σημειο Γ,συνδεω το Γ με το Α,τοτε το τριγωνο ΑΓΕ ειναι ισοσκελες
με την ΑΓ ιση με την ΕΓ
Δ:ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
Μ:ακριβως αυτο το οποιο επρεπε να κατασκευασθει,το ενδιαμεσο τριγωνο ΑΒΓ ειναι το
ζητουμενο το οποιο θελαμε να κατασκευασουμε,με δοσμενη μια γωνια του,δοσμενο το
υψος απ'τη κορυφη αυτης της γωνιας στην απεναντι πλευρα του και δοσμενη την περιμετρο
του
Δ:ευ γε, ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
Η ΔΙΑΛΕΚΤΙΚΗ-ΜΑΙΕΥΤΙΚΗ-ΜΕΘΟΔΟΣ ΣΤΗ ΛΥΣΗ ΕΝΟΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ
-χ.ν.κουβελης
.
Δασκαλος:αν σ'ενα τριγωνο γνωριζουμε μια γωνια του,το υψος του προς την απεναντι
αυτης της γωνιας πλευρας του και την περιμετρο του,μπορουμε να το κατασκευασουμε;
Μαθητης:δυσκολο,μου φαινεται
Δ:ας το δουμε.Τι εννοω λεγοντας να το δουμε;
Μ:να σχεδιασουμε,φυσικα
Δ:πολυ ορθα.Σχεδιαζω το σχημα 1.ΑΒΓ το τριγωνο,με τη γωνια ΒΑΓ γνωστη,και το υψος υ απο
την κορυφη Α στην πλευρα ΒΓ γνωστο,με την περιμετρο του τ,ΑΒ συν ΒΓ συν ΓΑ γνωστη.
Μ:το βλεπω
Δ:απο αυτο μπορουμε να δουμε κατι που μπορει να μας βοηθησει;
Μ:οχι,δεν βλεπω,ευκολα κατι.
Δ:σχεδιαζω το σχημα 2,τωρα βλεπεις κατι;
Μ:οχι,δεν βλεπω
Δ:σχεδιαζω και το σχημα 3,τωρα;
Μ:ουτε τωρα.
Δ:γιατι;
Μ:να,δεν με ικανοποιουν,νομιζω πως αυτο ειναι
Δ:μηπως δεν σε ικανοποιουν επειδη δεν σ'αρεσουν,δεν ειναι ομορφα;
Μ:αυτο ειναι,δεν ειναι ομορφα
Δ:ποτε ειναι κατι ομορφο;
Μ:φυσικα οταν εχει αναλογιες
Δ:ορθα λες,δηλαδη οταν κατι εχει συμμετρια.
Μ:ναι,ορθα,συμμετρια.
Δ:ας σχεδιασω το σχημα 4,τοτε βλεπεις αυτο να εχει καποια συμμετρια;
Μ:ναι,τωρα βλεπω να εχει συμμετρια
Δ:με βαση το σχημα 4 σχεδιαζω το σχημα 5
οπου παιρνω στη βαση,το ΒΔ προς το μερος του ΑΒ και ισο του,και το ΓΕ προς το
μερος του ΑΓ και ισο του,τωρα σου φαινεται περισσοτερο συμμετρικο;
Μ:φυσικα,περισσοτερο συμμετρικο
Δ:τα τριγωνα ΑΒΔ,ΑΓΕ τοτε δεν ειναι ισοσκελη;
Μ:ορθα και ειναι,αφου εχουν δυο πλευρες ισες,την ΒΑ ιση με την ΒΔ τοτε το τριγωνο ΑΒΔ
ειναι ισοσκελες,και την ΓΑ ιση με την ΓΕ τοτε το τριγωνο ΑΓΕ τριγωνο ειναι ισοσκελες
Δ:τα ισοσκελη τριγωνα δεν γνωριζουμε πως εχουν τις παρα την βασιν γωνιες ισες;
αυτο απο τα Στοιχεια του Ευκλειδη
Μ:βεβαια ετσι ειναι απο τον Ευκλειδη,η γωνια ΔΑΒ ιση με την ΒΔΑ γωνια στο τριγωνο ΑΒΔ,
και η γωνια ΕΑΓ ιση με την ΓΕΑ γωνια στο τριγωνο ΑΓΕ
Δ:ορθα λες,τοτε η γωνια ΑΒΓ ειναι εξωτερικη γωνια στο τριγωνο ΑΒΔ και ειναι ιση με το
αθροισμα των απεναντι εσωτερικων γωνιων του,την ΔΑΒ συν την ΒΔΑ
Μ:ετσι ειναι,και η γωνια ΑΓΒ ειναι εξωτερικη γωνια στο τριγωνο ΑΓΕ και ειναι ιση με το
αθροισμα των απεναντι εσωτερικων γωνιων του,την ΕΑΓ συν την ΓΕΑ
Δ:ορθα,τοτε εχουμε την ΑΒΓ ιση με την ΔΑΒ συν την ΒΔΑ,κι επειδη η ΔΑΒ ιση με την ΒΔΑ
τοτε η ΑΒΓ ειναι διπλασια απο καθεμια απο τις ΒΔΑ,ΔΑΒ
Μ:φυσικα ετσι ειναι, ακομα εχουμε την ΑΓΒ ιση με την ΕΑΓ συν την ΓΕΑ,κι επειδη η ΕΑΓ
ιση με την ΓΕΑ τοτε η ΑΓΒ ειναι διπλασια απο καθεμια απο τις ΓΕΑ, ΕΑΓ
Δ:ετσι ειναι,και η γωνια ΔΑΕ ειναι ιση με το αθροισμα των τριων γωνιων,ΔΑΒ,ΒΑΓ,ΕΑΓ,
επειδη η γωνια ΔΑΒ ειναι ιση με το ημισυ της γωνιας ΑΒΓ και η γωνια ΕΑΓ ειναι ιση με το ημισυ
της γωνιας ΑΓΒ τοτε η γωνια ΔΑΕ ειναι ιση με το αθροισμα της γωνιας ΒΑΓ συν το ημισυ του
αθροισματος των γωνιων ΑΒΓ και ΑΓΒ
Μ:και βεβαια ειναι
Δ:και σε καθε τριγωνο το αθροισμα των γωνιων του δεν ειναι ισο με δυο ορθες;
Μ:απο τον Ευκλειδη αυτο ειναι
Δ:τοτε και στο τριγωνο ΑΒΓ το αθροισμα των τριων γωνιων του,ΒΑΓ,ΑΓΒ,ΑΒΓ ειναι ισο με
δυο ορθες
Μ:ειναι
Δ: τοτε το αθροισμα των γωνιων ΑΒΓ και ΑΓΒ ειναι ισο με δυο ορθες μειον την γωνια ΒΑΓ;
Μ:φυσικα αυτο εξαγεται
Δ:και το ημισυ του αθροισματος των γωνιων ΑΒΓ και ΑΓΒ δεν ειναι ισο με μια ορθη γωνια
μειον το ημισυ της γωνιας ΒΑΓ;
Μ:ορθα
Δ:τοτε η γωνια ΔΑΕ ειναι ιση με μια ορθη γωνια συν το ημισυ της γωνιας ΒΑΓ και ειναι γνωστη
γωνια
Μ:φαινεται να ειναι ετσι
Δ:στο τριγωνο ΔΑΕ τοτε εχουμε μια γωνια γνωστη,την ΔΑΕ,επισης το υψος υ απ'αυτη την
κορυφη Α στην απεναντι πλευρα ΔΕ γνωστο ,κι αυτη την απεναντι πλευρα ιση με τ,την
δοσμενη περιμετρο του αρχικα ζητουμενου να κατασκευασθει τριγωνου ΑΒΓ
Μ:αληθεια,αυτο εχουμε
Δ:αυτο το τριγωνο ΔΑΕ μπορει να κατασκευασθει;
Μ:φυσικα,ευκολα μπορει
Δ:κι αν αυτο κατασκευασθει τοτε κατασκευαζεται και το τριγωνο ΑΒΓ το οποιο ειναι το
ζητουμενο;
Μ:ναι,το ζητουμενο τριγωνο ΑΒΓ θα κατασκευασθει.
Δ:πως λοιπον μπορει να γινει αυτο;πες
Μ:πρωτον,ας αρχισουμε να σχεδιαζουμε το σχημα 6 θα κατασκευασθει μια γωνια ιση με την
γωνια ΔΑΕ,σε μια πλευρα αυτης της γωνιας θα παρουμε τμημα,με αρχη την κορυφη της,ισο
με τ την περιμετρο του ΑΒΓ,κι ας το ονομασουμε ΔΕ
Δ:πως προχωραμε;συνεχισε
Μ:εχοντας υπ'οψιν το θεωρημα:
η γωνια η υπο χορδης και εφαπτομενης ενος κυκλου στο ακρο της χορδης ειναι ιση με την
εγγεγραμμενη γωνια του κυκλου αντιστοιχη στο τοξο της χορδης,
απ'αυτο το θεωρημα συνεπαγεται πως η κορυφη Α ανηκει στον γεωμετρικο τοπο του κυκλου
κι επιπλεον επειδη αυτη απεχει αποσταση ιση με υ απο την χορδη τοτε ανηκει στον γεωμετρικο
τοπο της παραλληλης ευθειας στην χορδη σε αποσταση υ κι επομενως η ζητουμενη κορυφη Α
ειναι η τομη αυτων των δυο γεωμετρικων τοπων
Δ:πρεπει να κατασκευασθουν αυτοι οι δυο γεωμετρικοι τοποι
Μ:ναι,για να κατασκευασουμε τον πρωτο γεωμετρικο τοπο του κυκλου πρεπει να βρουμε το
κεντρο του,αυτο βρισκεται στην τομη της μεσοκαθετου της χορδης με την καθετο στην αλλη
πλευρα της γωνιας στην κορυφη της γωνιας αυτης
Δ:πολυ ορθα
Μ:τοτε με κεντρο αυτο το σημειο τομης και ακτινα την αποσταση του απο το ενα ακρο
της χορδης γραφουμε τον ζητουμενο κυκλο
Δ:πολυ ορθα,συνεχισε
Μ:δες το σχημα 7,φερνουμε παραλληλη ευθεια προς την χορδη σε αποσταση ιση με υ απο
αυτην,η τομη του κυκλου και αυτης της παραλληλης ευθειας ειναι το ζητουμενο σημειο,το Α,
η κορυφη του τριγωνου ΑΒΓ το οποιο θελουμε να κατασκευασουμε
Δ:βεβαιως αυτο ειναι,αφου κατασκευασες το τριγωνο ΔΑΕ συνεχισε
Μ:συνεχιζω σχεδιαζοντας το σχημα 8,
τεμνει την πλευρα του ΔΕ στο σημειο Β,συνδεω το Β με το Α,τοτε το τριγωνο ΑΒΔ ειναι
ισοσκελες με την ΑΒ ιση με την ΔΒ
Δ:ορθα,ομοια συνεχιζεις
Μ:ναι,ομοια,στην αλλη πλευρα την ΑΕ του τριγωνου ΑΔΕ φερνω την μεσοκαθετο σ'αυτη
η οποια τεμνει την ΔΕ στο σημειο Γ,συνδεω το Γ με το Α,τοτε το τριγωνο ΑΓΕ ειναι ισοσκελες
με την ΑΓ ιση με την ΕΓ
Δ:ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
Μ:ακριβως αυτο το οποιο επρεπε να κατασκευασθει,το ενδιαμεσο τριγωνο ΑΒΓ ειναι το
ζητουμενο το οποιο θελαμε να κατασκευασουμε,με δοσμενη μια γωνια του,δοσμενο το
υψος απ'τη κορυφη αυτης της γωνιας στην απεναντι πλευρα του και δοσμενη την περιμετρο
του
Δ:ευ γε, ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
.
.
.
.
Ευκλειδη Στοιχεια-Βιβλιο Β-Προταση ια-c.n.couvelis χ.ν.κουβελης
.
.
Ευκλειδη Στοιχεια,Βιβλιο Β',Προταση ια'
[μεταφραση σχολια-χ.ν.κουβελης]
ια΄. Τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν τεμεῖν ὥστε τὸ ὑπὸ τῆς ὅλης καὶ τοῦ ἑτέρου τῶν τμημάτων
περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον εἶναι τῷ ἀπὸ τοῦ λοιποῦ τμήματος τετραγώνῳ
Ἔστω ἡ δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΑΒ· δεῖ δὴ τὴν ΑΒ τεμεῖν ὥστε τὸ ὑπὸ τῆς ὅλης καὶ τοῦ ἑτέρου
τῶν τμημάτων περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον εἶναι τῷ ἀπὸ τοῦ λοιποῦ τμήματος τετραγώνῳ.
Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον τὸ ΑΒΔΓ, καὶ τετμήσθω ἡ ΑΓ δίχα κατὰ τὸ Ε
σημεῖον, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΕ, καὶ διήχθω ἡ ΓΑ ἐπὶ τὸ Ζ, καὶ κείσθω τῇ ΒΕ ἴση ἡ ΕΖ, καὶ ἀναγεγράφθω ἀπὸ τῆς ΑΖ τετράγωνον τὸ ΖΘ, καὶ διήχθω ἡ ΗΘ ἐπὶ τὸ Κ· λέγω, ὅτι ἡ ΑΒ
τέτμηται κατὰ τὸ Θ, ὥστε τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΘ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ποιεῖν τῷ
ἀπὸ τῆς ΑΘ τετραγώνῳ.
Ἐπεὶ γὰρ εὐθεῖα ἡ ΑΓ τέτμηται δίχα κατὰ τὸ Ε, πρόσκειται δὲ αὐτῇ ἡ ΖΑ, τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν
ΓΖ, ΖΑ περιεχόμενον ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΕ τετραγώνου ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς
ΕΖ τετραγώνῳ. ἴση δὲ ἡ ΕΖ τῇ ΕΒ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΑ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΕ ἴσον ἐστὶ
τῷ ἀπὸ ΕΒ. ἀλλὰ τῷ ἀπὸ ΕΒ ἴσα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΒΑ, ΑΕ· ὀρθὴ γὰρ ἡ πρὸς τῷ Α γωνία· τὸ
ἄρα ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΑ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΕ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΒΑ, ΑΕ. κοινὸν ἀφῃρήσθω
τὸ ἀπὸ τῆς ΑΕ· λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΑ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ
τῆς ΑΒ τετραγώνῳ. καί ἐστι τὸ μὲν ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΑ τὸ ΖΚ· ἴση γὰρ ἡ ΑΖ τῇ ΖΗ· τὸ δὲ ἀπὸ
τῆς ΑΒ τὸ ΑΔ· τὸ ἄρα ΖΚ ἴσον ἐστὶ τῷ ΑΔ. κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ΑΚ· λοιπὸν ἄρα τὸ ΖΘ τῷ
ΘΔ ἴσον ἐστίν. καί ἐστι τὸ μὲν ΘΔ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΘ· ἴση γὰρ ἡ ΑΒ τῇ ΒΔ· τὸ δὲ ΖΘ τὸ
ἀπὸ τῆς ΑΘ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΘ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΘΑ
τετραγώνῳ.
Ἡ ἄρα δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΑΒ τέτμηται κατὰ τὸ Θ ὥστε τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΘ περιεχόμενον
ὀρθογώνιον ἴσον ποιεῖν τῷ ἀπὸ τῆς ΘΑ τετραγώνῳ· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
[μεταφραση χ.ν.κουβελης]
ια'.την δοσμενη ευθεια να τμησουμε ωστε το υπο ολης και του αλλου των τμηματων
περιεχομενο ορθογωνιο ισο να ειναι με του υπολοιπου τμηματος το τετραγωνο
Εστω η δοσμενη ευθεια η ΑΒ,πρεπει την ΑΒ να τμησουμε ωστε το υπο ολης και του
αλλου των τμηματων περιεχομενο ορθογωνιο ισο να ειναι με του υπολοιπου τμηματος
το τετραγωνο
Ας εχει αναγραφθει λοιπον απο της ΑΒ τετραγωνο το ΑΒΔΓ,και ας εχει τμηθει η ΑΓ στα δυο
κατα το Ε σημειο,κι ας εχει συνδεθει η ΒΕ,κι ας εχει προεκταθει η ΓΑ στο Ζ,κι ας εχει παρθει
στην ΒΕ ιση η ΕΖ,και ας εχει αναγραφθει απο της ΑΖ τετραγωνο το ΖΘ,,κι ας εχει προε-
κταθει η ΗΘ στο Κ,
λεγω,οτι η ΑΒ εχει τμηθει κατα το Θ,ωστε το υπο των ΑΒ,ΒΘ περιεχομενον ορθογωνιο
ισο να γινεται στο απο της ΑΘ τετραγωνο
Επειδη λοιπον η ευθεια η ΑΓ τεμνεται στα δυο στο Ε,προσκειται δε σ'αυτη η ΖΑ,επομενως
το υπο των ΓΖ,ΖΑ περιεχομενο ορθογωνιο μετα του απο της ΑΕ τετραγωνου ισο ειναι στο
απο της ΕΖ τετραγωνου, [Προταση στ']
ιση δε η ΕΖ στη ΕΒ,επομενως το υπο των ΓΖ,ΖΑ [ορθογωνιο]μετα του απο της ΑΕ
[τετραγωνου]ισο ειναι στο απο της ΕΒ[τετραγωνου],αφου στο απο ΕΒ [τετραγωνο]
ισα ειναι τα απο ΒΑ,ΑΕ [τετραγωνα],επειδη ορθη η προς το Α γωνια][Πυθαγορειο
Θεωρημα στο ορθογωνιο τριγωνο ΑΒΕ],
επομενως το υπο των ΓΖ,ΖΑ [ορθογωνιο]μετα του απο της ΑΕ[τετραγωνου]ισο ειναι
στα απο των ΒΑ,ΑΕ [τετραγωνα],κι ας αφαιρεσω το κοινο απο της ΑΕ[τετραγωνο],
λοιπον τοτε το υπο των ΓΖ,ΖΑ περιεχομενο ορθογωνιο ισο ειναι στο απο της ΑΒ
τετραγωνο,
και ειναι το υπο των ΓΖ,ΖΑ[ορθογωνιο]το ΖΚ[ορθογωνιο],
αφου ιση η ΑΖ στη ΖΗ,το δε απο της ΑΒ[τετραγωνο]το ΑΔ[τετραγωνο],τοτε το ΖΚ[ορθο-
γωνο]ισο ειναι στο ΑΔ [τετραγωνο] ,κι ας αφαιρεσω το κοινο ΑΚ [ορθογωνιο],
λοιπον τοτε το ΖΘ [τετραγωνο] στο ΘΔ [ορθογωνιο] ισο ειναι,και ειναι το μεν ΘΔ
[ορθογωνιο]το υπο των ΑΒ,ΒΘ [ορθογωνιο],αφου ιση η ΑΒ στη ΒΔ,το δε ΖΘ [τετραγωνο]
το απο της ΑΘ [τετραγωνο],
τοτε το υπο των ΑΒ,ΒΘ περιεχομενο ορθογωνιο ισο ειναι στο απο ΘΑ τετραγωνο.
Επομενως η δοσμενη ευθεια η ΑΒ τεμνεται κατα το Θ ωστε το υπο των ΑΒ,ΒΘ περιε-
χομενο ορθογωνιο ισο να γινει στο απο της ΘΑ τετραγωνο.
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.αυτο που επρεπε να κανουμε
.
.
Σχολια:
η προταση ια' του βιβλιου β' των Στοιχειων του Ευκλειδη συνδεεται με τον
γ' ορο και την λ' προταση του βιβλιου στ':
ορος γ΄. Ἄκρον καὶ μέσον λόγον εὐθεῖα τετμῆσθαι λέγεται, ὅταν ᾖ ὡς ἡ ὅλη πρὸς τὸ μεῖζον
τμῆμα, οὕτως τὸ μεῖζον πρὸς τὸ ἔλαττον.
[λεγεται οτι μια ευθεια σε ακρο και μεσο λογο χωριζεται[απο ενα εσωτερικο της σημειο]
οταν ειναι οπως ολη προς το μεγαλυτερο τμημα, ετσι [ειναι και]το μεγαλυτερο προς το
μικροτερο τμημα]
δηλαδη:ευθυγραμμο τμημα χωριζεται απο ενα εσωτερικο του σημειο σε ακρο και μεσο
λογο,οταν ολοκληρο το εθυγραμμο τμημα προς το μεγαλυτερο τμημα που χωριζεται εχει
τον ιδιο λογο[αναλογια]με το λογο του μεγαλυτερου προς το μικροτερο τμημα
Αν ΑΒ το ευθυγραμμο τμημα με ακρα τα σημεια Α,Β,λεμε οτι ενα εσωτερικο του σημειο Γ
το χωριζει σε ακρο και μεσο λογο οταν:
Α.............Γ.....Β
[ΑΒ/ΑΓ]=[ΑΓ/ΓΒ]
απο αυτη τη σχεση προκυπτει η αναλογια της χρυσης τομης [κατα τον Ευκλειδη
ακρος και μεσος λογος] η' χρυσος κανονας :φ=[1+τετραγωνικη 5]/2=1,6180339887...
Αν θεσω ΑΓ=χ>ΓΒ=ψ τοτε:ΑΒ=χ+ψ
επομενως:[χ+ψ]/χ=χ/ψ => 1+[ψ/χ]=χ/ψ,επειδη χ/ψ=φ και ψ/χ =1/φ τοτε αντικαθιστωντας
εχουμε:1+[1/φ]=φ
=> φ+1=φ.φ => φ.φ-φ-1=0 => φ=[1+τετραγωνικη ριζα του 5]/2=1,6180339887...
.
Χρυσο ορθογωνιο ονομαζεται το ορθογωνιο με λογο πλευρων φ
Χρυσο τριγωνο ονομαζεται το ισοσκελες τριγωνο με λογο πλευρων φ
Χρυσο ορθογωνιο τριγωνο ονομαζεται το ορθογωνιο τριγωνο με μεγεθη
πλευρων ισα με 1,φ,φ.φ
Στην ακολουθια Fibonacci 1,1,2,3,5,8,13,21,34,...με αναδρομικο τυπο:
Fn=[Fn-1]+Fn-2] ο λογος διδοχικων ορων της [Fn]/[Fn-1] τεινει -> στο φ
.
προταση λ΄. Τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν πεπερασμένην ἄκρον καὶ μέσον λόγον τεμεῖν.
[τη δοσμενη πεπερασμενη ευθεια [το δοσμενο ευθυγραμμο τμημα] σε ακρο και μεσο λογο να χωρισεις ]
.
το πορισμα στ' του βιβλιου β' που χρησιμοποιει ο Ευκλειδης στην αποδειξη της προτασης
ια' ειναι αυτο:
ϛ΄. Ἐὰν εὐθεῖα γραμμὴ τμηθῇ δίχα, προστεθῇ δέ τις αὐτῇ εὐθεῖα ἐπ' εὐθείας, τὸ ὑπὸ τῆς
ὅλης σὺν τῇ προσκειμένῃ καὶ τῆς προσκειμένης περιεχόμενον ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ
τῆς ἡμισείας τετραγώνου ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς συγκειμένης ἔκ τε τῆς ἡμισείας καὶ τῆς
προσκειμένης τετραγώνῳ.
[αν ευθεια γραμμη[ευθυγραμμο τμημα] διχοτομηθει και προστεθει καποια ευθεια[καποιο
ευθυγραμμο τμημα]στην ευθεια της[στη προεκταση της],το υπο της ολης[ευθειας,ολου
του ευθυγραμμου τμηματος]συν τη προσκειμενη[προστιθεμενη ευθεια,το προστιθεμενο
ευθυγραμμο τμημα] και της προσκειμενης[προστιθεμενης ευθεια,του προστιθεμενου
ευθυγραμμου τμηματος] περιεχομενο ορθογωνιο μετα[μαζι με]το του απο της μισης
[ευθειας,του μισου ευθυγραμμου τμηματος]τετραγωνου ισο ειναι στο απο της συναπο-
τελουμενης απο τη μιση [ευθεια,το μισο ευθυγραμμο τμημα]και την προσκειμενης
[προστιθεμενης ευθειας,του προστιθεμενου ευθυγραμμου τμηματος]τετραγωνου]
.
.
.
.
Ευκλειδη Στοιχεια,Βιβλιο Β',Προταση ια'
[μεταφραση σχολια-χ.ν.κουβελης]
ια΄. Τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν τεμεῖν ὥστε τὸ ὑπὸ τῆς ὅλης καὶ τοῦ ἑτέρου τῶν τμημάτων
περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον εἶναι τῷ ἀπὸ τοῦ λοιποῦ τμήματος τετραγώνῳ
Ἔστω ἡ δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΑΒ· δεῖ δὴ τὴν ΑΒ τεμεῖν ὥστε τὸ ὑπὸ τῆς ὅλης καὶ τοῦ ἑτέρου
τῶν τμημάτων περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον εἶναι τῷ ἀπὸ τοῦ λοιποῦ τμήματος τετραγώνῳ.
Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον τὸ ΑΒΔΓ, καὶ τετμήσθω ἡ ΑΓ δίχα κατὰ τὸ Ε
σημεῖον, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΕ, καὶ διήχθω ἡ ΓΑ ἐπὶ τὸ Ζ, καὶ κείσθω τῇ ΒΕ ἴση ἡ ΕΖ, καὶ ἀναγεγράφθω ἀπὸ τῆς ΑΖ τετράγωνον τὸ ΖΘ, καὶ διήχθω ἡ ΗΘ ἐπὶ τὸ Κ· λέγω, ὅτι ἡ ΑΒ
τέτμηται κατὰ τὸ Θ, ὥστε τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΘ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ποιεῖν τῷ
ἀπὸ τῆς ΑΘ τετραγώνῳ.
Ἐπεὶ γὰρ εὐθεῖα ἡ ΑΓ τέτμηται δίχα κατὰ τὸ Ε, πρόσκειται δὲ αὐτῇ ἡ ΖΑ, τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν
ΓΖ, ΖΑ περιεχόμενον ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΕ τετραγώνου ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς
ΕΖ τετραγώνῳ. ἴση δὲ ἡ ΕΖ τῇ ΕΒ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΑ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΕ ἴσον ἐστὶ
τῷ ἀπὸ ΕΒ. ἀλλὰ τῷ ἀπὸ ΕΒ ἴσα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΒΑ, ΑΕ· ὀρθὴ γὰρ ἡ πρὸς τῷ Α γωνία· τὸ
ἄρα ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΑ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΕ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΒΑ, ΑΕ. κοινὸν ἀφῃρήσθω
τὸ ἀπὸ τῆς ΑΕ· λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΑ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ
τῆς ΑΒ τετραγώνῳ. καί ἐστι τὸ μὲν ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΑ τὸ ΖΚ· ἴση γὰρ ἡ ΑΖ τῇ ΖΗ· τὸ δὲ ἀπὸ
τῆς ΑΒ τὸ ΑΔ· τὸ ἄρα ΖΚ ἴσον ἐστὶ τῷ ΑΔ. κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ΑΚ· λοιπὸν ἄρα τὸ ΖΘ τῷ
ΘΔ ἴσον ἐστίν. καί ἐστι τὸ μὲν ΘΔ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΘ· ἴση γὰρ ἡ ΑΒ τῇ ΒΔ· τὸ δὲ ΖΘ τὸ
ἀπὸ τῆς ΑΘ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΘ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΘΑ
τετραγώνῳ.
Ἡ ἄρα δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΑΒ τέτμηται κατὰ τὸ Θ ὥστε τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΘ περιεχόμενον
ὀρθογώνιον ἴσον ποιεῖν τῷ ἀπὸ τῆς ΘΑ τετραγώνῳ· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
[μεταφραση χ.ν.κουβελης]
ια'.την δοσμενη ευθεια να τμησουμε ωστε το υπο ολης και του αλλου των τμηματων
περιεχομενο ορθογωνιο ισο να ειναι με του υπολοιπου τμηματος το τετραγωνο
Εστω η δοσμενη ευθεια η ΑΒ,πρεπει την ΑΒ να τμησουμε ωστε το υπο ολης και του
αλλου των τμηματων περιεχομενο ορθογωνιο ισο να ειναι με του υπολοιπου τμηματος
το τετραγωνο
Ας εχει αναγραφθει λοιπον απο της ΑΒ τετραγωνο το ΑΒΔΓ,και ας εχει τμηθει η ΑΓ στα δυο
κατα το Ε σημειο,κι ας εχει συνδεθει η ΒΕ,κι ας εχει προεκταθει η ΓΑ στο Ζ,κι ας εχει παρθει
στην ΒΕ ιση η ΕΖ,και ας εχει αναγραφθει απο της ΑΖ τετραγωνο το ΖΘ,,κι ας εχει προε-
κταθει η ΗΘ στο Κ,
λεγω,οτι η ΑΒ εχει τμηθει κατα το Θ,ωστε το υπο των ΑΒ,ΒΘ περιεχομενον ορθογωνιο
ισο να γινεται στο απο της ΑΘ τετραγωνο
Επειδη λοιπον η ευθεια η ΑΓ τεμνεται στα δυο στο Ε,προσκειται δε σ'αυτη η ΖΑ,επομενως
το υπο των ΓΖ,ΖΑ περιεχομενο ορθογωνιο μετα του απο της ΑΕ τετραγωνου ισο ειναι στο
απο της ΕΖ τετραγωνου, [Προταση στ']
ιση δε η ΕΖ στη ΕΒ,επομενως το υπο των ΓΖ,ΖΑ [ορθογωνιο]μετα του απο της ΑΕ
[τετραγωνου]ισο ειναι στο απο της ΕΒ[τετραγωνου],αφου στο απο ΕΒ [τετραγωνο]
ισα ειναι τα απο ΒΑ,ΑΕ [τετραγωνα],επειδη ορθη η προς το Α γωνια][Πυθαγορειο
Θεωρημα στο ορθογωνιο τριγωνο ΑΒΕ],
επομενως το υπο των ΓΖ,ΖΑ [ορθογωνιο]μετα του απο της ΑΕ[τετραγωνου]ισο ειναι
στα απο των ΒΑ,ΑΕ [τετραγωνα],κι ας αφαιρεσω το κοινο απο της ΑΕ[τετραγωνο],
λοιπον τοτε το υπο των ΓΖ,ΖΑ περιεχομενο ορθογωνιο ισο ειναι στο απο της ΑΒ
τετραγωνο,
και ειναι το υπο των ΓΖ,ΖΑ[ορθογωνιο]το ΖΚ[ορθογωνιο],
αφου ιση η ΑΖ στη ΖΗ,το δε απο της ΑΒ[τετραγωνο]το ΑΔ[τετραγωνο],τοτε το ΖΚ[ορθο-
γωνο]ισο ειναι στο ΑΔ [τετραγωνο] ,κι ας αφαιρεσω το κοινο ΑΚ [ορθογωνιο],
λοιπον τοτε το ΖΘ [τετραγωνο] στο ΘΔ [ορθογωνιο] ισο ειναι,και ειναι το μεν ΘΔ
[ορθογωνιο]το υπο των ΑΒ,ΒΘ [ορθογωνιο],αφου ιση η ΑΒ στη ΒΔ,το δε ΖΘ [τετραγωνο]
το απο της ΑΘ [τετραγωνο],
τοτε το υπο των ΑΒ,ΒΘ περιεχομενο ορθογωνιο ισο ειναι στο απο ΘΑ τετραγωνο.
Επομενως η δοσμενη ευθεια η ΑΒ τεμνεται κατα το Θ ωστε το υπο των ΑΒ,ΒΘ περιε-
χομενο ορθογωνιο ισο να γινει στο απο της ΘΑ τετραγωνο.
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.αυτο που επρεπε να κανουμε
.
.
Σχολια:
η προταση ια' του βιβλιου β' των Στοιχειων του Ευκλειδη συνδεεται με τον
γ' ορο και την λ' προταση του βιβλιου στ':
ορος γ΄. Ἄκρον καὶ μέσον λόγον εὐθεῖα τετμῆσθαι λέγεται, ὅταν ᾖ ὡς ἡ ὅλη πρὸς τὸ μεῖζον
τμῆμα, οὕτως τὸ μεῖζον πρὸς τὸ ἔλαττον.
[λεγεται οτι μια ευθεια σε ακρο και μεσο λογο χωριζεται[απο ενα εσωτερικο της σημειο]
οταν ειναι οπως ολη προς το μεγαλυτερο τμημα, ετσι [ειναι και]το μεγαλυτερο προς το
μικροτερο τμημα]
δηλαδη:ευθυγραμμο τμημα χωριζεται απο ενα εσωτερικο του σημειο σε ακρο και μεσο
λογο,οταν ολοκληρο το εθυγραμμο τμημα προς το μεγαλυτερο τμημα που χωριζεται εχει
τον ιδιο λογο[αναλογια]με το λογο του μεγαλυτερου προς το μικροτερο τμημα
Αν ΑΒ το ευθυγραμμο τμημα με ακρα τα σημεια Α,Β,λεμε οτι ενα εσωτερικο του σημειο Γ
το χωριζει σε ακρο και μεσο λογο οταν:
Α.............Γ.....Β
[ΑΒ/ΑΓ]=[ΑΓ/ΓΒ]
απο αυτη τη σχεση προκυπτει η αναλογια της χρυσης τομης [κατα τον Ευκλειδη
ακρος και μεσος λογος] η' χρυσος κανονας :φ=[1+τετραγωνικη 5]/2=1,6180339887...
Αν θεσω ΑΓ=χ>ΓΒ=ψ τοτε:ΑΒ=χ+ψ
επομενως:[χ+ψ]/χ=χ/ψ => 1+[ψ/χ]=χ/ψ,επειδη χ/ψ=φ και ψ/χ =1/φ τοτε αντικαθιστωντας
εχουμε:1+[1/φ]=φ
=> φ+1=φ.φ => φ.φ-φ-1=0 => φ=[1+τετραγωνικη ριζα του 5]/2=1,6180339887...
.
Χρυσο ορθογωνιο ονομαζεται το ορθογωνιο με λογο πλευρων φ
Χρυσο τριγωνο ονομαζεται το ισοσκελες τριγωνο με λογο πλευρων φ
Χρυσο ορθογωνιο τριγωνο ονομαζεται το ορθογωνιο τριγωνο με μεγεθη
πλευρων ισα με 1,φ,φ.φ
Στην ακολουθια Fibonacci 1,1,2,3,5,8,13,21,34,...με αναδρομικο τυπο:
Fn=[Fn-1]+Fn-2] ο λογος διδοχικων ορων της [Fn]/[Fn-1] τεινει -> στο φ
.
προταση λ΄. Τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν πεπερασμένην ἄκρον καὶ μέσον λόγον τεμεῖν.
[τη δοσμενη πεπερασμενη ευθεια [το δοσμενο ευθυγραμμο τμημα] σε ακρο και μεσο λογο να χωρισεις ]
.
το πορισμα στ' του βιβλιου β' που χρησιμοποιει ο Ευκλειδης στην αποδειξη της προτασης
ια' ειναι αυτο:
ϛ΄. Ἐὰν εὐθεῖα γραμμὴ τμηθῇ δίχα, προστεθῇ δέ τις αὐτῇ εὐθεῖα ἐπ' εὐθείας, τὸ ὑπὸ τῆς
ὅλης σὺν τῇ προσκειμένῃ καὶ τῆς προσκειμένης περιεχόμενον ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ
τῆς ἡμισείας τετραγώνου ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς συγκειμένης ἔκ τε τῆς ἡμισείας καὶ τῆς
προσκειμένης τετραγώνῳ.
[αν ευθεια γραμμη[ευθυγραμμο τμημα] διχοτομηθει και προστεθει καποια ευθεια[καποιο
ευθυγραμμο τμημα]στην ευθεια της[στη προεκταση της],το υπο της ολης[ευθειας,ολου
του ευθυγραμμου τμηματος]συν τη προσκειμενη[προστιθεμενη ευθεια,το προστιθεμενο
ευθυγραμμο τμημα] και της προσκειμενης[προστιθεμενης ευθεια,του προστιθεμενου
ευθυγραμμου τμηματος] περιεχομενο ορθογωνιο μετα[μαζι με]το του απο της μισης
[ευθειας,του μισου ευθυγραμμου τμηματος]τετραγωνου ισο ειναι στο απο της συναπο-
τελουμενης απο τη μιση [ευθεια,το μισο ευθυγραμμο τμημα]και την προσκειμενης
[προστιθεμενης ευθειας,του προστιθεμενου ευθυγραμμου τμηματος]τετραγωνου]
.
.
.
Ευκλειδη Στοιχεια-Βιβλιο Β-Προταση ια
-animations music timpani effects minimal music c.n.couvelis χ.ν.κουβελης
.
.
.
.
Ευκλειδη Στοιχεια-Βιβλιο Β-Προταση ια
-animations music timpani effects minimal music c.n.couvelis χ.ν.κουβελης
.
.
.
.
.
Ο Ευκλειδης και η ζ function of Riemann-χ.ν.κουβελης c.n.couvelis
Η προταση κ'.του βιβλιου θ' των Στοιχειων του Ευκλειδη,Οι Πρωτοι Αριθμοι ειναι Απειροι,
το Biblio του Paul Erdos, the Total Proof of the Riemann Conjecture by c.n.c και
The c.n.c Conjecture-c.n.couvelis
Η προταση κ' του βιβλιου θ' του Ευκλειδη,Οι Πρωτοι Αριθμοι ειναι Απειροιτο Βιβλιο
του Πωλ Ερντος,η Ολοκληρωτικη Αποδειξη της Εικασιας του Ριμαν απο τον c.n.c και
Η c.n.c Εικασια-χ.ν.κουβελης
.
Στο Biblio του Paul Erdos με τι πιο ευφυεις αποδειξεις των Μαθηματικων στη πρωτη σελιδα
οπως ηταν φυσικα αναμενομενο βρηκα την κομση και λιτη αποδειξη του Ευκλειδη οτι:
Οι Πρωτοι Αριθμοι ειναι Απειροι,
[απο τα Στοιχεια του Ευκλειδη,βιβλιο θ',προταση κ':
Οἱ πρῶτοι ἀριθμοὶ πλείους εἰσὶ παντὸς τοῦ προτεθέντος πλήθους πρώτων ἀριθμῶν].
Αξεπεπεραστη!Καταπληκτικης Ομορφιας!
Περιττο να σημειωσω πως ολα τα Στοιχεια του Ευκλειδη περιεχονται στο Απολυτο Biblio
του Erdos.
Διαβαζοντας το Biblio στη σελιδα 1729[αυτος ειναι ο αριθμος Hardy-Ramanujantaxi-cab,
και ειναι ο μικροτερος ακεραιος αριθμος που μπορει να εκφρασθει σαν αθροισμα δυο
κυβων με δυο διαφορετικους τροπους]εκει σ'αυτη τη σελιδα βρηκα την αποδειξη του Euler
οτι:
Οι Πρωτοι Αριθμοι ειναι Απειροι,απο την αποκλιση της σειρας του αθροισματων των αντι-
στροφων των πρωτων αριθμων:S[p]=1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + ...+ 1/p + ...,και p οσο γινεται
μεγαλος πρωτος αριθμος
Συνεσχισα το ξεφυλλισμα του Βιβλιου και στην σελιδα με αριθμο:τον πρωτο [2 εις την
74.207.281]-1,που ειναι ο 49ος Αριθμος Mersenne με 22.338.618 ψηφια και ημερομηνια
ανακαλυψης 27 Ιανουαριου 2016,απο τον Curtis Cooper,καθηγητου στο University of
Central Missouri στο Department of Mathematics και Computer Science,με το ειδικο
software απο το GIMPS project]εκει βρηκα την τελικη αποδειξη της Εικασιας του Ριμαν
[Riemann Conjecture]:
The real part of every non-trivial zero of the Riemann zeta function is 1/2
δηλαδη:
Της ζ συναρτησης του Riemann:ζ[s]=Σ[1/n εις την s],με n 1,2,3,..=1/1' s + 1/2' s +1/3' s
+1/4' s +1/5' s +...,οπου το s ανηκει στο συνολο των Μιγαδικων Αριθμων C,και
s=a+bi,a>1, το πραγματικο μερος καθε μη-τετριμμενης ριζας της ειναι 1/2
με τον Γενικο Τιτλο:
THE TOTAL PROOF OF RIEMANN'S CONJECTURE
By c.n.c
[entry's date 29 September 2015]
και ακολουθουσε η αποδειξη,η οποια ,διαβαζοντας την ,εκτεινονταν σε Αλεφ[Alef]
σελιδες.
Εδω θα τολμησω μια Εικασια την οποια θα ονομασω:
c.n.c CONJECTURE:
IS N0 OR N1 THE CARDINAL NUMBER OF PAGES OF THE TOTAL PROOF
OF RIEMANN'S CONJECTURE BY c.n.c IN THE BIBLIO OF PAUL ERDOS ?
μεταφραζω:
c.n.c ΕΙΚΑΣΙΑ:
ΕΙΝΑΙ ΑΛΕΦ 0 Η' ΑΛΕΦ 1 Ο ΠΛΗΘΙΚΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ ΤΩΝ ΣΕΛΙΔΩΝ ΤΗΣ
ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΗΣ ΑΠΟΔΕΙΞΗΣ ΤΗΣ ΕΙΚΑΣΙΑΣ ΤΟΥ ΡΙΜΑΝ ΑΠΟ ΤΟΝ c.n.c
ΣΤΟ BIBLIO ΤΟΥ ΠΩΛ ΕΡΝΤΟΣ;
Σημειωση:
1.Αλεφ 0 Ν0 ειναι ο πληθικος αριθμος του Συνολου των Φυσικων Αριθμων Ν,απειρα
αριθμησιμου συνολου
2.Αλεφ 1 Ν1 ειναι ο πληθικος αριθμος του Συνολου των Πραγματικων Αριθμων R,απειρα
μη αριθμησιμου συνολου
Αυτη την c.n.c Εικασια την εγραψα με μολυβι στο δεξιο περιθωριο της σελιδας με αριθμο
τον 48ο Αριθμο Mersenne M57.885.161,[2 εις την 57.885.101]-1,ημερομηνια ανακαλυψης
απο των Cooper 25 Ιανουαριου 2013,με 17.425.170 ψηφια
Μετα απ'αυτο εκλεισα το BIBLIO,
και ασχοληθηκα με την μεταφραση της προτασης κ' του βιβλιου θ' των Στοιχειων του
Ευκλειδη
την οποια και καταγραφω κατωθι:
.
.
Ευκλειδη Στοιχεια,βιβλιο θ',προταση κ'.Οἱ πρῶτοι ἀριθμοὶ πλείους εἰσὶ παντὸς τοῦ
προτεθέντος πλήθους πρώτων ἀριθμῶν-Οι Πρωτοι Αριθμοι ειναι Απειροι
[μεταφραση-σχολια-χ.ν.κουβελης]
κ΄. Οἱ πρῶτοι ἀριθμοὶ πλείους εἰσὶ παντὸς τοῦ προτεθέντος πλήθους πρώτων ἀριθμῶν
Ἔστωσαν οἱ προτεθέντες πρῶτοι ἀριθμοὶ οἱ Α, Β, Γ· λέγω, ὅτι τῶν Α, Β, Γ πλείους εἰσὶ
πρῶτοι ἀριθμοί.
Εἰλήφθω γὰρ ὁ ὑπὸ τῶν Α, Β, Γ ἐλάχιστος μετρούμενος καὶ ἔστω ὁ ΔΕ, καὶ προσκείσθω τῷ
ΔΕ μονὰς ἡ ΔΖ. ὁ δὴ ΕΖ ἤτοι πρῶτός ἐστιν ἢ οὔ. ἔστω πρότερον πρῶτος· εὑρημένοι ἄρα εἰσὶ
πρῶτοι ἀριθμοὶ οἱ Α, Β, Γ, ΕΖ πλείους τῶν Α, Β, Γ.
Ἀλλὰ δὴ μὴ ἔστω ὁ ΕΖ πρῶτος· ὑπὸ πρώτου ἄρα τινὸς ἀριθμοῦ μετρεῖται. μετρείσθω ὑπὸ
πρώτου τοῦ Η· λέγω, ὅτι ὁ Η οὐδενὶ τῶν Α, Β, Γ ἐστιν ὁ αὐτός. εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω. οἱ δὲ Α,
Β, Γ τὸν ΔΕ μετροῦσιν· καὶ ὁ Η ἄρα τὸν ΔΕ μετρήσει. μετρεῖ δὲ καὶ τὸν ΕΖ· καὶ λοιπὴν τὴν
ΔΖ μονάδα μετρήσει ὁ Η ἀριθμὸς ὤν· ὅπερ ἄτοπον. οὐκ ἄρα ὁ Η ἑνὶ τῶν Α, Β, Γ ἐστιν ὁ αὐτός.
καὶ ὑπόκειται πρῶτος. εὑρημένοι ἄρα εἰσὶ πρῶτοι ἀριθμοὶ πλείους τοῦ προτεθέντος
πλήθους τῶν Α, Β, Γ οἱ Α, Β, Γ, Η· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
,
[μεταφραση-χ.ν.κουβελης]
κ'.Οι πρωτοι αριθμοι περισοτεροι ειναι παντος προτεθεντος πληθους πρωτων αριθμων
Ας ειναι οι προτεθεντες πρωτοι αριθμοι οι Α,Β,Γ,λεγω,οτι των Α,Β,Γ περισοτεροι ειναι
πρωτοι αριθμοι.
Ας εχει ληφθει λοιπον ο υπο των Α,Β,Γ ελαχιστος μετρουμενος[αριθμος][βιβλιο ζ', λϛ΄],
και εστω ο ΔΕ [αριθμος]
κι ας εχει προστεθει στον ΔΕ μοναδα η ΔΖ,ο ΕΖ τωρα λοιπον πρωτος ειναι η' οχι,
εστω κατα πρωτον πρωτος.
ευρεμενοι επομενως ειναι πρωτοι αριθμοι οι Α,Β,Γ,ΕΖ περισοτεροι των Α,Β,Γ.
Αλλα τωρα ας μην ειναι ο ΕΖ πρωτος.[συνθετος]
υπο πρωτου επομενως καποιου αριθμου μετρειται [βιβλιο ζ',λα΄],
ας μετριεται υπο πρωτου του Η,
λεγω,οτι ο Η με κανενα των Α,Β,Γ δεν ειναι ο ιδιος.
ειναι τοτε δυνατον,να ειναι.οι δε Α,Β,Γ τον ΔΕ μετρουν,και ο Η επομενως τον ΔΕ θα
μετρησει,μετραει δε και τον ΕΖ,και την λοιπη την ΔΖ μοναδα θα μετρησει ο Η αριθμος
οντας,
το οποιο ατοπο,
επομενως ο Η δεν ειναι με ενα των Α,Β,Γ ο ιδιος.και υποτεθηκε πρωτος,
ευρημενοι επομενως ειναι πρωτοι αριθμοι περισοτεροι του προτεθεντος πληθους
των Α,Β,Γ οι Α,Β.Γ.Η.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
αυτο το οποιο επρεπε να δειχθει.
.
.
Σχολια
οι προτασεις των Στοιχειων του Ευκλειδη που χρησιμοποιηθηκαν για την αποδειξη ειναι
απο το βιβλιο ζ':
Ευκλειδη Στοιχεια,βιβλιο ζ', προταση λϛ΄:
Τριῶν ἀριθμῶν δοθέντων εὑρεῖν, ὃν ἐλάχιστον μετροῦσιν ἀριθμόν.
Τριων δοθεντων αριθμων να βρεθει ο ελαχιστος αριθμος τον οποιο μετρουν
[προκειται για το Ελαχιστο Κοινο Πολλαπλασιο τους,ΕΚΠ]
.
Ευκλειδη Στοιχεια,βιβλιο ζ',προταση λα΄:
Ἅπας σύνθετος ἀριθμὸς ὑπὸ πρώτου τινὸς ἀριθμοῦ μετρεῖται
Καθε συνθετος αριθμος υπο καποιου πρωτου αριθμου μετρειται
[Καθε συνθετος αριθμος κατα ενα και μοναδικο τροπο αναλυεται σε γινομενο πρωτων
παραγοντων]
.
.
.
Ο Ευκλειδης και η ζ function of Riemann-χ.ν.κουβελης c.n.couvelis
Η προταση κ'.του βιβλιου θ' των Στοιχειων του Ευκλειδη,Οι Πρωτοι Αριθμοι ειναι Απειροι,
το Biblio του Paul Erdos, the Total Proof of the Riemann Conjecture by c.n.c και
The c.n.c Conjecture-c.n.couvelis
Η προταση κ' του βιβλιου θ' του Ευκλειδη,Οι Πρωτοι Αριθμοι ειναι Απειροιτο Βιβλιο
του Πωλ Ερντος,η Ολοκληρωτικη Αποδειξη της Εικασιας του Ριμαν απο τον c.n.c και
Η c.n.c Εικασια-χ.ν.κουβελης
.
Στο Biblio του Paul Erdos με τι πιο ευφυεις αποδειξεις των Μαθηματικων στη πρωτη σελιδα
οπως ηταν φυσικα αναμενομενο βρηκα την κομση και λιτη αποδειξη του Ευκλειδη οτι:
Οι Πρωτοι Αριθμοι ειναι Απειροι,
[απο τα Στοιχεια του Ευκλειδη,βιβλιο θ',προταση κ':
Οἱ πρῶτοι ἀριθμοὶ πλείους εἰσὶ παντὸς τοῦ προτεθέντος πλήθους πρώτων ἀριθμῶν].
Αξεπεπεραστη!Καταπληκτικης Ομορφιας!
Περιττο να σημειωσω πως ολα τα Στοιχεια του Ευκλειδη περιεχονται στο Απολυτο Biblio
του Erdos.
Διαβαζοντας το Biblio στη σελιδα 1729[αυτος ειναι ο αριθμος Hardy-Ramanujantaxi-cab,
και ειναι ο μικροτερος ακεραιος αριθμος που μπορει να εκφρασθει σαν αθροισμα δυο
κυβων με δυο διαφορετικους τροπους]εκει σ'αυτη τη σελιδα βρηκα την αποδειξη του Euler
οτι:
Οι Πρωτοι Αριθμοι ειναι Απειροι,απο την αποκλιση της σειρας του αθροισματων των αντι-
στροφων των πρωτων αριθμων:S[p]=1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + ...+ 1/p + ...,και p οσο γινεται
μεγαλος πρωτος αριθμος
Συνεσχισα το ξεφυλλισμα του Βιβλιου και στην σελιδα με αριθμο:τον πρωτο [2 εις την
74.207.281]-1,που ειναι ο 49ος Αριθμος Mersenne με 22.338.618 ψηφια και ημερομηνια
ανακαλυψης 27 Ιανουαριου 2016,απο τον Curtis Cooper,καθηγητου στο University of
Central Missouri στο Department of Mathematics και Computer Science,με το ειδικο
software απο το GIMPS project]εκει βρηκα την τελικη αποδειξη της Εικασιας του Ριμαν
[Riemann Conjecture]:
The real part of every non-trivial zero of the Riemann zeta function is 1/2
δηλαδη:
Της ζ συναρτησης του Riemann:ζ[s]=Σ[1/n εις την s],με n 1,2,3,..=1/1' s + 1/2' s +1/3' s
+1/4' s +1/5' s +...,οπου το s ανηκει στο συνολο των Μιγαδικων Αριθμων C,και
s=a+bi,a>1, το πραγματικο μερος καθε μη-τετριμμενης ριζας της ειναι 1/2
με τον Γενικο Τιτλο:
THE TOTAL PROOF OF RIEMANN'S CONJECTURE
By c.n.c
[entry's date 29 September 2015]
και ακολουθουσε η αποδειξη,η οποια ,διαβαζοντας την ,εκτεινονταν σε Αλεφ[Alef]
σελιδες.
Εδω θα τολμησω μια Εικασια την οποια θα ονομασω:
c.n.c CONJECTURE:
IS N0 OR N1 THE CARDINAL NUMBER OF PAGES OF THE TOTAL PROOF
OF RIEMANN'S CONJECTURE BY c.n.c IN THE BIBLIO OF PAUL ERDOS ?
μεταφραζω:
c.n.c ΕΙΚΑΣΙΑ:
ΕΙΝΑΙ ΑΛΕΦ 0 Η' ΑΛΕΦ 1 Ο ΠΛΗΘΙΚΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ ΤΩΝ ΣΕΛΙΔΩΝ ΤΗΣ
ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΗΣ ΑΠΟΔΕΙΞΗΣ ΤΗΣ ΕΙΚΑΣΙΑΣ ΤΟΥ ΡΙΜΑΝ ΑΠΟ ΤΟΝ c.n.c
ΣΤΟ BIBLIO ΤΟΥ ΠΩΛ ΕΡΝΤΟΣ;
Σημειωση:
1.Αλεφ 0 Ν0 ειναι ο πληθικος αριθμος του Συνολου των Φυσικων Αριθμων Ν,απειρα
αριθμησιμου συνολου
2.Αλεφ 1 Ν1 ειναι ο πληθικος αριθμος του Συνολου των Πραγματικων Αριθμων R,απειρα
μη αριθμησιμου συνολου
Αυτη την c.n.c Εικασια την εγραψα με μολυβι στο δεξιο περιθωριο της σελιδας με αριθμο
τον 48ο Αριθμο Mersenne M57.885.161,[2 εις την 57.885.101]-1,ημερομηνια ανακαλυψης
απο των Cooper 25 Ιανουαριου 2013,με 17.425.170 ψηφια
Μετα απ'αυτο εκλεισα το BIBLIO,
και ασχοληθηκα με την μεταφραση της προτασης κ' του βιβλιου θ' των Στοιχειων του
Ευκλειδη
την οποια και καταγραφω κατωθι:
.
.
Ευκλειδη Στοιχεια,βιβλιο θ',προταση κ'.Οἱ πρῶτοι ἀριθμοὶ πλείους εἰσὶ παντὸς τοῦ
προτεθέντος πλήθους πρώτων ἀριθμῶν-Οι Πρωτοι Αριθμοι ειναι Απειροι
[μεταφραση-σχολια-χ.ν.κουβελης]
κ΄. Οἱ πρῶτοι ἀριθμοὶ πλείους εἰσὶ παντὸς τοῦ προτεθέντος πλήθους πρώτων ἀριθμῶν
Ἔστωσαν οἱ προτεθέντες πρῶτοι ἀριθμοὶ οἱ Α, Β, Γ· λέγω, ὅτι τῶν Α, Β, Γ πλείους εἰσὶ
πρῶτοι ἀριθμοί.
Εἰλήφθω γὰρ ὁ ὑπὸ τῶν Α, Β, Γ ἐλάχιστος μετρούμενος καὶ ἔστω ὁ ΔΕ, καὶ προσκείσθω τῷ
ΔΕ μονὰς ἡ ΔΖ. ὁ δὴ ΕΖ ἤτοι πρῶτός ἐστιν ἢ οὔ. ἔστω πρότερον πρῶτος· εὑρημένοι ἄρα εἰσὶ
πρῶτοι ἀριθμοὶ οἱ Α, Β, Γ, ΕΖ πλείους τῶν Α, Β, Γ.
Ἀλλὰ δὴ μὴ ἔστω ὁ ΕΖ πρῶτος· ὑπὸ πρώτου ἄρα τινὸς ἀριθμοῦ μετρεῖται. μετρείσθω ὑπὸ
πρώτου τοῦ Η· λέγω, ὅτι ὁ Η οὐδενὶ τῶν Α, Β, Γ ἐστιν ὁ αὐτός. εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω. οἱ δὲ Α,
Β, Γ τὸν ΔΕ μετροῦσιν· καὶ ὁ Η ἄρα τὸν ΔΕ μετρήσει. μετρεῖ δὲ καὶ τὸν ΕΖ· καὶ λοιπὴν τὴν
ΔΖ μονάδα μετρήσει ὁ Η ἀριθμὸς ὤν· ὅπερ ἄτοπον. οὐκ ἄρα ὁ Η ἑνὶ τῶν Α, Β, Γ ἐστιν ὁ αὐτός.
καὶ ὑπόκειται πρῶτος. εὑρημένοι ἄρα εἰσὶ πρῶτοι ἀριθμοὶ πλείους τοῦ προτεθέντος
πλήθους τῶν Α, Β, Γ οἱ Α, Β, Γ, Η· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
,
[μεταφραση-χ.ν.κουβελης]
κ'.Οι πρωτοι αριθμοι περισοτεροι ειναι παντος προτεθεντος πληθους πρωτων αριθμων
Ας ειναι οι προτεθεντες πρωτοι αριθμοι οι Α,Β,Γ,λεγω,οτι των Α,Β,Γ περισοτεροι ειναι
πρωτοι αριθμοι.
Ας εχει ληφθει λοιπον ο υπο των Α,Β,Γ ελαχιστος μετρουμενος[αριθμος][βιβλιο ζ', λϛ΄],
και εστω ο ΔΕ [αριθμος]
κι ας εχει προστεθει στον ΔΕ μοναδα η ΔΖ,ο ΕΖ τωρα λοιπον πρωτος ειναι η' οχι,
εστω κατα πρωτον πρωτος.
ευρεμενοι επομενως ειναι πρωτοι αριθμοι οι Α,Β,Γ,ΕΖ περισοτεροι των Α,Β,Γ.
Αλλα τωρα ας μην ειναι ο ΕΖ πρωτος.[συνθετος]
υπο πρωτου επομενως καποιου αριθμου μετρειται [βιβλιο ζ',λα΄],
ας μετριεται υπο πρωτου του Η,
λεγω,οτι ο Η με κανενα των Α,Β,Γ δεν ειναι ο ιδιος.
ειναι τοτε δυνατον,να ειναι.οι δε Α,Β,Γ τον ΔΕ μετρουν,και ο Η επομενως τον ΔΕ θα
μετρησει,μετραει δε και τον ΕΖ,και την λοιπη την ΔΖ μοναδα θα μετρησει ο Η αριθμος
οντας,
το οποιο ατοπο,
επομενως ο Η δεν ειναι με ενα των Α,Β,Γ ο ιδιος.και υποτεθηκε πρωτος,
ευρημενοι επομενως ειναι πρωτοι αριθμοι περισοτεροι του προτεθεντος πληθους
των Α,Β,Γ οι Α,Β.Γ.Η.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
αυτο το οποιο επρεπε να δειχθει.
.
.
Σχολια
οι προτασεις των Στοιχειων του Ευκλειδη που χρησιμοποιηθηκαν για την αποδειξη ειναι
απο το βιβλιο ζ':
Ευκλειδη Στοιχεια,βιβλιο ζ', προταση λϛ΄:
Τριῶν ἀριθμῶν δοθέντων εὑρεῖν, ὃν ἐλάχιστον μετροῦσιν ἀριθμόν.
Τριων δοθεντων αριθμων να βρεθει ο ελαχιστος αριθμος τον οποιο μετρουν
[προκειται για το Ελαχιστο Κοινο Πολλαπλασιο τους,ΕΚΠ]
.
Ευκλειδη Στοιχεια,βιβλιο ζ',προταση λα΄:
Ἅπας σύνθετος ἀριθμὸς ὑπὸ πρώτου τινὸς ἀριθμοῦ μετρεῖται
Καθε συνθετος αριθμος υπο καποιου πρωτου αριθμου μετρειται
[Καθε συνθετος αριθμος κατα ενα και μοναδικο τροπο αναλυεται σε γινομενο πρωτων
παραγοντων]
.
.
.
ΕΥΚΛΕΙΔΗ Στοιχεια α',θ΄.Τὴν δοθεῖσαν γωνίαν εὐθύγραμμον δίχα τεμεῖν.
-χ.ν.κουβελης c.n.couvelis
ΕΥΚΛΕΙΔΗ Στοιχεια α',θ΄,Τὴν δοθεῖσαν γωνίαν εὐθύγραμμον δίχα τεμεῖν.
[μεταφραση χ.ν.κουβελης]
Ευκλειδους Αποδειξις
Ἔστω ἡ δοθεῖσα γωνία εὐθύγραμμος ἡ ὑπὸ ΒΑΓ. δεῖ δὴ αὐτὴν δίχα τεμεῖν.
Εἰλήφθω ἐπὶ τῆς ΑΒ τυχὸν σημεῖον τὸ Δ, καὶ ἀφῃρήσθω ἀπὸ τῆς ΑΓ τῇ ΑΔ
ἴση ἡ ΑΕ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΕ, καὶ συνεστάτω ἐπὶ τῆς ΔΕ τρίγωνον ἰσόπλευρον
τὸ ΔΕΖ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΖ· λέγω, ὅτι ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνία δίχα τέτμηται ὑπὸ τῆς ΑΖ
εὐθείας. Ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΔ τῇ ΑΕ, κοινὴ δὲ ἡ ΑΖ, δύο δὴ αἱ ΔΑ, ΑΖ δυσὶ ταῖς ΕΑ,
ΑΖ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ. καὶ βάσις ἡ ΔΖ βάσει τῇ ΕΖ ἴση ἐστίν· γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ
ΔΑΖ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΑΖ ἴση ἐστίν. Ἡ ἄρα δοθεῖσα γωνία εὐθύγραμμος ἡ ὑπὸ ΒΑΓ δίχα
τέτμηται ὑπὸ τῆς ΑΖ εὐθείας· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
[μεταφραση χ.ν.κουβελης]
ΕΥΚΛΕΙΔΗ Στοιχεια α',θ΄,τη δοθεισα ευθυγραμμο γωνια να διχοτομησω
Ευκλειδη Αποδειξη
Εστω η δοθεισα ευθυγραμμος γωνια η υπο ΒΑΓ,πρεπει τωρα αυτη να διχοτομησω.
Ας ληφθει επι της ΑΒ τυχον σημειο το Δ,κι ας αφαιρεθει απο τη ΑΓ στην ΑΔ ιση η ΑΕ.
κι ας ενωθει η ΔΕ.κι ας σχηματισθει επι της ΔΕ τριγωνο ισοπλευρο το ΔΕΖ,κι ας ενωθει
η ΑΖ.λεγω,οτι η υπο ΒΑΓ γωνια εχει διχοτομηθει απο της ΑΖ ευθειας.Επειδη τοτε ιση ειναι
η ΑΔ στην ΑΕ,κοινη δε η ΑΖ,οι δυο τωρα οι ΔΑ,ΑΖ στις δυο τις ΕΑ,ΑΖ ισες ειναι η καθε μια
με τη καθε μια.και η βαση ΔΖ στη βαση ΕΖ ιση ειναι.η γωνια τοτε η υπο της ΔΑΖ στη γωνια
την υπο της ΕΑΖ ιση ειναι.Τοτε η δοθεισα ευθυγραμμος γωνια η υπο της ΒΑΓ εχει διχοτομη-
θει απο της ΑΖ ευθειας.αυτο το οποιο επρεπε να κατασκευασθει.
.
.
ΕΥΚΛΕΙΔΗ Στοιχεια α', θ' Την δοθεισαν γωνιαν ευθυγραμμον διχα τεμειν
-prove animations c.n.couvelis χ.ν.κουβελης
-music Steve Reich Piano Phase
https://youtu.be/4d60xH4tV20
.
.
.
.
ΕΥΚΛΕΙΔΗ Στοιχεια α,θ.τη δοθεισα ευθυγραμμο γωνια να διχοτομησω-χ.ν.κουβελης
c.n.couvelis
[γιατι τα Στοιχεια του Ευκλειδη,τα Μαθηματικα γενικα,ετσι πρεπει να διδασκονται,ως
Συζητησεις Λογικης]
Η ΔΙΑΛΕΚΤΙΚΗ ΕΥΡΕΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ ΓΙΑ ΤΗ ΠΡΟΤΑΣΗ Θ' ΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ Α' ΤΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΗ-χ.ν.κουβελης
Ευκλειδης:τωρα,θα συζητησουμε μια γεωμετρικη προταση,μαζι,χωρις εγω σαν τη θαλασ-
σια πλατια ναρκη,τη μουδιαστρα,μοιαζοντας να σου ναρκωσω το νου,να σου μουδιασω
τη λογικη,επειδη δεν θελω κανενας να με κατηγορησει γι'αυτο,εισαι ετοιμος να συζητη-
σουμε;
Μαθητης:και βεβαια ειμαι ετοιμος
Ευκλειδης:η προταση αφορα τις γωνιες,οχι μια γωνια,αλλα ολες τις γωνιες γενικα,γιατι
οτι γενικα ισχυει εχει μεγαλυτερη αξια απ'οτι μερικα,ετσι δεν ειναι;
Μαθητης:φυσικα ,ετσι ειναι
Ευκλειδης:και δεν εχει πολυ μεγαλυτερη αξια αυτο που το συμπεραινουμε λογικα απ'αυτο
που αισθητηριακα το ισχυριζομαστε;μια για παντα και οχι περιστασιακα;
Μαθητης:ορθα,λογικα παρα αισθητηριακα,για παντα
Ευκλειδης:τωρα ας ερθουμε στη συζητηση μας,ευθυγραμμος γωνια δεν ειναι ο χωρος του
επιπεδου που περικλειεται μεταξυ δυο ημιευθειων οι οποιες εχουν την ιδια αρχη;ετσι
δεν την ορισαμε;
Μαθητης:ναι,ετσι την ορισαμε
Ευκλειδης:τοτε η γωνια ειναι μεγεθος,η' ειναι κατι αλλο;
Μαθητης:και βεβαια,μεγεθος ειναι
Ευκλειδης:τοτε,φυσικα,σαν μεγεθος εχει πολλαπλασια και υποπολλαπλασια,δηλαδη δι-
πλασια,τριπλασια,αλλα και η μιση,το τριτο,το τεταρτο και λοιπα
Μαθητης:φυσικα
Ευκλειδης:και πως μπορει να γινει αυτο;με μια ημιευθεια με κοινη αρχη με τις ημιευθειες
πλευρες της γωνιας,αυτο δεν πρεπει να γινει;
Μαθητης:αυτο
Ευκλειδης:για τις πολλαπλασιες γωνιες η ημιευθεια αυτη θα ειναι στο εσωτερικο της γω-
νιας η' στο εξωτερικο της;
Μαθητης:οπωσδηποτε στο εξωτερικο της
Ευκλειδης:και για τις υποπολλαπλασιες στο εσωτερικο της
Μαθητης:σωστα,στο εσωτερικο της γωνιας
Ευκλειδης:τωρα,ηρθε η ωρα να εξετασουμε τη προταση:''δοσμενη γωνια ευθυγραμμος να
διχοτομηθει '',Τὴν δοθεῖσαν γωνίαν εὐθύγραμμον δίχα τεμεῖν.
Μαθητης:ας το εξετασουμε πως μπορει να γινει αυτο
Ευκλειδης:η ημιευθεια η οποια θα τη διχοτομει συμφωνησαμε πως θα βρισκεται στο εσω-
τερικο της γωνιας και θα εχει κοινη αρχη με τις ημιευθειες πλευρες της
Μαθητης:ετσι συμφωνησαμε
Ευκλειδης:αυτη η ημιευθεια που θα διχοτομει τη γωνια θα ειναι μια η' πολλες;
Μαθητης:φυσικα,μια
Ευκλειδης:σωστα,εμεις πρεπει τοτε να βρουμε ποια ειναι αυτη η μια ημιευθεια απο τις
πολλες,τις απειρες αλλες,γιατι ειναι απειρες,ετσι δεν ειναι;απο ενα σημειο δεν διερχονται
απειρες ευθειες;
Μαθητης:ναι,απειρες,αυτο γνωριζουμε
Ευκλειδης:και,ως εκ τουτου,θα εχουμε και απειρες ημιευθειες
Μαθητης:βεβαιοτατα
Ευκλειδης:η ημιευθεια που εμεις ζηταμε να διχοτομει τη δοσμενη γωνια θα σχηματιζει δυο
ισες γωνιες με καθε μια απο τις ημιευθειες πλευρες της γωνιας
Μαθητης:αφου ειναι διχοτομος της γωνιας,αυτο θα γινει
Ευκλειδης:τοτε θα πρεπει απο τις απειρες ημιευθειες εμεις να σχεδιασουμε εκεινη τη μο-
ναδικη ημιευθεια η οποια ειναι διχοτομος
Μαθητης:αυτη θα πρεπει να σχεδιασουμε
Ευκλειδης:για να την σχεδιασουμε θα πρεπει να γνωριζουμε δυο σταθερα σημεια της,
επειδη μια ευθεια δεν οριζεται απο δυο σημεια;αυτο δεν γνωριζουμε;
Μαθητης:και βεβαια το γνωριζουμε
Ευκλειδης:το ενα σημειο δεν ειναι η αρχη των ημιευθειων πλευρων της δοσμενης γωνιας,
η κορυφη της ;
Μαθητης:ειναι
Ευκλειδης:τοτε θα πρεπει να βρουμε το αλλο σταθερο σημειο και φυσικα θα βρισκεται στο
εσωτερικο της γωνιας
Μαθητης:οπωσδηποτε αφου η διχοτομος ημιευθεια βρισκεται στο εσωτερικο της γωνιας
Ευκλειδης:σωστα λες,αν αυτο το σημειο το εντοπισουμε,η ημιευθεια που διερχεται απ'
αυτα τα δυο δεν θα ειναι κοινο συνορο των δυο ημιγωνιων απ'την μια κι απ'την αλλη πλευ-
ρα της;
Μαθητης:θα ειναι
Ευκλειδης:αυτο δεν θα συμβαινει και με το ευθυγραμμο τμημα που ενωνει αυτα τα δυο
σημεια και ανηκει στη ζητουμενη διχοτομο;
Μαθητης:ναι,θα ειναι κοινο οριο
Ευκλειδης:αν βρω οτι οι δυο γωνιες που σχηματιζονται απο αυτη τη κοινη ημιευθεια με
καθε μια απο τις δυο ημιευθειες πλευρες της δοσμενης γωνιες ειναι ισες,τοτε αυτη θα
ειναι η διχοτομος την οποια ζηταω
Μαθητης:ετσι,βεβαια,θα ειναι
Ευκλειδης:αν τις ενταξω σε δυο τριγωνο για να ειναι ισες θα πρεπει τα δυο αυτα τριγωνα
να ισα,δεν συμφωνεις;
Μαθητης:συμφωνω
Ευκλειδης:αφου οι δυο γωνιες ειναι απ'τη μια πλευρα κι απ'την αλλη πλευρα της ζητουμε-
νης διχοτομου τοτε και τα ζητουμενα τριγωνα θα ειναι κι αυτα ετσι
Μαθητης:ετσι θα ειναι
Ευκλειδης:απ'ολ'αυτα τα τριγωνα,κι ειναι απειρα,θα πρεπει να επιλεξω αυτα που εχουν
κοινη πλευρα το ευθυγραμμο τμημα της ζητουμενης διχοτομου
Μαθητης:ναι,αυτο πρεπει να γινει
Ευκλειδης:η αλλη πλευρα των δυο αυτων τριγωνων δεν θα πρεπει να ανηκει στις δυο ημι-
ευθειες πλευρες της δοσμενης γωνιας;και δεν θα πρεπει να ισες;
Μαθητης:εκει θα πρεπει να ειναι και μαλιστα ισες
Ευκλειδης:[σχεδιαζει μια γωνια]ας την ονοματισουμε ΒΑΓ,τοτε λαμβανοντας ενα σημειο Δ
στην ημιευθεια ΑΒ εχω το ευθυγραμμο τμημα ΑΔ και με τον διαβητη χωριζω στην αλλη
ημιευθεια ΑΓ ισο ευθυγραμμο τμημα,το ΑΕ,οι ΑΔ,ΑΕ θα ειναι πλευρες στα δυο τριγωνα
που θελω
Μαθητης:ας ειναι
Ευκλειδης:αυτα τα δυο τριγωνα αφου θελω να ειναι ισα,δεν θα πρεπει να εχουν και τις
δυο αλλες τους πλευρες ισες;και δεν θα ειναι στο εσωτερικο της δοσμενης γωνιας;
Μαθητης:βεβαιοτατα,τις πλευρες ισες και τις δυο στο εσωτερικο της γωνιας
Ευκλειδης:ενα τριγωνο οριζεται απο τρια σημεια,εμεις στα δυο τριγωνα που ζηταμε
γνωριζουμε δυο σημεια τους,στο μεν ενα το Α,Δ,στο δε αλλο το Α,Ε,συμφωνεις;
Μαθητης:και βεβαια συμφωνω
Ευκλειδης:ζηταω τοτε να βρω το τριτο σημειο,ας το ονοματισω Ζ,και μαλιστα στο εσωτε-
ρικο της γωνιας
Μαθητης:αυτο ζηταω
Ευκλειδης:τοτε,επειδη τα τριγωνα ΑΔΖ,ΑΕΖ,θελω να ειναι ισα,δεν θα πρεπει το ΖΔ να ειναι
ισο με το ΖΕ;
Μαθητης:αυτο θα πρεπει
Ευκλειδης:τοτε,δεν θα ειναι το Ζ το κοινο σημειο δυο ισων κυκλων,δηλαδη με ισες ακτινες,
με κεντρα το Δ και το Ε;,δεν γνωριζουμε πως ο κυκλος οριζεται ως ο γεωμετρικος τοπος
των σημειων του επιπεδου τα οποια ισαπεχουν απο το κεντρο του;
Μαθητης:ετσι οριζεται ο κυκλος,κι αφου το Ζ ειναι το κοινο σημειο των δυο ισων κυκλων
με κεντρα το Δ,Ε τοτε το ΖΔ θα ειναι ισο με το ΖΕ
Ευκλειδης:τοτε αν διαλεξω με το διαβητη ενα ευθυγραμμο τμημα ως ακτινα,και παιρνω το
ΔΕ,οι δυο ισοι κυκλοι με κεντρο και ακτινα το ΔΕ τεμνονται στο σημειο Ζ ,κι επομενως το
ΖΔ,το ΖΕ και το ΔΕ ειναι ισα και το τριγωνο ΔΖΕ ειναι ισοπλευρο τριγωνο
Μαθητης:αυτο συμβαινει
Ευκλειδης:ενωνω το σταθερο σημειο Ζ με το Α,τωρα παρατηρησε πως σχεδιασα δυο τριγω-
να,το ΑΔΖ και το ΑΕΖ,τα οποια εχουν τις τρεις πλευρες τους ισες μια προς μια αντιστοιχα,
την ΑΖ κοινη,την ΑΔ ιση με την ΑΕ,και την ΔΖ ιση με την ΕΖ,
Μαθητης:ναι,αυτο εχουν
Ευκλειδης:δεν γνωριζουμε πως δυο τριγωνα ειναι ισα οταν εχουν τις τρεις πλευρες τους
ισες μια προς μια αντιστοιχα;
Μαθητης:αυτο γνωριζουμε
Ευκλειδης:τοτε τα τριγωνα ΑΔΖ,ΑΕΖ ειναι ισα
Μαθητης:ισα ειναι
Ευκλειδης:και δεν εχουν και τις τρεις γωνιες τους ισες μια προς μια αντιστοιχα;
Μαθητης:και βεβαια,κατα συνεπεια,εχουν
Ευκλειδης:δηλαδη οι γωνιες ΔΑΖ και ΕΑΖ ειναι ισες
Μαθητης:ισες ειναι
Ευκλειδης: αυτες οι γωνιες ΔΑΖ,ΕΑΖ ειναι οι δυο γωνιες στις οποιες η ΑΖ χωριζει την δο-
σμενη γωνια ΒΑΓ που θελαμε να διχοτομησουμε,η ΑΖ τοτε ειναι η ζητουμενη διχοτομος;
Μαθητης:ναι,αυτη ειναι
Ευκλειδης:Τοτε η δοσμενη ευθυγραμμος γωνια εχει διχοτομηθει,αυτο το οποιο επρεπε
να κατασκευασθει
Μαθητης:ναι,αυτο αυτο το οποιο επρεπε να κατασκευασθει
Ευκλειδης:τωρα ας συνθεσουμε την αποδειξη μας την οποια θα καταγραψουμε στα Στοι-
χεια α' ως προταση θ':
Μαθητης:αυτο ας γινει
Ευκλειδης:[γραφει]
θ΄.Τὴν δοθεῖσαν γωνίαν εὐθύγραμμον δίχα τεμεῖν
Ἔστω ἡ δοθεῖσα γωνία εὐθύγραμμος ἡ ὑπὸ ΒΑΓ. δεῖ δὴ αὐτὴν δίχα τεμεῖν.
Εἰλήφθω ἐπὶ τῆς ΑΒ τυχὸν σημεῖον τὸ Δ, καὶ ἀφῃρήσθω ἀπὸ τῆς ΑΓ τῇ ΑΔ ἴση ἡ ΑΕ,
καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΕ, καὶ συνεστάτω ἐπὶ τῆς ΔΕ τρίγωνον ἰσόπλευρον τὸ ΔΕΖ,
καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΖ· λέγω, ὅτι ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνία δίχα τέτμηται ὑπὸ τῆς ΑΖ εὐθείας.
Ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΔ τῇ ΑΕ, κοινὴ δὲ ἡ ΑΖ, δύο δὴ αἱ ΔΑ, ΑΖ δυσὶ ταῖς ΕΑ,ΑΖ ἴσαι
εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ. καὶ βάσις ἡ ΔΖ βάσει τῇ ΕΖ ἴση ἐστίν· γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΑΖ
γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΑΖ ἴση ἐστίν. Ἡ ἄρα δοθεῖσα γωνία εὐθύγραμμος ἡ ὑπὸ ΒΑΓ δίχα
τέτμηται ὑπὸ τῆς ΑΖ εὐθείας· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
[μεταφραση χ.ν.κουβελης]
ΕΥΚΛΕΙΔΗ Στοιχεια α',θ΄,τη δοθεισα ευθυγραμμο γωνια να διχοτομησω
Ευκλειδη Αποδειξη
Εστω η δοθεισα ευθυγραμμος γωνια η υπο ΒΑΓ,πρεπει τωρα αυτη να διχοτομησω.
Ας ληφθει επι της ΑΒ τυχον σημειο το Δ,κι ας αφαιρεθει απο τη ΑΓ στην ΑΔ ιση η ΑΕ.
κι ας ενωθει η ΔΕ.κι ας σχηματισθει επι της ΔΕ τριγωνο ισοπλευρο το ΔΕΖ,κι ας ενωθει
η ΑΖ.λεγω,οτι η υπο ΒΑΓ γωνια εχει διχοτομηθει απο της ΑΖ ευθειας.Επειδη τοτε ιση ειναι
η ΑΔ στην ΑΕ,κοινη δε η ΑΖ,οι δυο τωρα οι ΔΑ,ΑΖ στις δυο τις ΕΑ,ΑΖ ισες ειναι η καθε μια
με τη καθε μια.και η βαση ΔΖ στη βαση ΕΖ ιση ειναι.η γωνια τοτε η υπο της ΔΑΖ στη γωνια
την υπο της ΕΑΖ ιση ειναι.Τοτε η δοθεισα ευθυγραμμος γωνια η υπο της ΒΑΓ εχει διχοτομη-
θει απο της ΑΖ ευθειας.αυτο το οποιο επρεπε να κατασκευασθει.
.
Ευκλειδης:[τελειωντας το γραψιμο]αν αυτο,η διχοτομηση μιας γωνιας,ειναι ευκολο,παρα
πολυ δυσκολο,ειναι η τριχοτομηση μιας γωνιας,οσες προσπαθειες εχω κανει απετυχαν,
κι ισως ειναι αδυνατο να γινει με τη χρηση κανονα και διαβητη
.
[απο το Ανθολογιο του Στοβαιου]καποιος μαθητης που ακουσε το μαθημα της γεωμε-
τριας του Ευκλειδη του ειπε:"Τί δέ μοι πλέον ἔσται ταῦτα μαθόντι;" καὶ ὁ Εὐκλείδης τὸν
παῖδα καλέσας "Δός", ἔφη, "αὐτῷ τριώβολον, ἐπειδὴ δεῖ αὐτῷ ἐξ ὧν μανθάνει κερδαίνειν".
['Τι σε μενα επιπλεον θα'ναι αυτα αν μαθω;'κι ο Ευκλειδης το παιδι βοηθο καλωντας,
'Δωσε' ειπε 'σ'αυτον τριοβολο,επειδη πρεπει αυτος απ'οσα μαθαινει να κερδιζει']
και τοτε καταλαβε ποσο δικιο ειχε ο δασκαλος,ο Πλατωνας,που πανω στην εισοδο της
Ακαδημιας του εγραψε: Μηδείς αγεωμέτρητος εισίτω μοι την θύρα
και στον Πτολεμαιο Α' ο οποιος του ζητησε ενα ευκολο τροπο να καταλαβει το θεωρημα
ο Ευκλειδης του απαντησε πως 'δεν υπαρχει βασιλικη οδος' στη γεωμετρια
.
.
ΕΥΚΛΕΙΔΗ Στοιχεια α', θ' Την δοθεισαν γωνιαν ευθυγραμμον διχα τεμειν
-prove animations c.n.couvelis χ.ν.κουβελης
-music Steve Reich Piano Phase
https://youtu.be/4d60xH4tV20
.
.
.
.
ΕΥΚΛΕΙΔΗ Στοιχεια α,θ.τη δοθεισα ευθυγραμμο γωνια να διχοτομησω-χ.ν.κουβελης
c.n.couvelis
[γιατι τα Στοιχεια του Ευκλειδη,τα Μαθηματικα γενικα,ετσι πρεπει να διδασκονται,ως
Συζητησεις Λογικης]
Η ΔΙΑΛΕΚΤΙΚΗ ΕΥΡΕΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ ΓΙΑ ΤΗ ΠΡΟΤΑΣΗ Θ' ΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ Α' ΤΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΗ-χ.ν.κουβελης
Ευκλειδης:τωρα,θα συζητησουμε μια γεωμετρικη προταση,μαζι,χωρις εγω σαν τη θαλασ-
σια πλατια ναρκη,τη μουδιαστρα,μοιαζοντας να σου ναρκωσω το νου,να σου μουδιασω
τη λογικη,επειδη δεν θελω κανενας να με κατηγορησει γι'αυτο,εισαι ετοιμος να συζητη-
σουμε;
Μαθητης:και βεβαια ειμαι ετοιμος
Ευκλειδης:η προταση αφορα τις γωνιες,οχι μια γωνια,αλλα ολες τις γωνιες γενικα,γιατι
οτι γενικα ισχυει εχει μεγαλυτερη αξια απ'οτι μερικα,ετσι δεν ειναι;
Μαθητης:φυσικα ,ετσι ειναι
Ευκλειδης:και δεν εχει πολυ μεγαλυτερη αξια αυτο που το συμπεραινουμε λογικα απ'αυτο
που αισθητηριακα το ισχυριζομαστε;μια για παντα και οχι περιστασιακα;
Μαθητης:ορθα,λογικα παρα αισθητηριακα,για παντα
Ευκλειδης:τωρα ας ερθουμε στη συζητηση μας,ευθυγραμμος γωνια δεν ειναι ο χωρος του
επιπεδου που περικλειεται μεταξυ δυο ημιευθειων οι οποιες εχουν την ιδια αρχη;ετσι
δεν την ορισαμε;
Μαθητης:ναι,ετσι την ορισαμε
Ευκλειδης:τοτε η γωνια ειναι μεγεθος,η' ειναι κατι αλλο;
Μαθητης:και βεβαια,μεγεθος ειναι
Ευκλειδης:τοτε,φυσικα,σαν μεγεθος εχει πολλαπλασια και υποπολλαπλασια,δηλαδη δι-
πλασια,τριπλασια,αλλα και η μιση,το τριτο,το τεταρτο και λοιπα
Μαθητης:φυσικα
Ευκλειδης:και πως μπορει να γινει αυτο;με μια ημιευθεια με κοινη αρχη με τις ημιευθειες
πλευρες της γωνιας,αυτο δεν πρεπει να γινει;
Μαθητης:αυτο
Ευκλειδης:για τις πολλαπλασιες γωνιες η ημιευθεια αυτη θα ειναι στο εσωτερικο της γω-
νιας η' στο εξωτερικο της;
Μαθητης:οπωσδηποτε στο εξωτερικο της
Ευκλειδης:και για τις υποπολλαπλασιες στο εσωτερικο της
Μαθητης:σωστα,στο εσωτερικο της γωνιας
Ευκλειδης:τωρα,ηρθε η ωρα να εξετασουμε τη προταση:''δοσμενη γωνια ευθυγραμμος να
διχοτομηθει '',Τὴν δοθεῖσαν γωνίαν εὐθύγραμμον δίχα τεμεῖν.
Μαθητης:ας το εξετασουμε πως μπορει να γινει αυτο
Ευκλειδης:η ημιευθεια η οποια θα τη διχοτομει συμφωνησαμε πως θα βρισκεται στο εσω-
τερικο της γωνιας και θα εχει κοινη αρχη με τις ημιευθειες πλευρες της
Μαθητης:ετσι συμφωνησαμε
Ευκλειδης:αυτη η ημιευθεια που θα διχοτομει τη γωνια θα ειναι μια η' πολλες;
Μαθητης:φυσικα,μια
Ευκλειδης:σωστα,εμεις πρεπει τοτε να βρουμε ποια ειναι αυτη η μια ημιευθεια απο τις
πολλες,τις απειρες αλλες,γιατι ειναι απειρες,ετσι δεν ειναι;απο ενα σημειο δεν διερχονται
απειρες ευθειες;
Μαθητης:ναι,απειρες,αυτο γνωριζουμε
Ευκλειδης:και,ως εκ τουτου,θα εχουμε και απειρες ημιευθειες
Μαθητης:βεβαιοτατα
Ευκλειδης:η ημιευθεια που εμεις ζηταμε να διχοτομει τη δοσμενη γωνια θα σχηματιζει δυο
ισες γωνιες με καθε μια απο τις ημιευθειες πλευρες της γωνιας
Μαθητης:αφου ειναι διχοτομος της γωνιας,αυτο θα γινει
Ευκλειδης:τοτε θα πρεπει απο τις απειρες ημιευθειες εμεις να σχεδιασουμε εκεινη τη μο-
ναδικη ημιευθεια η οποια ειναι διχοτομος
Μαθητης:αυτη θα πρεπει να σχεδιασουμε
Ευκλειδης:για να την σχεδιασουμε θα πρεπει να γνωριζουμε δυο σταθερα σημεια της,
επειδη μια ευθεια δεν οριζεται απο δυο σημεια;αυτο δεν γνωριζουμε;
Μαθητης:και βεβαια το γνωριζουμε
Ευκλειδης:το ενα σημειο δεν ειναι η αρχη των ημιευθειων πλευρων της δοσμενης γωνιας,
η κορυφη της ;
Μαθητης:ειναι
Ευκλειδης:τοτε θα πρεπει να βρουμε το αλλο σταθερο σημειο και φυσικα θα βρισκεται στο
εσωτερικο της γωνιας
Μαθητης:οπωσδηποτε αφου η διχοτομος ημιευθεια βρισκεται στο εσωτερικο της γωνιας
Ευκλειδης:σωστα λες,αν αυτο το σημειο το εντοπισουμε,η ημιευθεια που διερχεται απ'
αυτα τα δυο δεν θα ειναι κοινο συνορο των δυο ημιγωνιων απ'την μια κι απ'την αλλη πλευ-
ρα της;
Μαθητης:θα ειναι
Ευκλειδης:αυτο δεν θα συμβαινει και με το ευθυγραμμο τμημα που ενωνει αυτα τα δυο
σημεια και ανηκει στη ζητουμενη διχοτομο;
Μαθητης:ναι,θα ειναι κοινο οριο
Ευκλειδης:αν βρω οτι οι δυο γωνιες που σχηματιζονται απο αυτη τη κοινη ημιευθεια με
καθε μια απο τις δυο ημιευθειες πλευρες της δοσμενης γωνιες ειναι ισες,τοτε αυτη θα
ειναι η διχοτομος την οποια ζηταω
Μαθητης:ετσι,βεβαια,θα ειναι
Ευκλειδης:αν τις ενταξω σε δυο τριγωνο για να ειναι ισες θα πρεπει τα δυο αυτα τριγωνα
να ισα,δεν συμφωνεις;
Μαθητης:συμφωνω
Ευκλειδης:αφου οι δυο γωνιες ειναι απ'τη μια πλευρα κι απ'την αλλη πλευρα της ζητουμε-
νης διχοτομου τοτε και τα ζητουμενα τριγωνα θα ειναι κι αυτα ετσι
Μαθητης:ετσι θα ειναι
Ευκλειδης:απ'ολ'αυτα τα τριγωνα,κι ειναι απειρα,θα πρεπει να επιλεξω αυτα που εχουν
κοινη πλευρα το ευθυγραμμο τμημα της ζητουμενης διχοτομου
Μαθητης:ναι,αυτο πρεπει να γινει
Ευκλειδης:η αλλη πλευρα των δυο αυτων τριγωνων δεν θα πρεπει να ανηκει στις δυο ημι-
ευθειες πλευρες της δοσμενης γωνιας;και δεν θα πρεπει να ισες;
Μαθητης:εκει θα πρεπει να ειναι και μαλιστα ισες
Ευκλειδης:[σχεδιαζει μια γωνια]ας την ονοματισουμε ΒΑΓ,τοτε λαμβανοντας ενα σημειο Δ
στην ημιευθεια ΑΒ εχω το ευθυγραμμο τμημα ΑΔ και με τον διαβητη χωριζω στην αλλη
ημιευθεια ΑΓ ισο ευθυγραμμο τμημα,το ΑΕ,οι ΑΔ,ΑΕ θα ειναι πλευρες στα δυο τριγωνα
που θελω
Μαθητης:ας ειναι
Ευκλειδης:αυτα τα δυο τριγωνα αφου θελω να ειναι ισα,δεν θα πρεπει να εχουν και τις
δυο αλλες τους πλευρες ισες;και δεν θα ειναι στο εσωτερικο της δοσμενης γωνιας;
Μαθητης:βεβαιοτατα,τις πλευρες ισες και τις δυο στο εσωτερικο της γωνιας
Ευκλειδης:ενα τριγωνο οριζεται απο τρια σημεια,εμεις στα δυο τριγωνα που ζηταμε
γνωριζουμε δυο σημεια τους,στο μεν ενα το Α,Δ,στο δε αλλο το Α,Ε,συμφωνεις;
Μαθητης:και βεβαια συμφωνω
Ευκλειδης:ζηταω τοτε να βρω το τριτο σημειο,ας το ονοματισω Ζ,και μαλιστα στο εσωτε-
ρικο της γωνιας
Μαθητης:αυτο ζηταω
Ευκλειδης:τοτε,επειδη τα τριγωνα ΑΔΖ,ΑΕΖ,θελω να ειναι ισα,δεν θα πρεπει το ΖΔ να ειναι
ισο με το ΖΕ;
Μαθητης:αυτο θα πρεπει
Ευκλειδης:τοτε,δεν θα ειναι το Ζ το κοινο σημειο δυο ισων κυκλων,δηλαδη με ισες ακτινες,
με κεντρα το Δ και το Ε;,δεν γνωριζουμε πως ο κυκλος οριζεται ως ο γεωμετρικος τοπος
των σημειων του επιπεδου τα οποια ισαπεχουν απο το κεντρο του;
Μαθητης:ετσι οριζεται ο κυκλος,κι αφου το Ζ ειναι το κοινο σημειο των δυο ισων κυκλων
με κεντρα το Δ,Ε τοτε το ΖΔ θα ειναι ισο με το ΖΕ
Ευκλειδης:τοτε αν διαλεξω με το διαβητη ενα ευθυγραμμο τμημα ως ακτινα,και παιρνω το
ΔΕ,οι δυο ισοι κυκλοι με κεντρο και ακτινα το ΔΕ τεμνονται στο σημειο Ζ ,κι επομενως το
ΖΔ,το ΖΕ και το ΔΕ ειναι ισα και το τριγωνο ΔΖΕ ειναι ισοπλευρο τριγωνο
Μαθητης:αυτο συμβαινει
Ευκλειδης:ενωνω το σταθερο σημειο Ζ με το Α,τωρα παρατηρησε πως σχεδιασα δυο τριγω-
να,το ΑΔΖ και το ΑΕΖ,τα οποια εχουν τις τρεις πλευρες τους ισες μια προς μια αντιστοιχα,
την ΑΖ κοινη,την ΑΔ ιση με την ΑΕ,και την ΔΖ ιση με την ΕΖ,
Μαθητης:ναι,αυτο εχουν
Ευκλειδης:δεν γνωριζουμε πως δυο τριγωνα ειναι ισα οταν εχουν τις τρεις πλευρες τους
ισες μια προς μια αντιστοιχα;
Μαθητης:αυτο γνωριζουμε
Ευκλειδης:τοτε τα τριγωνα ΑΔΖ,ΑΕΖ ειναι ισα
Μαθητης:ισα ειναι
Ευκλειδης:και δεν εχουν και τις τρεις γωνιες τους ισες μια προς μια αντιστοιχα;
Μαθητης:και βεβαια,κατα συνεπεια,εχουν
Ευκλειδης:δηλαδη οι γωνιες ΔΑΖ και ΕΑΖ ειναι ισες
Μαθητης:ισες ειναι
Ευκλειδης: αυτες οι γωνιες ΔΑΖ,ΕΑΖ ειναι οι δυο γωνιες στις οποιες η ΑΖ χωριζει την δο-
σμενη γωνια ΒΑΓ που θελαμε να διχοτομησουμε,η ΑΖ τοτε ειναι η ζητουμενη διχοτομος;
Μαθητης:ναι,αυτη ειναι
Ευκλειδης:Τοτε η δοσμενη ευθυγραμμος γωνια εχει διχοτομηθει,αυτο το οποιο επρεπε
να κατασκευασθει
Μαθητης:ναι,αυτο αυτο το οποιο επρεπε να κατασκευασθει
Ευκλειδης:τωρα ας συνθεσουμε την αποδειξη μας την οποια θα καταγραψουμε στα Στοι-
χεια α' ως προταση θ':
Μαθητης:αυτο ας γινει
Ευκλειδης:[γραφει]
θ΄.Τὴν δοθεῖσαν γωνίαν εὐθύγραμμον δίχα τεμεῖν
Ἔστω ἡ δοθεῖσα γωνία εὐθύγραμμος ἡ ὑπὸ ΒΑΓ. δεῖ δὴ αὐτὴν δίχα τεμεῖν.
Εἰλήφθω ἐπὶ τῆς ΑΒ τυχὸν σημεῖον τὸ Δ, καὶ ἀφῃρήσθω ἀπὸ τῆς ΑΓ τῇ ΑΔ ἴση ἡ ΑΕ,
καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΕ, καὶ συνεστάτω ἐπὶ τῆς ΔΕ τρίγωνον ἰσόπλευρον τὸ ΔΕΖ,
καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΖ· λέγω, ὅτι ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνία δίχα τέτμηται ὑπὸ τῆς ΑΖ εὐθείας.
Ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΔ τῇ ΑΕ, κοινὴ δὲ ἡ ΑΖ, δύο δὴ αἱ ΔΑ, ΑΖ δυσὶ ταῖς ΕΑ,ΑΖ ἴσαι
εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ. καὶ βάσις ἡ ΔΖ βάσει τῇ ΕΖ ἴση ἐστίν· γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΑΖ
γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΑΖ ἴση ἐστίν. Ἡ ἄρα δοθεῖσα γωνία εὐθύγραμμος ἡ ὑπὸ ΒΑΓ δίχα
τέτμηται ὑπὸ τῆς ΑΖ εὐθείας· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
[μεταφραση χ.ν.κουβελης]
ΕΥΚΛΕΙΔΗ Στοιχεια α',θ΄,τη δοθεισα ευθυγραμμο γωνια να διχοτομησω
Ευκλειδη Αποδειξη
Εστω η δοθεισα ευθυγραμμος γωνια η υπο ΒΑΓ,πρεπει τωρα αυτη να διχοτομησω.
Ας ληφθει επι της ΑΒ τυχον σημειο το Δ,κι ας αφαιρεθει απο τη ΑΓ στην ΑΔ ιση η ΑΕ.
κι ας ενωθει η ΔΕ.κι ας σχηματισθει επι της ΔΕ τριγωνο ισοπλευρο το ΔΕΖ,κι ας ενωθει
η ΑΖ.λεγω,οτι η υπο ΒΑΓ γωνια εχει διχοτομηθει απο της ΑΖ ευθειας.Επειδη τοτε ιση ειναι
η ΑΔ στην ΑΕ,κοινη δε η ΑΖ,οι δυο τωρα οι ΔΑ,ΑΖ στις δυο τις ΕΑ,ΑΖ ισες ειναι η καθε μια
με τη καθε μια.και η βαση ΔΖ στη βαση ΕΖ ιση ειναι.η γωνια τοτε η υπο της ΔΑΖ στη γωνια
την υπο της ΕΑΖ ιση ειναι.Τοτε η δοθεισα ευθυγραμμος γωνια η υπο της ΒΑΓ εχει διχοτομη-
θει απο της ΑΖ ευθειας.αυτο το οποιο επρεπε να κατασκευασθει.
.
Ευκλειδης:[τελειωντας το γραψιμο]αν αυτο,η διχοτομηση μιας γωνιας,ειναι ευκολο,παρα
πολυ δυσκολο,ειναι η τριχοτομηση μιας γωνιας,οσες προσπαθειες εχω κανει απετυχαν,
κι ισως ειναι αδυνατο να γινει με τη χρηση κανονα και διαβητη
.
[απο το Ανθολογιο του Στοβαιου]καποιος μαθητης που ακουσε το μαθημα της γεωμε-
τριας του Ευκλειδη του ειπε:"Τί δέ μοι πλέον ἔσται ταῦτα μαθόντι;" καὶ ὁ Εὐκλείδης τὸν
παῖδα καλέσας "Δός", ἔφη, "αὐτῷ τριώβολον, ἐπειδὴ δεῖ αὐτῷ ἐξ ὧν μανθάνει κερδαίνειν".
['Τι σε μενα επιπλεον θα'ναι αυτα αν μαθω;'κι ο Ευκλειδης το παιδι βοηθο καλωντας,
'Δωσε' ειπε 'σ'αυτον τριοβολο,επειδη πρεπει αυτος απ'οσα μαθαινει να κερδιζει']
και τοτε καταλαβε ποσο δικιο ειχε ο δασκαλος,ο Πλατωνας,που πανω στην εισοδο της
Ακαδημιας του εγραψε: Μηδείς αγεωμέτρητος εισίτω μοι την θύρα
και στον Πτολεμαιο Α' ο οποιος του ζητησε ενα ευκολο τροπο να καταλαβει το θεωρημα
ο Ευκλειδης του απαντησε πως 'δεν υπαρχει βασιλικη οδος' στη γεωμετρια
.
.
ΕΥΚΛΕΙΔΗ Στοιχεια α', θ' Την δοθεισαν γωνιαν ευθυγραμμον διχα τεμειν
-prove animations c.n.couvelis χ.ν.κουβελης
-music Steve Reich Piano Phase
https://youtu.be/4d60xH4tV20
.
.
.
Ευκλειδης Πυθαγορειο Θεωρημα Στοιχεια α',μζ'-μεταφραση c.n.couvelis χ.ν.κουβελης
Ο ΑΝΑΛΥΤΙΚΟΣ ΣΥΛΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΗ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΤΟΥ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ-χ.ν.κουβελης
παρατηρωντας το σχημα αντιλαμβανομαι τη λογικη συμμετρια του
απο τη μια κι απο την αλλη πλευρα της καθετου ΑΛ απο το σημειο Α ,της ορθης γωνιας ΒΑΓ
του ορθογωνιου τριγωνου ΒΑΓ,στην υποτεινουσα του ΒΓ
οτι συμβαινει αριστερα της ΑΛ συμβαινει και δεξια της
αριστερα: θα βρω το τετραγωνο ΑΒΖΗ στην καθετο πλευρα ΑΒ του ορθιογωνιου τριγωνου
ΑΒΓ και το ΒΔΛ,ορθογωνιο,μερος του τετραγωνου ΒΓΔΕ στην υποτεινουσα ΒΓ,ισοεμβαδικα
και δεξια:το τετραγωνο ΑΓΙΘ στην ΑΓ και το ΓΕΛ ορθογωνιο.μερος του τετραγωνου στην ΒΓ.
ισοεμβαδικα
παρατηρω πως το εμβαδο του τριγωνου ΖΒΓ ειναι το ημισυ του εμβαδου του τετραγωνου
ΑΒΖΗ ,κοινη βαση η ΖΒ,και ισα υψη με ΖΗ
τοτε [ΖΒΓ]=1/2 [ΑΒΖΗ]
ομοιως παρατηρω πως και το εμβαδο του τριγωνου ΑΒΔ ειναι το ημισυ του εμβαδου του
ορθογωνιου ΒΔΛ,κοινη βαση η ΒΔ,και ισα υψη με ΔΛ
τοτε [ΑΒΔ]=1/2 [ΒΔΛ]
αν τωρα τα τριγωνα ΖΒΓ,ΑΒΔ ειναι ισα τοτε θα ειναι και ισοεμβαδικα
παρατηρω πως τα τριγωνα ΖΒΓ,ΑΒΔ εχουν δυο πλευρες τους μια προς μια αντιστοιχα ισες,
την ΖΒ=ΑΒ,ως ισες πλευρες του τετραγωνου ΑΒΖΗ στην ΑΒ,
και την ΒΓ=ΒΔ,ως ισες πλευρες του τετραγωνου ΒΓΕΔ στην ΒΓ,
αλλα και οι γωνιες ΖΒΓ,ΑΒΔ οι περιεχομενες σ'αυτες τις ισες πλευρες ειναι ισες,
επειδη εχουν κοινη την ΑΒΓ γωνια και οι δυο αλλες,οι οποιες τις αποτελουν ειναι ισες με
μια ορθη,λογω των τετραγωνων στα οποια ανηκουν,η ΖΒΑ=ΓΒΔ=1 ορθη ,στα τετραγωνα
ΑΒΔΗ,ΒΓΕΔ αντιστοιχα
τοτε τα τριγωνα ΖΒΓ,ΑΒΔ ειναι ισα και ισοεμβαδικα
εχω τοτε απο τις δυο προηγουμενες σχεσεις:
το τετραγωνο στην ΑΒ καθετη πλευρα του ορθογωνιου τριγωνου ισοεμβαδικο με το
ορθογωνιο ΒΔΛ μερος του τετραγωνου στη υποτεινουσα ΒΓ
ομοια στο δεξιο μερος της καθετου ΑΛ,
για τα τριγωνα ΒΓΙ,ΑΓΕ,το τετραγωνο ΑΓΙΘ στην καθετο πλευρα ΑΓ του ορθογωνιου
τριγωνου ΑΒΓ,και το ορθογωνιο ΓΕΛ μερος του τετραγωνου ΒΓΕΔ στην υποτεινουσα ΒΓ
βρισκω:
το τετραγωνο στην ΑΓ καθετη πλευρα του ορθογωνιου τριγωνου ΑΒΓ ειναι ισοεμβαδικο με
το ορθογωνιο ΓΕΛ μερος του τετραγωνου στη υποτεινουσα ΒΓ
Αθροιζοντας,τοτε,αυτες τις δυο παραπανω σχεσεις,αποδεικνυεται το Πυθαγορειο Θεωρημα:
σε ορθογωνιο τριγωνο το αθροισμα των τετραγωνων των καθετων πλευρων του ειναι ισο με
το τετραγωνο της υποτεινουσας του
ἐν τοῖς ὀρθογωνίοις τριγώνοις τὸ ἀπὸ τῆς τὴν ὀρθὴν γωνίαν ὑποτεινούσης πλευρᾶς
τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν τὴν ὀρθὴν γωνίαν περιεχουσῶν πλευρῶν τετραγώνοις.
.
μετα απο αυτους τους αναλυτικους συλλογισμους ο Ευκλειδης καταχωρησε το Πυθαγορειο
Θεωρημα στα Στοιχειια του α',ως μζ' προταση
ΕΥΚΛΕΙΔΗ Στοιχεια α', μζ΄.
ἐν τοῖς ὀρθογωνίοις τριγώνοις τὸ ἀπὸ τῆς τὴν ὀρθὴν γωνίαν ὑποτεινούσης πλευρᾶς
τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν τὴν ὀρθὴν γωνίαν περιεχουσῶν πλευρῶν τετραγώνοις.
ἔστω τρίγωνον ὀρθογώνιον τὸ ΑΒΓ ὀρθὴν ἔχον τὴν ὑπὸ ΒΑΓ γωνίαν· λέγω, ὅτι τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ
τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ τετραγώνοις. ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ μὲν τῆς ΒΓ
τετράγωνον τὸ ΒΔΕΓ, ἀπὸ δὲ τῶν ΒΑ, ΑΓ τὰ ΗΒ, ΘΓ, καὶ διὰ τοῦ Α ὁποτέρᾳ τῶν ΒΔ, ΓΕ
παράλληλος ἤχθω ἡ ΑΛ· καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΔ, ΖΓ. καὶ ἐπεὶ ὀρθή ἐστιν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΒΑΓ,
ΒΑΗ γωνιῶν, πρὸς δή τινι εὐθείᾳ τῇ ΒΑ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Α δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΓ,
ΑΗ μὴ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη κείμεναι τὰς ἐφεξῆς γωνίας δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας ποιοῦσιν· ἐπ᾽ εὐθείας
ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΑ τῇ ΑΗ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΒΑ τῇ ΑΘ ἐστιν ἐπ᾽ εὐθείας. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ
ΔΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΖΒΑ —ὀρθὴ γὰρ ἑκατέρα— κοινὴ προσκείσθω ἡ ὑπὸ ΑΒΓ· ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΒΑ
ὅλῃ τῇ ὑπὸ ΖΒΓ ἐστιν ἴση.καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΔΒ τῇ ΒΓ, ἡ δὲ ΖΒ τῇ ΒΑ, δύο δὴ αἱ ΔΒ,
ΒΑ δύο ταῖς ΖΒ, ΒΓ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ· καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΔΒΑ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΖΒΓ ἴση·
βάσις ἄρα ἡ ΑΔ βάσει τῇ ΖΓ {ἐστιν} ἴση, καὶ τὸ ΑΒΔ τρίγωνον τῷ ΖΒΓ τριγώνῳ ἐστὶν ἴσον· καὶ
{ἐστι} τοῦ μὲν ΑΒΔ τριγώνου διπλάσιον τὸ ΒΛ παραλληλόγραμμον· βάσιν τε γὰρ τὴν αὐτὴν
ἔχουσι τὴν ΒΔ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς εἰσι παραλλήλοις ταῖς ΒΔ, ΑΛ· τοῦ δὲ ΖΒΓ τριγώνου διπλάσιον
τὸ ΗΒ τετράγωνον· βάσιν τε γὰρ πάλιν τὴν αὐτὴν ἔχουσι τὴν ΖΒ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς εἰσι
παραλλήλοις ταῖς ΖΒ, ΗΓ. {τὰ δὲ τῶν ἴσων διπλάσια ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν·} ἴσον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΒΛ
παραλληλόγραμμον τῷ ΗΒ τετραγώνῳ. ὁμοίως δὴ ἐπιζευγνυμένων τῶν ΑΕ, ΒΚ δειχθήσεται καὶ
τὸ ΓΛ παραλληλόγραμμον ἴσον τῷ ΘΓ τετραγώνῳ· ὅλον ἄρα τὸ ΒΔΕΓ τετράγωνον δυσὶ τοῖς ΗΒ,
ΘΓ τετραγώνοις ἴσον ἐστίν. καί ἐστι τὸ μὲν ΒΔΕΓ τετράγωνον ἀπὸ τῆς ΒΓ ἀναγραφέν,τὰ δὲ ΗΒ,
ΘΓ ἀπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ. τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΒΓ πλευρᾶς τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ
πλευρῶν τετραγώνοις.ἐν ἄρα τοῖς ὀρθογωνίοις τριγώνοις τὸ ἀπὸ τῆς τὴν ὀρθὴν γωνίαν
ὑποτεινούσης πλευρᾶς τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν τὴν ὀρθὴν {γωνίαν} περιεχουσῶν
πλευρῶν τετραγώνοις· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
.
.[μεταφραση χ.ν.κουβελης]
στα ορθογωνια τριγωνα το τετραγωνο της υποτεινουσας ,της πλευρας απεναντι απο την ορθη
γωνια,ειναι ισο με τα τετραγωνα των πλευρων που περιεχουν την ορθη γωνια
εστω ορθογωνιο τριγωνο ΑΒΓ που εχει τη γωνια ΒΑΓ ορθη.λεω[υποθετω]:πως το τετραγωνο
της ΒΓ ειναι ισο με τα τετραγωνα των ΒΑ,ΑΓ ας σχεδιασω απο τη ΒΓ το τετραγωνο ΒΔΕΙ,απο τις
ΒΑ,ΑΓ τα τετραγωνα ΗΒ,ΘΓ και δια Α σε καθε μια απο τις ΒΔ,ΓΕ φερνω την παραλληλο ΑΛ,κι ας
συνδεθουν τα ΑΔ,ΖΓ,και επειδη καθε γωνια ΒΑΓ,ΒΑΗ ειναι ορθη,αφου προς την ευθεια ΒΑ και
προς το σημειο της Α οι δυο ευθειες ΑΓ,ΑΗ δεν βρισκονται στο ιδιο μερος τις εφεξης γωνιες
τις κανουν ισες με δυο ορθες γωνιες,ευθεια γωνια,επομενως σε ευθεια ειναι η ΓΑ με την ΑΗ,
για τον ιδιο λογο σε ευθεια ειναι και η ΒΑ με τη ΑΘ,και επειδη η γωνια ΔΒΓ ειναι ιση με τη
γωνια ΖΒΑ-αφου καθε μια ορθη-αν τους κανω κοινη,τους προσθεσω,τη γωνια ΑΒΓ τοτε
το αθροισμα,ολη,η γωνια ΔΒΑ ειναι ιση με το αθροισμα,ολη,τη γωνια ΖΒΓ,και επειδη ειναι ιση
η ΔΒ με τη ΒΓ,και η ΖΒ με τη ΒΑ,οι ΔΒ,ΒΑ με τις ΖΒ,ΒΓ καθεμια με καθεμια,και η γωνια ΔΒΑ ιση
με τη ΖΒΓ,τοτε η βαση ΑΔ ειναι ιση με τη βαση ΖΓ,και το τριγωνο ΔΒΑ ειναι ισο με το τριγωνο
ΖΒΓ,και ειναι το παραλληλογραμμο ΒΛ διπλασιο του τριγωνου ΑΒΔ,αφου εχουν την ιδια βαση
τη ΒΔ και ειναι στις ιδιες παραλληλες στις ΒΔ,ΑΛ,το ΗΒ τετραγωνο ειναι διπλασιο του τριγωνου
ΖΒΓ,παλι εχουν την ιδια βαση την ΖΒ και ειναι στις ιδιες παραλληλες στις ΖΒ,ΗΓ,[τα διπλασια
ισων ειναι το ενα με το αλλο ισα],επομενως ισο ειναι και το παραλληλογραμμο ΒΛ με το
τετραγωνο ΗΒ,ομοια συνδεδεμενων των ΑΕ,ΒΕ αποδειχνεται και το παραλληλογραμμο ΓΛ ισο
με το τετραγωνο ΘΓ,επομενως ολοκληρο το τετραγωνο ΒΔΕΓ ειναι ισο και με τα δυο τετρα-
γωνα ΗΒ,ΘΓ μαζι,και ειναι το τετραγωνο ΒΔΕΓ σχεδιασμενο απο την ΒΓ,και τα τετραγωνα ΗΒ,ΘΓ
απο τις ΒΑ,ΑΓ,επομενως το τετραγωνο απο τη πλευρα ΒΓ ειναι ισο με τα τετραγωνα απο τις
πλευρες ΒΑ,ΑΓ.επομενως στα ορθογωνια τριγωνα το τετραγωνο της υποτεινουσας,της πλευρας
απεναντι απο την ορθη γωνια,ειναι ισο με τα τετραγωνα των πλευρων που περιεχουν την ορθη
γωνια.[οπερ εδει δειξαι].αυτο ακριβως το οποιο επρεπε να αποδειχθει
.
.
Ευκλειδης Πυθαγορειο Θεωρημα-prove animations c.n.couvelis χ.ν.κουβελης-
-music Erik Satie Gymnopedie
https://youtu.be/iewJCwt9nFs
Ο ΑΝΑΛΥΤΙΚΟΣ ΣΥΛΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΗ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΤΟΥ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ-χ.ν.κουβελης
παρατηρωντας το σχημα αντιλαμβανομαι τη λογικη συμμετρια του
απο τη μια κι απο την αλλη πλευρα της καθετου ΑΛ απο το σημειο Α ,της ορθης γωνιας ΒΑΓ
του ορθογωνιου τριγωνου ΒΑΓ,στην υποτεινουσα του ΒΓ
οτι συμβαινει αριστερα της ΑΛ συμβαινει και δεξια της
αριστερα: θα βρω το τετραγωνο ΑΒΖΗ στην καθετο πλευρα ΑΒ του ορθιογωνιου τριγωνου
ΑΒΓ και το ΒΔΛ,ορθογωνιο,μερος του τετραγωνου ΒΓΔΕ στην υποτεινουσα ΒΓ,ισοεμβαδικα
και δεξια:το τετραγωνο ΑΓΙΘ στην ΑΓ και το ΓΕΛ ορθογωνιο.μερος του τετραγωνου στην ΒΓ.
ισοεμβαδικα
παρατηρω πως το εμβαδο του τριγωνου ΖΒΓ ειναι το ημισυ του εμβαδου του τετραγωνου
ΑΒΖΗ ,κοινη βαση η ΖΒ,και ισα υψη με ΖΗ
τοτε [ΖΒΓ]=1/2 [ΑΒΖΗ]
ομοιως παρατηρω πως και το εμβαδο του τριγωνου ΑΒΔ ειναι το ημισυ του εμβαδου του
ορθογωνιου ΒΔΛ,κοινη βαση η ΒΔ,και ισα υψη με ΔΛ
τοτε [ΑΒΔ]=1/2 [ΒΔΛ]
αν τωρα τα τριγωνα ΖΒΓ,ΑΒΔ ειναι ισα τοτε θα ειναι και ισοεμβαδικα
την ΖΒ=ΑΒ,ως ισες πλευρες του τετραγωνου ΑΒΖΗ στην ΑΒ,
και την ΒΓ=ΒΔ,ως ισες πλευρες του τετραγωνου ΒΓΕΔ στην ΒΓ,
αλλα και οι γωνιες ΖΒΓ,ΑΒΔ οι περιεχομενες σ'αυτες τις ισες πλευρες ειναι ισες,
επειδη εχουν κοινη την ΑΒΓ γωνια και οι δυο αλλες,οι οποιες τις αποτελουν ειναι ισες με
μια ορθη,λογω των τετραγωνων στα οποια ανηκουν,η ΖΒΑ=ΓΒΔ=1 ορθη ,στα τετραγωνα
ΑΒΔΗ,ΒΓΕΔ αντιστοιχα
τοτε τα τριγωνα ΖΒΓ,ΑΒΔ ειναι ισα και ισοεμβαδικα
εχω τοτε απο τις δυο προηγουμενες σχεσεις:
το τετραγωνο στην ΑΒ καθετη πλευρα του ορθογωνιου τριγωνου ισοεμβαδικο με το
ορθογωνιο ΒΔΛ μερος του τετραγωνου στη υποτεινουσα ΒΓ
ομοια στο δεξιο μερος της καθετου ΑΛ,
για τα τριγωνα ΒΓΙ,ΑΓΕ,το τετραγωνο ΑΓΙΘ στην καθετο πλευρα ΑΓ του ορθογωνιου
τριγωνου ΑΒΓ,και το ορθογωνιο ΓΕΛ μερος του τετραγωνου ΒΓΕΔ στην υποτεινουσα ΒΓ
βρισκω:
το τετραγωνο στην ΑΓ καθετη πλευρα του ορθογωνιου τριγωνου ΑΒΓ ειναι ισοεμβαδικο με
το ορθογωνιο ΓΕΛ μερος του τετραγωνου στη υποτεινουσα ΒΓ
Αθροιζοντας,τοτε,αυτες τις δυο παραπανω σχεσεις,αποδεικνυεται το Πυθαγορειο Θεωρημα:
σε ορθογωνιο τριγωνο το αθροισμα των τετραγωνων των καθετων πλευρων του ειναι ισο με
το τετραγωνο της υποτεινουσας του
ἐν τοῖς ὀρθογωνίοις τριγώνοις τὸ ἀπὸ τῆς τὴν ὀρθὴν γωνίαν ὑποτεινούσης πλευρᾶς
τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν τὴν ὀρθὴν γωνίαν περιεχουσῶν πλευρῶν τετραγώνοις.
.
μετα απο αυτους τους αναλυτικους συλλογισμους ο Ευκλειδης καταχωρησε το Πυθαγορειο
Θεωρημα στα Στοιχειια του α',ως μζ' προταση
ΕΥΚΛΕΙΔΗ Στοιχεια α', μζ΄.
ἐν τοῖς ὀρθογωνίοις τριγώνοις τὸ ἀπὸ τῆς τὴν ὀρθὴν γωνίαν ὑποτεινούσης πλευρᾶς
τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν τὴν ὀρθὴν γωνίαν περιεχουσῶν πλευρῶν τετραγώνοις.
ἔστω τρίγωνον ὀρθογώνιον τὸ ΑΒΓ ὀρθὴν ἔχον τὴν ὑπὸ ΒΑΓ γωνίαν· λέγω, ὅτι τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ
τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ τετραγώνοις. ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ μὲν τῆς ΒΓ
τετράγωνον τὸ ΒΔΕΓ, ἀπὸ δὲ τῶν ΒΑ, ΑΓ τὰ ΗΒ, ΘΓ, καὶ διὰ τοῦ Α ὁποτέρᾳ τῶν ΒΔ, ΓΕ
παράλληλος ἤχθω ἡ ΑΛ· καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΔ, ΖΓ. καὶ ἐπεὶ ὀρθή ἐστιν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΒΑΓ,
ΒΑΗ γωνιῶν, πρὸς δή τινι εὐθείᾳ τῇ ΒΑ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Α δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΓ,
ΑΗ μὴ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη κείμεναι τὰς ἐφεξῆς γωνίας δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας ποιοῦσιν· ἐπ᾽ εὐθείας
ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΑ τῇ ΑΗ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΒΑ τῇ ΑΘ ἐστιν ἐπ᾽ εὐθείας. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ
ΔΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΖΒΑ —ὀρθὴ γὰρ ἑκατέρα— κοινὴ προσκείσθω ἡ ὑπὸ ΑΒΓ· ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΒΑ
ὅλῃ τῇ ὑπὸ ΖΒΓ ἐστιν ἴση.καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΔΒ τῇ ΒΓ, ἡ δὲ ΖΒ τῇ ΒΑ, δύο δὴ αἱ ΔΒ,
ΒΑ δύο ταῖς ΖΒ, ΒΓ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ· καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΔΒΑ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΖΒΓ ἴση·
βάσις ἄρα ἡ ΑΔ βάσει τῇ ΖΓ {ἐστιν} ἴση, καὶ τὸ ΑΒΔ τρίγωνον τῷ ΖΒΓ τριγώνῳ ἐστὶν ἴσον· καὶ
{ἐστι} τοῦ μὲν ΑΒΔ τριγώνου διπλάσιον τὸ ΒΛ παραλληλόγραμμον· βάσιν τε γὰρ τὴν αὐτὴν
ἔχουσι τὴν ΒΔ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς εἰσι παραλλήλοις ταῖς ΒΔ, ΑΛ· τοῦ δὲ ΖΒΓ τριγώνου διπλάσιον
τὸ ΗΒ τετράγωνον· βάσιν τε γὰρ πάλιν τὴν αὐτὴν ἔχουσι τὴν ΖΒ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς εἰσι
παραλλήλοις ταῖς ΖΒ, ΗΓ. {τὰ δὲ τῶν ἴσων διπλάσια ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν·} ἴσον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΒΛ
παραλληλόγραμμον τῷ ΗΒ τετραγώνῳ. ὁμοίως δὴ ἐπιζευγνυμένων τῶν ΑΕ, ΒΚ δειχθήσεται καὶ
τὸ ΓΛ παραλληλόγραμμον ἴσον τῷ ΘΓ τετραγώνῳ· ὅλον ἄρα τὸ ΒΔΕΓ τετράγωνον δυσὶ τοῖς ΗΒ,
ΘΓ τετραγώνοις ἴσον ἐστίν. καί ἐστι τὸ μὲν ΒΔΕΓ τετράγωνον ἀπὸ τῆς ΒΓ ἀναγραφέν,τὰ δὲ ΗΒ,
ΘΓ ἀπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ. τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΒΓ πλευρᾶς τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ
πλευρῶν τετραγώνοις.ἐν ἄρα τοῖς ὀρθογωνίοις τριγώνοις τὸ ἀπὸ τῆς τὴν ὀρθὴν γωνίαν
ὑποτεινούσης πλευρᾶς τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν τὴν ὀρθὴν {γωνίαν} περιεχουσῶν
πλευρῶν τετραγώνοις· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
.
.[μεταφραση χ.ν.κουβελης]
στα ορθογωνια τριγωνα το τετραγωνο της υποτεινουσας ,της πλευρας απεναντι απο την ορθη
γωνια,ειναι ισο με τα τετραγωνα των πλευρων που περιεχουν την ορθη γωνια
εστω ορθογωνιο τριγωνο ΑΒΓ που εχει τη γωνια ΒΑΓ ορθη.λεω[υποθετω]:πως το τετραγωνο
της ΒΓ ειναι ισο με τα τετραγωνα των ΒΑ,ΑΓ ας σχεδιασω απο τη ΒΓ το τετραγωνο ΒΔΕΙ,απο τις
ΒΑ,ΑΓ τα τετραγωνα ΗΒ,ΘΓ και δια Α σε καθε μια απο τις ΒΔ,ΓΕ φερνω την παραλληλο ΑΛ,κι ας
συνδεθουν τα ΑΔ,ΖΓ,και επειδη καθε γωνια ΒΑΓ,ΒΑΗ ειναι ορθη,αφου προς την ευθεια ΒΑ και
προς το σημειο της Α οι δυο ευθειες ΑΓ,ΑΗ δεν βρισκονται στο ιδιο μερος τις εφεξης γωνιες
τις κανουν ισες με δυο ορθες γωνιες,ευθεια γωνια,επομενως σε ευθεια ειναι η ΓΑ με την ΑΗ,
για τον ιδιο λογο σε ευθεια ειναι και η ΒΑ με τη ΑΘ,και επειδη η γωνια ΔΒΓ ειναι ιση με τη
γωνια ΖΒΑ-αφου καθε μια ορθη-αν τους κανω κοινη,τους προσθεσω,τη γωνια ΑΒΓ τοτε
το αθροισμα,ολη,η γωνια ΔΒΑ ειναι ιση με το αθροισμα,ολη,τη γωνια ΖΒΓ,και επειδη ειναι ιση
η ΔΒ με τη ΒΓ,και η ΖΒ με τη ΒΑ,οι ΔΒ,ΒΑ με τις ΖΒ,ΒΓ καθεμια με καθεμια,και η γωνια ΔΒΑ ιση
με τη ΖΒΓ,τοτε η βαση ΑΔ ειναι ιση με τη βαση ΖΓ,και το τριγωνο ΔΒΑ ειναι ισο με το τριγωνο
ΖΒΓ,και ειναι το παραλληλογραμμο ΒΛ διπλασιο του τριγωνου ΑΒΔ,αφου εχουν την ιδια βαση
τη ΒΔ και ειναι στις ιδιες παραλληλες στις ΒΔ,ΑΛ,το ΗΒ τετραγωνο ειναι διπλασιο του τριγωνου
ΖΒΓ,παλι εχουν την ιδια βαση την ΖΒ και ειναι στις ιδιες παραλληλες στις ΖΒ,ΗΓ,[τα διπλασια
ισων ειναι το ενα με το αλλο ισα],επομενως ισο ειναι και το παραλληλογραμμο ΒΛ με το
τετραγωνο ΗΒ,ομοια συνδεδεμενων των ΑΕ,ΒΕ αποδειχνεται και το παραλληλογραμμο ΓΛ ισο
με το τετραγωνο ΘΓ,επομενως ολοκληρο το τετραγωνο ΒΔΕΓ ειναι ισο και με τα δυο τετρα-
γωνα ΗΒ,ΘΓ μαζι,και ειναι το τετραγωνο ΒΔΕΓ σχεδιασμενο απο την ΒΓ,και τα τετραγωνα ΗΒ,ΘΓ
απο τις ΒΑ,ΑΓ,επομενως το τετραγωνο απο τη πλευρα ΒΓ ειναι ισο με τα τετραγωνα απο τις
πλευρες ΒΑ,ΑΓ.επομενως στα ορθογωνια τριγωνα το τετραγωνο της υποτεινουσας,της πλευρας
απεναντι απο την ορθη γωνια,ειναι ισο με τα τετραγωνα των πλευρων που περιεχουν την ορθη
γωνια.[οπερ εδει δειξαι].αυτο ακριβως το οποιο επρεπε να αποδειχθει
.
.
Ευκλειδης Πυθαγορειο Θεωρημα-prove animations c.n.couvelis χ.ν.κουβελης-
-music Erik Satie Gymnopedie
https://youtu.be/iewJCwt9nFs
.
.
.
.
Ευκλειδη Στοιχεια,Βιβλιο α',προταση β',Πρὸς τῷ δοθέντι σημείῳ τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ
ἴσην εὐθεῖαν θέσθαι.
[μεταφραση translation χ.ν.κουβελης c.n.couvelis]
Κατα καποιον προσεγγιστικο τροπο ο διαλεκτικος συλλογισμος του Ευκλειδη για
την αποδειξη,κατασκευη,της προτασης β,Πρὸς τῷ δοθέντι σημείῳ τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ
ἴσην εὐθεῖαν θέσθαι. του Βιβλιου α' των Στοιχειων του
-χ.ν.κουβελης c.n.couvelis
προτασης α.β
Πρὸς τῷ δοθέντι σημείῳ τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ ἴσην εὐθεῖαν θέσθαι.
σε δοσμενο σημειο σε δοσμενη ευθεια ιση ευθεια να τοποθετηθει
θελουμε στο δοσμενο σημειο Α να κατασκευασουμε τμημα ισο με το δοσμενο τμημα ΒΓ,
σκεφτομαστε πως στον κυκλο με κεντρο το Β και ακτινα ιση με το ΒΓ οι απειρες ακτινες
του ειναι ισες με τη ΒΓ,κι αν κατασκευασθει στο Α ιση της,τοτε κι αυτη θα ειναι ιση μ'ολες
τις απειρες ακτινες του κυκλου,συμπεραινουμε ενα απειρο αριθμο θεσεων ισων τμηματων
με το ΒΓ και στο Α και στο Β,πρεπει,κατα καποιο τροπο,να ξεφυγουμε απο αυτη την απειρια
με κατι δοσμενο σταθερο,ωστε να σταθεροποιηθουν πανω σε δυο σταθερες ευθειες,
ενα πρωτο σταθερο τμημα ειναι απο το δοσμενο Α στο δοσμενο Β,το ΑΒ,τοτε το σταθερωτερο
τριγωνο που μπορει να κατασκευασθει με βαση το ΑΒ ειναι το ισοπλευρο τριγωνο,κατασκευα-
ζεται,προταση α.α λοιπον το ισοπλευρο τριγωνο ΔΑΒ,και ειναι τοτε ΔΑ ,ΔΒ ισο με ΑΒ,τωρα
καταλαβαινουμε πως τα ισα τμηματα που θελουμε θα βρισκονται πανω στις ευθειες ΔΑ,ΔΒ,
προεκτεινοντας,προς το ιδιο μερος του επιπεδου,στη ΔΒ η ακτινα ΒΗ ιση με δοσμενο τμημα ΒΓ,
αν,επομενως,με κεντρο το σημειο Δ και ακτινα ιση με ΔΗ γραψω κυκλο η ευθεια ΔΑ θα τον
τεμνει στο σημειο Λ,τοτε επειδη τα ΑΗ,ΑΛ ειναι ακτινες αυτου του κυκλου ειναι ισα τμηματα,
κι αν απ'αυτα τα ισα αφαιρεθουν τα ισα τμηματα ΔΑ,ΔΒ του ισοπλευρου τριγωνου ΔΑΒ,τοτε
προκυπτουν ισα τμηματα,τα ΑΛ,ΒΗ,αφου το ΒΗ ειναι ακτινα του κυκλου με κεντρο το Β κι
ακτινα το ΒΓ,τοτε το τμημα ΑΛ στο δοσμενο σημειο Α ισο με το δοσμενο τμημα ΒΓ,
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
αυτο που επρεπε να κατασκευασθει
Ευκλειδη Στοιχεια,Βιβλιο α',προταση β',
β΄. Πρὸς τῷ δοθέντι σημείῳ τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ ἴσην εὐθεῖαν θέσθαι.
Ἔστω τὸ μὲν δοθὲν σημεῖον τὸ Α, ἡ δὲ δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΒΓ· δεῖ δὴ πρὸς τῷ Α σημείῳ τῇ
δοθείσῃ εὐθείᾳ τῇ ΒΓ ἴσην εὐθεῖαν θέσθαι.
Ἐπεζεύχθω γὰρ ἀπὸ τοῦ Α σημείου ἐπὶ τὸ Β σημεῖον εὐθεῖα ἡ ΑΒ, καὶ συνεστάτω ἐπ' αὐτῆς
τρίγωνον ἰσόπλευρον τὸ ΔΑΒ, καὶ ἐκβεβλήσθωσαν ἐπ' εὐθείας ταῖς ΔΑ, ΔΒ εὐθεῖαι αἱ ΑΕ,
ΒΖ, καὶ κέντρῳ μὲν τῷ Β διαστήματι δὲ τῷ ΒΓ κύκλος γεγράφθω ὁ ΓΗΘ, καὶ πάλιν κέντρῳ
τῷ Δ καὶ διαστήματι τῷ ΔΗ κύκλος γεγράφθω ὁ ΗΚΛ.
Ἐπεὶ οὖν τὸ Β σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΓΗΘ κύκλου, ἴση ἐστὶν ἡ ΒΓ τῇ ΒΗ. πάλιν, ἐπεὶ
τὸ Δ σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΚΛΗ κύκλου, ἴση ἐστὶν ἡ ΔΛ τῇ ΔΗ, ὧν ἡ ΔΑ τῇ ΔΒ ἴση
ἐστίν. λοιπὴ ἄρα ἡ ΑΛ λοιπῇ τῇ ΒΗ ἐστὶν ἴση. ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ΒΓ τῇ ΒΗ ἴση· ἑκατέρα ἄρα
τῶν ΑΛ, ΒΓ τῇ ΒΗ ἐστὶν ἴση. τὰ δὲ τῷ αὐτῷ ἴσα καὶ ἀλλήλοις ἐστὶν ἴσα· καὶ ἡ ΑΛ ἄρα τῇ ΒΓ
ἐστὶν ἴση.
Πρὸς ἄρα τῷ δοθέντι σημείῳ τῷ Α τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ τῇ ΒΓ ἴση εὐθεῖα κεῖται ἡ ΑΛ· ὅπερ
ἔδει ποιῆσαι.
[μεταφραση translation χ.ν.κουβελης c.n.couvelis]
Ευκλειδη Στοιχεια,Βιβλιο α',προταση β'
σε δοσμενο σημειο σε δοσμενη ευθεια ιση ευθεια να τοποθετηθει
.
Εστω το μεν δοσμενο σημειο το Α,η δε δοσμενη ευθεια η ΒΓ,πρεπει λοιπον στο Α σημεiο
στη δοσμενη ευθεια ΒΓ ιση ευθεια να τοποθετηθει.
Ας ενωθει τοτε απο το Α σημειο στο Β σημειο ευθεια η ΑΒ,κι ας δημιουργησω πανω της
τριγωνο ισοπλευρο το ΔΑΒ,κι ας προεκταθουν ευθεια στις ΔΑ,ΔΒ ευθειες οι ΑΕ,ΒΖ,και με
κεντρο μεν στο Β διαστημα δε [ισο] στο ΒΓ κυκλος ας ειναι γραμμενος ο ΓΗΘ,και παλι με
κεντρο μεν στο Δ διαστημα δε [ισο] στο ΒΓ κυκλος ας ειναι γραμμενος ο ΗΚΛ..
Επειδη λοιπον το Β σημειο κεντρο ειναι του ΓΗΘ κυκλου,ιση ειναι η ΒΓ στη ΒΗ,παλι επειδη.
το Δ σημειο κεντρο ειναι του ΚΛΗ κυκλου,ιση ειναι η ΔΛ στη ΔΗ,οντας η ΔΑ με την ΔΒ
ιση,επομενως η υπολοιπη η ΑΛ με την υπολοιπη τη ΒΗ ειναι ιση,δειχθηκε δε και η ΒΓ με την
ΒΗ ιση,καθε μια επομενως των ΑΛ,ΒΓ με την ΒΗ ειναι ιση,τα δε με το ιδιο ισα και το ενα
με το αλλο ειναι ισα,και η ΑΛ επομενως με την ΒΓ ειναι ιση,
Επομενως στο δοσμενο σημειο το Α στη δοσμενη ευθεια τη ΒΓ ιση ευθεια βρισκεται η ΑΛ,
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
αυτο που επρεπε να κατασκευασθει
.
.
Ευκλειδη Στοιχεια,Βιβλιο α',προταση β'
Προς τω δοθεντι σημειω τη δοθειση ευθεια
ισην ευθειαν θεσθαι.
-animations χ.ν.κουβελης c.n.couvelis
-music Intentionally Blank Twenty-five Notes You Forgot to Remember
https://youtu.be/6Y1b44oHc8E
.
.
.
.
ἴσην εὐθεῖαν θέσθαι.
[μεταφραση translation χ.ν.κουβελης c.n.couvelis]
Κατα καποιον προσεγγιστικο τροπο ο διαλεκτικος συλλογισμος του Ευκλειδη για
την αποδειξη,κατασκευη,της προτασης β,Πρὸς τῷ δοθέντι σημείῳ τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ
ἴσην εὐθεῖαν θέσθαι. του Βιβλιου α' των Στοιχειων του
-χ.ν.κουβελης c.n.couvelis
προτασης α.β
Πρὸς τῷ δοθέντι σημείῳ τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ ἴσην εὐθεῖαν θέσθαι.
σε δοσμενο σημειο σε δοσμενη ευθεια ιση ευθεια να τοποθετηθει
θελουμε στο δοσμενο σημειο Α να κατασκευασουμε τμημα ισο με το δοσμενο τμημα ΒΓ,
σκεφτομαστε πως στον κυκλο με κεντρο το Β και ακτινα ιση με το ΒΓ οι απειρες ακτινες
του ειναι ισες με τη ΒΓ,κι αν κατασκευασθει στο Α ιση της,τοτε κι αυτη θα ειναι ιση μ'ολες
τις απειρες ακτινες του κυκλου,συμπεραινουμε ενα απειρο αριθμο θεσεων ισων τμηματων
με το ΒΓ και στο Α και στο Β,πρεπει,κατα καποιο τροπο,να ξεφυγουμε απο αυτη την απειρια
με κατι δοσμενο σταθερο,ωστε να σταθεροποιηθουν πανω σε δυο σταθερες ευθειες,
ενα πρωτο σταθερο τμημα ειναι απο το δοσμενο Α στο δοσμενο Β,το ΑΒ,τοτε το σταθερωτερο
τριγωνο που μπορει να κατασκευασθει με βαση το ΑΒ ειναι το ισοπλευρο τριγωνο,κατασκευα-
ζεται,προταση α.α λοιπον το ισοπλευρο τριγωνο ΔΑΒ,και ειναι τοτε ΔΑ ,ΔΒ ισο με ΑΒ,τωρα
καταλαβαινουμε πως τα ισα τμηματα που θελουμε θα βρισκονται πανω στις ευθειες ΔΑ,ΔΒ,
προεκτεινοντας,προς το ιδιο μερος του επιπεδου,στη ΔΒ η ακτινα ΒΗ ιση με δοσμενο τμημα ΒΓ,
αν,επομενως,με κεντρο το σημειο Δ και ακτινα ιση με ΔΗ γραψω κυκλο η ευθεια ΔΑ θα τον
τεμνει στο σημειο Λ,τοτε επειδη τα ΑΗ,ΑΛ ειναι ακτινες αυτου του κυκλου ειναι ισα τμηματα,
κι αν απ'αυτα τα ισα αφαιρεθουν τα ισα τμηματα ΔΑ,ΔΒ του ισοπλευρου τριγωνου ΔΑΒ,τοτε
προκυπτουν ισα τμηματα,τα ΑΛ,ΒΗ,αφου το ΒΗ ειναι ακτινα του κυκλου με κεντρο το Β κι
ακτινα το ΒΓ,τοτε το τμημα ΑΛ στο δοσμενο σημειο Α ισο με το δοσμενο τμημα ΒΓ,
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
αυτο που επρεπε να κατασκευασθει
Ευκλειδη Στοιχεια,Βιβλιο α',προταση β',
β΄. Πρὸς τῷ δοθέντι σημείῳ τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ ἴσην εὐθεῖαν θέσθαι.
Ἔστω τὸ μὲν δοθὲν σημεῖον τὸ Α, ἡ δὲ δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΒΓ· δεῖ δὴ πρὸς τῷ Α σημείῳ τῇ
δοθείσῃ εὐθείᾳ τῇ ΒΓ ἴσην εὐθεῖαν θέσθαι.
Ἐπεζεύχθω γὰρ ἀπὸ τοῦ Α σημείου ἐπὶ τὸ Β σημεῖον εὐθεῖα ἡ ΑΒ, καὶ συνεστάτω ἐπ' αὐτῆς
τρίγωνον ἰσόπλευρον τὸ ΔΑΒ, καὶ ἐκβεβλήσθωσαν ἐπ' εὐθείας ταῖς ΔΑ, ΔΒ εὐθεῖαι αἱ ΑΕ,
ΒΖ, καὶ κέντρῳ μὲν τῷ Β διαστήματι δὲ τῷ ΒΓ κύκλος γεγράφθω ὁ ΓΗΘ, καὶ πάλιν κέντρῳ
τῷ Δ καὶ διαστήματι τῷ ΔΗ κύκλος γεγράφθω ὁ ΗΚΛ.
Ἐπεὶ οὖν τὸ Β σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΓΗΘ κύκλου, ἴση ἐστὶν ἡ ΒΓ τῇ ΒΗ. πάλιν, ἐπεὶ
τὸ Δ σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΚΛΗ κύκλου, ἴση ἐστὶν ἡ ΔΛ τῇ ΔΗ, ὧν ἡ ΔΑ τῇ ΔΒ ἴση
ἐστίν. λοιπὴ ἄρα ἡ ΑΛ λοιπῇ τῇ ΒΗ ἐστὶν ἴση. ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ΒΓ τῇ ΒΗ ἴση· ἑκατέρα ἄρα
τῶν ΑΛ, ΒΓ τῇ ΒΗ ἐστὶν ἴση. τὰ δὲ τῷ αὐτῷ ἴσα καὶ ἀλλήλοις ἐστὶν ἴσα· καὶ ἡ ΑΛ ἄρα τῇ ΒΓ
ἐστὶν ἴση.
Πρὸς ἄρα τῷ δοθέντι σημείῳ τῷ Α τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ τῇ ΒΓ ἴση εὐθεῖα κεῖται ἡ ΑΛ· ὅπερ
ἔδει ποιῆσαι.
[μεταφραση translation χ.ν.κουβελης c.n.couvelis]
Ευκλειδη Στοιχεια,Βιβλιο α',προταση β'
σε δοσμενο σημειο σε δοσμενη ευθεια ιση ευθεια να τοποθετηθει
.
Εστω το μεν δοσμενο σημειο το Α,η δε δοσμενη ευθεια η ΒΓ,πρεπει λοιπον στο Α σημεiο
στη δοσμενη ευθεια ΒΓ ιση ευθεια να τοποθετηθει.
Ας ενωθει τοτε απο το Α σημειο στο Β σημειο ευθεια η ΑΒ,κι ας δημιουργησω πανω της
τριγωνο ισοπλευρο το ΔΑΒ,κι ας προεκταθουν ευθεια στις ΔΑ,ΔΒ ευθειες οι ΑΕ,ΒΖ,και με
κεντρο μεν στο Β διαστημα δε [ισο] στο ΒΓ κυκλος ας ειναι γραμμενος ο ΓΗΘ,και παλι με
κεντρο μεν στο Δ διαστημα δε [ισο] στο ΒΓ κυκλος ας ειναι γραμμενος ο ΗΚΛ..
Επειδη λοιπον το Β σημειο κεντρο ειναι του ΓΗΘ κυκλου,ιση ειναι η ΒΓ στη ΒΗ,παλι επειδη.
το Δ σημειο κεντρο ειναι του ΚΛΗ κυκλου,ιση ειναι η ΔΛ στη ΔΗ,οντας η ΔΑ με την ΔΒ
ιση,επομενως η υπολοιπη η ΑΛ με την υπολοιπη τη ΒΗ ειναι ιση,δειχθηκε δε και η ΒΓ με την
ΒΗ ιση,καθε μια επομενως των ΑΛ,ΒΓ με την ΒΗ ειναι ιση,τα δε με το ιδιο ισα και το ενα
με το αλλο ειναι ισα,και η ΑΛ επομενως με την ΒΓ ειναι ιση,
Επομενως στο δοσμενο σημειο το Α στη δοσμενη ευθεια τη ΒΓ ιση ευθεια βρισκεται η ΑΛ,
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
αυτο που επρεπε να κατασκευασθει
.
.
Ευκλειδη Στοιχεια,Βιβλιο α',προταση β'
Προς τω δοθεντι σημειω τη δοθειση ευθεια
ισην ευθειαν θεσθαι.
-animations χ.ν.κουβελης c.n.couvelis
-music Intentionally Blank Twenty-five Notes You Forgot to Remember
https://youtu.be/6Y1b44oHc8E
.
.
.
.
.
-Ευκλειδης Στοιχεια Βιβλιο γ',προταση ιστ' -
Δυο Μαθηματικοι Κατα Πλατωνα Διαλογοι,Ακαδημια Αθηνα και Αλεξανδρεια
μεταφραση translation προτασης και κειμενα διαλογων χ.ν.κουβελης c.n.couvelis
Α' Μαθηματικος Κατα Πλατωνα Διαλογος:
Πλατων, Ευκλειδης διαλογος,
Αθηνα,Ακαδημια
Πλατων:οι αισθησεις απατουν.δεν συμφωνεις;
Ευκλειδης:και βεβαια
Πλατων:επομενως δεν ειναι τα αισθητα κατωτερα των νοητων;
Ευκλειδης:ναι,ειναι
Πλατων:αυτος ο κυκλος που εδω γραφω ειναι αισθητος,μια εικονα του νοητου,ετσι
δεν ειναι;
Ευκλειδης:ετσι,βεβαια
Πλατων:φερνω τη διαμετρο ΑΒ,και σ'αυτη τη καθετο ΑΕ,βλεπεις τον ενδιαμεσο
χωρο μεταξυ αυτης και του κυκλου;
Ευκλειδης:τον βλεπω
Πλατων:νομιζεις οτι μεσα σ'αυτον μπορει να παρεμβληθει και αλλη ευθεια με την
ιδιοτητα της ΑΕ;
Ευκλειδης:νομιζω πως ναι
Πλατων:ποσες;
Ευκλειδης:απειρες
Πλατων:η' και καμια;
Ευκλειδης:η΄και καμια
Πλατων:δεν θα πρεπει αυτο να το αποδειξουμε,τι αληθεια συμβαινει;
Ευκλειδης:θα πρεπει
.
Β' Μαθηματικος Κατα Πλατωνα Διαλογος:
Ευκλειδης Μαθητης διαλογος,
Αλεξανδρεια
Ευκλειδης:οι αισθησεις απατουν.δεν συμφωνεις;
Μαθητης:και βεβαια
Ευκλειδης:επομενως δεν ειναι τα αισθητα κατωτερα των νοητων;
Μαθητης:ναι,ειναι
Ευκλειδης:αυτος ο κυκλος που εδω γραφω ειναι αισθητος,μια εικονα του νοητου,ετσι
δεν ειναι;
Μαθητης:ετσι,βεβαια
Ευκλειδης:φερνω τη διαμετρο ΑΒ,και σ'αυτη τη καθετο ΑΕ,βλεπεις τον ενδιαμεσο
χωρο μεταξυ αυτης και του κυκλου;
Μαθητης:τον βλεπω
Ευκλειδης:νομιζεις οτι μεσα σ'αυτον μπορει να παρεμβληθει και αλλη ευθεια με την
ιδιοτητα της ΑΕ;
Μαθητης:νομιζω πως ναι
Ευκλειδης:ποσες;
Μαθητης:απειρες
Ευκλειδης:η' και καμια;
Μαθητης:η΄και καμια
Ευκλειδης:δεν θα πρεπει αυτο να το αποδειξουμε,τι αληθεια συμβαινει;
Μαθητης:θα πρεπει
Ευκλειδης:αν υποθεσουμε οτι παρεμβαλλονται απειρες,ας γραψουμε μια παρα
πολυ κοντα της ΑΕ,φαινεται να ειναι η ευθεια που ζητουμε
Μαθητης:ετσι φαινεται
Ευκλειδης:ας μεγεθυνουμε το σχημα μας,τι βλεπεις τωρα;
Μαθητης:οτι η ευθεια μας τεμνει την περιφερεια του κυκλου
Ευκλειδης:κι επομενως δεν ειναι εντος του τοπου της ΑΕ και του Κυκλου
Μαθητης:δεν ειναι
Ευκλειδης:και τι λοιπον
Μαθητης:οι αισθησεις μας απατουν
Ευκλειδης:τοτε δεν θα ζητησουμε την αληθεια με τον νου,οπως Πλατων μας διδαξε;
Μαθητης:και βεβαια
Ευκλειδης:Ας αρχισουμε λοιπον
Μαθητης:ανυπομονω
.
ΕΥΚΛΕΙΔΗ Στοιχεια,βιβλιο γ',προταση ιστ'
ιϛ΄. Ἡ τῇ διαμέτρῳ τοῦ κύκλου πρὸς ὀρθὰς ἀπ' ἄκρας ἀγομένη ἐκτὸς πεσεῖται τοῦ
κύκλου, καὶ εἰς τὸν μεταξὺ τόπον τῆς τε εὐθείας καὶ τῆς περιφερείας ἑτέρα εὐθεῖα οὐ
παρεμπεσεῖται, καὶ ἡ μὲν τοῦ ἡμικυκλίου γωνία ἁπάσης γωνίας ὀξείας εὐθυγράμμου
μείζων ἐστίν, ἡ δὲ λοιπὴ ἐλάττων.
Ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ περὶ κέντρον τὸ Δ καὶ διάμετρον τὴν ΑΒ· λέγω, ὅτι ἡ ἀπὸ τοῦ Α
τῇ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς ἀπ' ἄκρας ἀγομένη ἐκτὸς πεσεῖται τοῦ κύκλου.
Μὴ γάρ, ἀλλ' εἰ δυνατόν, πιπτέτω ἐντὸς ὡς ἡ ΓΑ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΓ.
Ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΔΑ τῇ ΔΓ, ἴση ἐστὶ καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΔΑΓ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΑΓΔ. ὀρθὴ δὲ ἡ ὑπὸ ΔΑΓ· ὀρθὴ ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΑΓΔ· τριγώνου δὴ τοῦ ΑΓΔ αἱ δύο γωνίαι αἱ ὑπὸ ΔΑΓ, ΑΓΔ δύο ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα ἡ ἀπὸ τοῦ Α σημείου τῇ ΒΑ πρὸς ὀρθὰς ἀγομένη ἐντὸς
πεσεῖται τοῦ κύκλου. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι οὐδ' ἐπὶ τῆς περιφερείας· ἐκτὸς ἄρα.
Πιπτέτω ὡς ἡ ΑΕ· λέγω δή, ὅτι εἰς τὸν μεταξὺ τόπον τῆς τε ΑΕ εὐθείας καὶ τῆς ΓΘΑ περιφερείας ἑτέρα εὐθεῖα οὐ παρεμπεσεῖται.
Εἰ γὰρ δυνατόν, παρεμπιπτέτω ὡς ἡ ΖΑ, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Δ σημείου ἐπὶ τὴν ΖΑ κάθετος
ἡ ΔΗ. καὶ ἐπεὶ ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΗΔ, ἐλάττων δὲ ὀρθῆς ἡ ὑπὸ ΔΑΗ, μείζων ἄρα ἡ ΑΔ τῆς ΔΗ.
ἴση δὲ ἡ ΔΑ τῇ ΔΘ· μείζων ἄρα ἡ ΔΘ τῆς ΔΗ, ἡ ἐλάττων τῆς μείζονος· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
οὐκ ἄρα εἰς τὸν μεταξὺ τόπον τῆς τε εὐθείας καὶ τῆς περιφερείας ἑτέρα εὐθεῖα παρεμπεσεῖται.
Λέγω, ὅτι καὶ ἡ μὲν τοῦ ἡμικυκλίου γωνία ἡ περιεχομένη ὑπό τε τῆς ΒΑ εὐθείας καὶ τῆς
ΓΘΑ περιφερείας ἁπάσης γωνίας ὀξείας εὐθυγράμμου μείζων ἐστίν, ἡ δὲ λοιπὴ ἡ περιεχομένη
ὑπό τε τῆς ΓΘΑ περιφερείας καὶ τῆς ΑΕ εὐθείας ἁπάσης γωνίας ὀξείας εὐθυγράμμου ἐλάττων
ἐστίν.
Εἰ γὰρ ἐστί τις γωνία εὐθύγραμμος μείζων μὲν τῆς περιεχομένης ὑπό τε τῆς ΒΑ εὐθείας καὶ τῆς
ΓΘΑ περιφερείας, ἐλάττων δὲ τῆς περιεχομένης ὑπό τε τῆς ΓΘΑ περιφερείας καὶ τῆς ΑΕ εὐθείας,
εἰς τὸν μεταξὺ τόπον τῆς τε ΓΘΑ περιφερείας καὶ τῆς ΑΕ εὐθείας εὐθεῖα περεμπεσεῖται, ἥτις
ποιήσει μείζονα μὲν τῆς περιεχομένης ὑπό τε τῆς ΒΑ εὐθείας καὶ τῆς ΓΘΑ περιφερείας ὑπὸ
εὐθειῶν περιεχομένην, ἐλάττονα δὲ τῆς περιεχομένης ὑπό τε τῆς ΓΘΑ περιφερείας καὶ τῆς ΑΕ εὐθείας. οὐ παρεμπίπτει δέ· οὐκ ἄρα τῆς περιεχομένης γωνίας ὑπό τε τῆς ΒΑ εὐθείας καὶ τῆς
ΓΘΑ περιφερείας ἔσται μείζων ὀξεῖα ὑπὸ εὐθειῶν περιεχομένη, οὐδὲ μὴν ἐλάττων τῆς περιεχομένης ὑπό τε τῆς ΓΘΑ περιφερείας καὶ τῆς ΑΕ εὐθείας.
ιϛ΄.η αγομενη στη διαμετρο του κυκλου κατα ορθες γωνιες στο ακρο εκτος θα πεσει
του κυκλου,και στο ενδιαμεσο τοπο και της ευθειας και της περιφερειας αλλη
ευθεια δεν παρεμβαλεται,και η μεν του ημικυκλιου γωνια καθε ευθυγραμμης οξειας
γωνιας μεγαλυτερη ειναι,η δε υπολοιπη μικροτερη.
Αποδειξη:
Εστω ο κυκλος ΑΒΓ περι το κεντρον Δ και διαμετρον την ΑΒ,
λεω,οτι η απο του Α στην ΑΒ κατα ορθες γωνιες στο ακρο αγομενη εκτος θα πεσει
του κυκλου.
οχι λοιπον,αλλα αν ειναι δυνατον,ας πεσει εντος ως η ΓΑ,κι ας συνδεθει η ΔΓ.
επειδη ιση ειναι η ΔΑ στην ΔΓ,ιση ειναι και η γωνια ΔΑΓ με την ΑΓΔ,
ορθη δε η ΔΑΓ.ορθη επομενως και ΑΓΔ.του τριγωνου ΑΓΔ τωρα οι δυο γωνιες οι
ΔΑΓ,ΑΓΔ δυο ορθες ειναι.το οποιον ειναι αδυνατον.
επομενως η απο του Α σημειου στη ΒΑ κατα ορθες αγομενη δεν θα πεσει εντος
του κυκλου.
ομοια τωρα θα δειξομε,οτι ουτε επι της περιφερειας.εκτος επομενως.
ας πεσει ως η ΑΕ.λεω τωρα,οτι στον ενδιαμεσο τοπο και της ΑΕ ευθειας και της ΓΘΑ
περιφερειας αλλη ευθεια δεν παρεμβαλεται.
γιατι αν δυνατον,ας παρεμβληθει ως η ΖΑ,και ας αχθει απο του Δ σημειου επι την ΖΑ
καθετος ΔΗ.κι επειδη ορθη ειναι η ΑΗΔ,μικροτερη δε ορθης η ΔΑΗ,μεγαλυτερη επομενως
η ΑΔ της ΔΗ.ιση δε η ΔΑ στη ΔΘ.μεγαλυτερη επομενως η ΔΘ της ΔΗ,η μικροτερη της
μεγαλυτερης.το οποιο ειναι αδυνατον.
επομενως στον ενδιαμεσο τοπο και της ευθειας και της περιφερειας αλλη ευθεια
δεν παρεμβαλεται.
λεω,οτι και η μεν του ημικυκλιου γωνια η περιεχομενη και υπο της ΒΑ ευθειας και της
ΓΘΑ περιφερειας καθε ευθυγραμμης οξειας γωνιας μεγαλυτερη ειναι,η δε υπολοιπη
η περιεχομενη και υπο της ΓΘΑ περιφερειας και της ΑΕ ευθειας καθε ευθυγραμμης οξειας
γωνιας μικροτερη ειναι.
γιατι αν ειναι καποια γωνια ευθυγραμμη μεγαλυτερη μεν της περιεχομενης υπο και της ΒΑ
ευθειας και της ΓΘΑ περιφερειας,μικροτερη δε της περιεχομενης υπο και της ΓΘΑ
περιφερειας και της ΑΕ ευθειας,στον ενδιαμεσο τοπο και της ΓΘΑ περιφερειας και της
ΑΕ ευθειας ευθεια παρεμβαλεται,η οποια θα κανει μεγαλυτερη μεν της περιεχομενης
υπο και της ΒΑ ευθειας και της ΓΘΑ περιφερειας υπο ευθειων περιεχομενη,μικροτερη
δε της περιεχομενης και υπο της ΓΘΑ περιφερειας και της ΑΕ ευθειας.ομως δεν παρεμ-
βαλεται.επομενως της περιεχομενης γωνιας και υπο της ΒΑ ευθειας και της ΓΘΑ περι-
φερειας δεν ειναι μεγαλυτερη οξεια υπο ευθειων περιεχομενη,ουτε οχι λιγοτερη της
της περιεχομενης γωνιας και υπο της ΓΘΑ περιφερειας και της ΑΕ ευθειας
.
Ευκλειδης:τωρα δεν εισαι σε θεση να περιγραψεις την αποδειξη που αποσιωπησαμε;
Μαθητης:και βεβαια ειμαι
Ευκλειδης:ακουω λοιπον
Μαθητης:στην πρωτη περιπτωση: η γωνια υπο και τη περιφερεια ΓΘΑ και την ευθεια
ΒΑ ειναι μεγαλυτερη καθε ευθυγραμμης οξειας γωνιας με μια ευθεια τη ΒΑ,
τοτε η αλλη ευθεια,ας πουμε ΑΖ, της οξειας γωνιας ,δεν μπορει να βρισκεται εντος του
τοπου υπο της ΓΘΑ περιφερειας και της ΑΕ ευθειας,πραγμα που αποδειξαμε ατοπο
να παρεμβαλεται,
επομενως μενει να τεμνει τον κυκλο,τοτε η σχηματιζομενη ευθυγραμμη οξεια γωνια
ΖΑΒ ειναι φυσικα μικροτερη.οπερ εδει δειξαι.
και στην δευτερη περιπτωση: η γωνια υπο και τη περιφερεια ΓΘΑ και την ευθεια
ΑΕ ειναι μικροτερη καθε ευθυγραμμης οξειας γωνιας με μια ευθεια τη ΑΕ
τοτε η αλλη ευθεια,ας πουμε ΑΖ, της οξειας γωνιας ,δεν μπορει να βρισκεται εντος του
τοπου υπο της ΓΘΑ περιφερειας και της ΑΕ ευθειας,πραγμα που αποδειξαμε ατοπο
να παρεμβαλεται,
επομενως μενει να τεμνει τον κυκλο,τοτε η σχηματιζομενη ευθυγραμμη οξεια γωνια
ΖΑΕ ειναι φυσικα μεγαλυτερη.οπερ εδει δειξαι
Ευκλειδης:Ευγε,,αποδειχθηκε καθαρα,νοητα,χωρις παρεμβολη αισθητων,μηχανικων,
μεσων,ετσι ακριβως οπως ηθελε ο δασκαλος μας Πλατων
:Ἡ τῇ διαμέτρῳ τοῦ κύκλου πρὸς ὀρθὰς ἀπ' ἄκρας ἀγομένη ἐκτὸς πεσεῖται τοῦ κύκλου,
καὶ εἰς τὸν μεταξὺ τόπον τῆς τε εὐθείας καὶ τῆς περιφερείας ἑτέρα εὐθεῖα οὐ
παρεμπεσεῖται, καὶ ἡ μὲν τοῦ ἡμικυκλίου γωνία ἁπάσης γωνίας ὀξείας εὐθυγράμμου
μείζων ἐστίν, ἡ δὲ λοιπὴ ἐλάττων.
.
.
.
Πόρισμα ς' (Στοιχεία Ευκλείδη)-μεταφραση χ.ν.κουβελης c.n.couvelis
σε αυτή την πρόταση ς' χρησιμοποιείται από τον Ευκλείδη για πρώτη φορά η μέθοδος της 'Εις Άτοπον Απαγωγης' για την αποδειξη,
ϛ΄. Ἐὰν τριγώνου αἱ δύο γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις ὦσιν, καὶ αἱ ὑπὸ τὰς ἴσας γωνίαις ὑποτείνουσαι πλευραὶ ἴσαι ἀλλήλαις ἔσονται.
Ἔστω τρίγωνον τὸ ΑΒΓ ἴσην ἔχον τὴν ὑπὸ ΑΒΓ γωνίαν τῇ ὑπὸ ΑΓΒ γωνίᾳ· λέγω, ὅτι καὶ πλευρὰ ἡ ΑΒ πλευρᾷ τῇ ΑΓ ἐστιν ἴση. Εἰ γὰρ ἄνισός ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΑΓ, ἡ ἑτέρα αὐτῶν μείζων ἐστίν. ἔστω μείζων ἡ ΑΒ, καὶ ἀφῃρήσθω ἀπὸ τῆς μείζονος τῆς ΑΒ τῇ ἐλάττονι τῇ ΑΓ ἴση ἡ ΔΒ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΓ. Ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΔΒ τῇ ΑΓ κοινὴ δὲ ἡ ΒΓ, δύο δὴ αἱ ΔΒ, ΒΓ δύο ταῖς ΑΓ, ΓΒ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ, καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΔΒΓ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΑΓΒ ἐστιν ἴση· βάσις ἄρα ἡ ΔΓ βάσει τῇ ΑΒ ἴση ἐστίν, καὶ τὸ ΔΒΓ τρίγωνον τῷ ΑΓΒ τριγώνῳ ἴσον ἔσται, τὸ ἔλασσον τῷ μείζονι· ὅπερ ἄτοπον· οὐκ ἄρα ἄνισός ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΑΓ· ἴση ἄρα. Ἐὰν ἄρα τριγώνου αἱ δύο γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις ὦσιν, καὶ αἱ ὑπὸ τὰς ἴσας γωνίας ὑποτείνουσαι πλευραὶ ἴσαι ἀλλήλαις ἔσονται· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
Αν τριγώνου οι δύο γωνίες ίσες η μία με την άλλη είναι,και οι υπό τις ίσες γωνίες υποτείνουσας πλευρές ίσες η μία με την άλλη θα ειναι
Έστω τρίγωνο το ΑΒΓ που ίση έχει την υπό ΑΒΓ γωνία με την υπό ΑΓΒ γωνία.
λέω,ότι και η πλευρά η ΑΒ με την πλευρά την ΑΓ ίση είναι.
Αν τοτε άνιση είναι η ΑΒ με την ΑΓ,η μία από αυτές μεγαλύτερη είναι.
έστω μεγαλύτερη η ΑΒ,και αν αφαιρεσω από την μεγαλύτερη την ΑΒ με την μικρότερη την ΑΓ ίση η ΔΒ,και ας συνδεσω τη ΔΓ.
Επειδή λοιπόν ίση είναι η ΔΒ με την ΑΓ κοινή δε η ΒΓ,οι δυο οι ΔΒ,ΒΓ με τις δύο
τις ΑΓ,ΓΒ ίσες είναι κάθε μία με την άλλη,και η γωνια η υπό την ΔΒΓ με την γωνία
την υπό ΑΓΒ είναι ίση.
η βάση επομένως η ΔΓ με την βάση την ΑΒ ίση είναι,και το ΔΒΓ τρίγωνο με το
ΑΓΒ τρίγωνο ίσο είναι,το μικρότερο με το μεγαλύτερο.το οποίο άτοπο,
επομένως δεν είναι άνιση η ΑΒ με την ΑΓ.ιση επομένως.
Αν τριγώνου οι δύο γωνίες ίσες η μία με την άλλη είναι,και οι υπό τις ίσες γωνίες υποτείνουσας πλευρές ίσες η μία με την άλλη θα ειναι.αυτο το οποιο έπρεπε να δειχθει
.
.
.
ΕΥΚΛΕΙΔΗ ΣΤΟΙΧΕΙΑ,Βιβλίο Β' πρόταση ς'
-αποδειξη εικονική χ.ν.κουβελης c.n.couvelis
ΕΥΚΛΕΙΔΗ ΣΤΟΙΧΕΙΑ,Βιβλίο Β' πρόταση ς'
ϛ΄. Ἐὰν εὐθεῖα γραμμὴ τμηθῇ δίχα, προστεθῇ δέ τις αὐτῇ εὐθεῖα ἐπ' εὐθείας,
τὸ ὑπὸ τῆς ὅλης σὺν τῇ προσκειμένῃ καὶ τῆς προσκειμένης περιεχόμενον ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τετραγώνου ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς συγκειμένης ἔκ τε τῆς ἡμισείας καὶ τῆς προσκειμένης τετραγώνῳ
(Αν ευθύγραμμο τμήμα διχοτομηθει και σ'αυτό προστεθεί η προέκταση
της κατά κάποιο τμήμα,το περιεχόμενο ορθογώνιο από όλη συν
την προέκταση και την προεκτασην μετά του τετραγώνου της
ημισείας ίσο είναι με το τετράγωνο από την ημισεια συν την προεκταση)
Απόδειξη:
έστω το τμήμα ΑΒ,το μέσον του Γ, προεκτεινουμε κατά τμήμα ΒΔ,
κατασκευάζουμε το τετράγωνο:ΓΔΖΕ
και το ορθογώνιο ΑΔΜΚ,με ΔΜ=ΒΔ,τα οποία τέμνονται στα σημεία:Μ,Λ
φέρνουμε στο Β κάθετο ευθεία που τέμνει τις ΜΚ,ΖΕ στα σημεία:Θ,Η
τότε:
ΑΓ=ΓΒ,ΒΔ=ΔΜ
ΑΓΛΚ=ΓΒΘΛ=ΘΜΖΗ ορθογωνια
αν προσθεσουμε το ΓΔΜΛ ορθογώνιο
έχουμε:ΑΔΜΚ ορθογώνιο=ΓΔΖΗΘΛ πολύγωνο
αν προσθέσουμε το ΛΘΗΕ τετράγωνο
έχουμε:ΑΔΜΚ ορθογώνιο+ΛΘΗΕ τετράγωνο=ΓΔΖΕ τετράγωνο
επειδή:ΒΓ=ΛΘ=ΘΗ, και ΓΔ=ΔΖ
τότε:
ΑΔ.ΒΔ ορθογώνιο+ΒΓ.ΒΓ τετράγωνο=ΓΔ.ΓΔ τετραγωνο
οπερ εδει δειξαι
(αυτό το οποίο επρεπε να αποδειχθεί αποδείχθηκε)
.
.
ΕΥΚΛΕΙΔΗ ΣΤΟΙΧΕΙΑ Βιβλίο Β πρόταση ς' αποδειξη εικονική and music χ.ν.κουβελης c.n.couvelis
https://youtu.be/WjP36en2YEM
.
.
.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου