.
.
LITTERATURE-ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΑ
-ΠΑΠΠΟΥ ΣΥΝΑΓΩΓΗΣ ΒΙΒΛΙΟ VIII,ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ γ',δ',ε'
Η ΕΚΠΛΗΚΤΙΚΗ ΕΥΦΥΙΑ ΤΩΝ ΑΡΧΑΙΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ
translation μεταφραση αποδειξη χ.ν.κουβελης c.n.couvelis
ΚΕΙΜΕΝΑ-TEXTS-Χ.Ν.Κουβελης[C.N.Couvelis}
.
.
ΠΑΠΠΟΥ ΣΥΝΑΓΩΓΗΣ
ΠΑΠΠΟΥ ΣΥΝΑΓΩΓΗΣ ΒΙΒΛΙΟ VIII,ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ γ',δ',ε'
Η ΕΚΠΛΗΚΤΙΚΗ ΕΥΦΥΙΑ ΤΩΝ ΑΡΧΑΙΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ
translation μεταφραση αποδειξη χ.ν.κουβελης c.n.couvelis
γ'.Έατω τρίγωνον το ΑΒΓ και αι αυτου εις τον αυτόν λόγον τεμνέσθωσαν τοις Η Θ Κ
σημείοις, ωστε είναι ας την ΑΗ προς ΗΒ, την ΒΘ προς ΘΓ και την ΓΚ προς ΚΑ , καΙ επεζευχθωσαν
αι ΗΘ ΘΚ ΚΗ · οτι του ΑΒΓ τριγώνου και τοΰ ΗΘΚ το αυτο κέντρον του βάρους εστίν.
Τετμήσ9ωσαν γάρ αι ΒΓ ΓΑ δίχα τοις Δ Ε καί επεζεύχθωσαν αι AΔ ΒΕ· το Ζ αρα κεντρον βάρους
εστιν τοΰ ΑΒΓ τριγώνου, εάν γάρ τό τρίγωνον επί τίνος ορθου επιπέδου επίσταθη κατά την ΑΔ
ευθειαν , επ' ουδέτερον μέρος ρέψει τό τρίγωνον διά το ΐσον είναι το ABΔ τρίγωνον τω ΑΓΔ
τριγώνω. επιαταθεν δέ ομοίως το ΑΒΓ τρίγωνον κατά την ΒE επί του όρ9ου επιπέδου επ '
ουδέτερον μέρος ρέψει διά το ισα είναι τά ΑΒΕ ΒΓΕ τρίγωνα.εΐ δέ έφ 'εκατέρας των AΔ ΒΕ
ισορροπεί το τρίγωνον, το αρα κοινον αυτών σημεΐον το Ζ κέντρον εσται του βάρους,
[νοειν δέ δει το Ζ , ως προείρηται,κείμενον έν μέσω του ΑΒΓ τριγώνου ισοπαχούς τε και
ισοβαρούς δηλονότι υποκειμένου] και φανερόν οτι διπλάσιά εστιν η μέν ΑΖ τής ZΔ,ή δε ΒΖ
της ΖΕ , και οτι ως η ΓΑ πρός ΑΕ , ουτως η ΑΒ προς ΔE και η ΒΖ πρός ΖΕ καί η ΑΖ προς ΖΔ
διά το ισογωνια ειναι και τά ΔZE ΑΒΖ τρίγωνα και τά ΓΔΕ ABΓ. επίζευχθεισα ουν η ΔΕ τεμνέτω
την ΘΚ κατά το Λ .έπει ουν ο της ΒΘ προς ΘΓ λόγος συνηπται εκ τε του της ΘΒ προς ΔΘ και
του της ΔΘ προς ΘΓ,και εστιν συνθέντι ώς ή ΒΓ προς ΓΘ , ή ΓΑ προς ΑΚ,και των ηγουμένων
τα ημιση ώς ΓΔ προς ΓΘ , ή ΕΑ προς ΑΚ ,και άναστρεψαντι ώς ή ΓΔ προς ΔΘ, η ΑΕ προς ΕΚ ,
ιση δε ή μέν ΓΔ τη ΒΔ, ή δέ ΑΕ τη ΓΕ , και ώς αρα ή BΔ προς ΔΘ, η ΓΕ προς EK.συνθέντι αρα
ώς η ΒΘ προς ΘΔ, η ΓΚ προς KE.σύγκειται αρα και ο της ΑΗ προς ΗΒ λόγος εκ τε του της ΓΚ
προς ΚΕ και του τής ΔΘ προς ΘΓ.συγκειται δ' εκ των αυτών καί ο τής ΔΛ προς ΛΕ [και ίση εστιν
ή ΘΛ τη ΛΚ ], ως δειχθησεται .εστιν αρα και ώς η ΑΗ προς ΗΒ , η ΔΛ προς ΛΕ .και εισίν
παράλληλοι αι ΑΒ ΔE , και επεζευγμέναι αι ΑΔ ΒΕ τέμνουσιν αλλήλας κατά το Ζ · ευθεια αρα
έστιν ή διά των Η Ζ Λ .και τουτο γάρ εξής [ει μικρόν εστιν]. και επεί έστιν ώς ή ΒΖ προς ΖΕ ,
ούτως η ΗΖ προς ΖΛ.διπλη δέ ή ΒΖ τής ΖΕ , διπλή αρα και η ΗΖ της ΖΛ . τριγώνου δη του ΗΘΚ
διχοτομια η ΗΛ ,και διπλή ή ΗΖ τής ΖΛ .το Ζ αρα κεντρον βάρους εστιν του ΗΘΚ τριγώνου,
ην δε και του ΑΒΓ
.
.
γ'.Εστω τριγωνο ΑΒΓ και οι πλευρες του κατα τον ιδιο λογο ας τμηθουν στα σημεια Η Θ Κ,
ωστε ειναι καθως η ΑΗ προς ΗΒ,η ΒΘ προς ΘΓ και η ΓΚ προς ΚΑ,και ας συνδεθουν οι ΗΘ ΘΚ
ΚΗ,τοτε το τριγωνο ΑΒΓ και το ΗΘΚ το ιδιο κεντρο βαρους εχουν
ας χαραχθει απο το Γ στη ΘΚ παραλληλος η ΓΖ και ας συμπεσει με την προεκταση της ΔΕ
κατα το Ζ,
επειδη λοιπον δυο ευθειες ειναι οι ΔΛ ΛΕ,και εξωτερικα η ΖΛ,τοτε ο λογος της ΔΛ προς ΛΕ
συνισταται και απ'το λογο της ΔΛ προς ΛΖ και απ'το λογο της ΛΖ προς ΕΛ,
αλλα στον μεν λογο της ΔΛ προς ΛΖ ο ιδιος ειναι ο λογος της ΔΘ προς ΘΓ επειδη παραλληλη
ειναι η ΓΖ με την Κθ .
στον δε λογο της ΖΛ ο ιδιος ειναι ο λογος της ΓΚ προς ΚΕ επειδη ισογωνια ειναι τα τριγωνα
ΓΕΖ ΕΚΛ.
και τοτε ο λογος της ΔΛ προς την ΛΕ συνισταται και απ' το λογο της ΔΘ προς ΘΓ και απ'του
λογου της ΓΚ προς ΚΕ.
κατα τα ιδια πρεπει ν'αποδειχθει οτι και ο λογος της ΚΛ προς ΛΘ συνισταται και απ' το λογο
της ΚΕ προς ΕΓ και απ'το λογο της ΓΔ προς ΔΘ.
παραλληλος χαραζεται στη ΕΔ απο το Γ η ΓΜ που συμπιπτει με την προεκταση της ΚΘ κατα
το Μ,
τοτε λοιπον επειδη δυο ευθειες ειναι οι ΚΛ ΛΘ εξωτερικα της ΛΜ που πηραμε,ο λογος τοτε
της ΚΛ προς ΛΘ συνισταται και απ'το λογο της ΚΛ προς ΛΜ και απ'το λογο της ΛΜ προς ΛΘ.
αλλ'ο μεν λογος της ΚΛ προς ΛΜ ο ιδιος ειναι με τον λογο της ΚΕ προς ΕΓ επειδη παραλληλη
ειναι παλι η ΕΔ με την ΓΜ.
ο δε της ΛΜ προς ΛΘ λογος ο ιδιος ειναι με τον λογο της ΓΔ προς ΔΘ επειδη ισογωνια ειναι τα
τριγωνα ΔΘΛ ΓΜΘ.
τοτε ο λογος της ΚΛ προς ΛΘ ο ιδιος ειναι με τον συνισταμενο και απ' το λογο της ΚΕ προς ΕΓ,
τουτο ειναι, του λογου της ΔΘ προς ΔΓ,και του λογου της ΓΔ προς την ΔΘ,που ισοτητα κανει τον
λογο.και ο λογος της ΚΛ τοτε προς την ΛΘ λογος ισοτητας ειναι,ιση τοτε η ΚΛ με την Λθ
.
.
ε'. Το λοιπόν των υπερτεθεντων. εστω παράλληλος η ΑΒ τη ΓΔ,και ώς ή ΑΖ προς ΖΒ, ή ΓΘ προς
ΘΔ,και επεζεύχθωσαν αι ΑΓ BΔ τεμνουσαι άλλήλας κατα το Ε σημειον οτι ή διά των Ζ Ε Θ
ευθεια εστιν
Eι γάρ μή,εστω ή διά των Ζ Ε Η . επει ουν εστιν ώς ή ΑΖ προς ΓΗ , ουτως ή ΖΕ προς ΕΗ,
ώς δε ή ΖΕ προς ΕΗ,ουτως η ΖΒ προς HΔ,ώς αρα ή ΑΖ προς ΓΗ,ουτως ή ΖΒ προς ΗΔ,και
εναλλάξ ώς ή ΑΖ προς ΖΒ ,τουτέστιν ώς η ΓΘ προς ΘΔ,ουτως ή ΓΗ προς HΔ , οπερ
αδύνατον. η αρα διά των Ζ Ε Θ σημείων ευθειά εατιν.
ε'. Το υπολοιπο των πιο πανω .εστω η ΑΒ παραλληλος στην ΓΔ,και ως η ΑΖ προς ΖΒ,η ΓΘ
προς ΘΔ,κι ας συνδεθουν οι ΑΓ ΒΔ που τεμνει η μια την αλλη κατα το σημειο Ε τοτε
η γραμμη που διερχεται απ'τα σημεια Ζ Ε Θ ευθεια ειναι
Αποδειξη:
αν δεν ειναι,.
LITTERATURE-ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΑ
-ΠΑΠΠΟΥ ΣΥΝΑΓΩΓΗΣ ΒΙΒΛΙΟ VIII,ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ γ',δ',ε'
Η ΕΚΠΛΗΚΤΙΚΗ ΕΥΦΥΙΑ ΤΩΝ ΑΡΧΑΙΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ
translation μεταφραση αποδειξη χ.ν.κουβελης c.n.couvelis
ΚΕΙΜΕΝΑ-TEXTS-Χ.Ν.Κουβελης[C.N.Couvelis}
.
.
ΠΑΠΠΟΥ ΣΥΝΑΓΩΓΗΣ
ΠΑΠΠΟΥ ΣΥΝΑΓΩΓΗΣ ΒΙΒΛΙΟ VIII,ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ γ',δ',ε'
Η ΕΚΠΛΗΚΤΙΚΗ ΕΥΦΥΙΑ ΤΩΝ ΑΡΧΑΙΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ
translation μεταφραση αποδειξη χ.ν.κουβελης c.n.couvelis
γ'.Έατω τρίγωνον το ΑΒΓ και αι αυτου εις τον αυτόν λόγον τεμνέσθωσαν τοις Η Θ Κ
σημείοις, ωστε είναι ας την ΑΗ προς ΗΒ, την ΒΘ προς ΘΓ και την ΓΚ προς ΚΑ , καΙ επεζευχθωσαν
αι ΗΘ ΘΚ ΚΗ · οτι του ΑΒΓ τριγώνου και τοΰ ΗΘΚ το αυτο κέντρον του βάρους εστίν.
Τετμήσ9ωσαν γάρ αι ΒΓ ΓΑ δίχα τοις Δ Ε καί επεζεύχθωσαν αι AΔ ΒΕ· το Ζ αρα κεντρον βάρους
εστιν τοΰ ΑΒΓ τριγώνου, εάν γάρ τό τρίγωνον επί τίνος ορθου επιπέδου επίσταθη κατά την ΑΔ
ευθειαν , επ' ουδέτερον μέρος ρέψει τό τρίγωνον διά το ΐσον είναι το ABΔ τρίγωνον τω ΑΓΔ
τριγώνω. επιαταθεν δέ ομοίως το ΑΒΓ τρίγωνον κατά την ΒE επί του όρ9ου επιπέδου επ '
ουδέτερον μέρος ρέψει διά το ισα είναι τά ΑΒΕ ΒΓΕ τρίγωνα.εΐ δέ έφ 'εκατέρας των AΔ ΒΕ
ισορροπεί το τρίγωνον, το αρα κοινον αυτών σημεΐον το Ζ κέντρον εσται του βάρους,
[νοειν δέ δει το Ζ , ως προείρηται,κείμενον έν μέσω του ΑΒΓ τριγώνου ισοπαχούς τε και
ισοβαρούς δηλονότι υποκειμένου] και φανερόν οτι διπλάσιά εστιν η μέν ΑΖ τής ZΔ,ή δε ΒΖ
της ΖΕ , και οτι ως η ΓΑ πρός ΑΕ , ουτως η ΑΒ προς ΔE και η ΒΖ πρός ΖΕ καί η ΑΖ προς ΖΔ
διά το ισογωνια ειναι και τά ΔZE ΑΒΖ τρίγωνα και τά ΓΔΕ ABΓ. επίζευχθεισα ουν η ΔΕ τεμνέτω
την ΘΚ κατά το Λ .έπει ουν ο της ΒΘ προς ΘΓ λόγος συνηπται εκ τε του της ΘΒ προς ΔΘ και
του της ΔΘ προς ΘΓ,και εστιν συνθέντι ώς ή ΒΓ προς ΓΘ , ή ΓΑ προς ΑΚ,και των ηγουμένων
τα ημιση ώς ΓΔ προς ΓΘ , ή ΕΑ προς ΑΚ ,και άναστρεψαντι ώς ή ΓΔ προς ΔΘ, η ΑΕ προς ΕΚ ,
ιση δε ή μέν ΓΔ τη ΒΔ, ή δέ ΑΕ τη ΓΕ , και ώς αρα ή BΔ προς ΔΘ, η ΓΕ προς EK.συνθέντι αρα
ώς η ΒΘ προς ΘΔ, η ΓΚ προς KE.σύγκειται αρα και ο της ΑΗ προς ΗΒ λόγος εκ τε του της ΓΚ
προς ΚΕ και του τής ΔΘ προς ΘΓ.συγκειται δ' εκ των αυτών καί ο τής ΔΛ προς ΛΕ [και ίση εστιν
ή ΘΛ τη ΛΚ ], ως δειχθησεται .εστιν αρα και ώς η ΑΗ προς ΗΒ , η ΔΛ προς ΛΕ .και εισίν
παράλληλοι αι ΑΒ ΔE , και επεζευγμέναι αι ΑΔ ΒΕ τέμνουσιν αλλήλας κατά το Ζ · ευθεια αρα
έστιν ή διά των Η Ζ Λ .και τουτο γάρ εξής [ει μικρόν εστιν]. και επεί έστιν ώς ή ΒΖ προς ΖΕ ,
ούτως η ΗΖ προς ΖΛ.διπλη δέ ή ΒΖ τής ΖΕ , διπλή αρα και η ΗΖ της ΖΛ . τριγώνου δη του ΗΘΚ
διχοτομια η ΗΛ ,και διπλή ή ΗΖ τής ΖΛ .το Ζ αρα κεντρον βάρους εστιν του ΗΘΚ τριγώνου,
ην δε και του ΑΒΓ
.
.
γ'.Εστω τριγωνο ΑΒΓ και οι πλευρες του κατα τον ιδιο λογο ας τμηθουν στα σημεια Η Θ Κ,
ωστε ειναι καθως η ΑΗ προς ΗΒ,η ΒΘ προς ΘΓ και η ΓΚ προς ΚΑ,και ας συνδεθουν οι ΗΘ ΘΚ
ΚΗ,τοτε το τριγωνο ΑΒΓ και το ΗΘΚ το ιδιο κεντρο βαρους εχουν
Αποδειξη:
ας διχοτομηθουν τοτε οι ΒΓ ΓΑ στα Δ Ε κι ας συνδεθουν οι ΑΔ ΒΕ,
το Ζ τοτε ειναι κεντρο βαρους του τριγωνου ΑΒΓ,
εαν τοτε το τριγωνο πανω σε καποιο καθετο επιπεδο στην ευθεια ΑΔ σταθει,προς καμια
μερια δεν θα στρεψει το τριγωνο επειδη ισο[εμβαδικο]ειναι το τριγωνο ΑΒΔ με το τριγωνο
ΑΓΔ,
ομοια δε αν σταθει το τριγωνο ΑΒΓ πανω σε καθετο επιπεδο στην ΒΕ προς καμια μερια
δεν θα στρεψει επειδη ισο[εμβαδικα]ειναι τα τριγωνα ΑΒΕ ΒΓΕ
αν δε σε καθε μια απο τις ΑΔ ΒΕ ισορροπει το τριγωνο,τοτε το κοινο σημειο αυτων το Ζ ειναι
το κεντρο βαρους,
[κατανοητον οτι πρεπει το Ζ,οπως προειπωθηκε,να βρισκεται στο μεσο του τριγωνου ΑΒΓ
και φανερον οτι ειναι ισοπαχο και ισοβαρο]
και φανερον οτι διπλασια ειναι η ΑΖ της ΖΔ,η δε ΒΖ της ΖΕ,και οτι ως η ΓΑ προς ΑΕ,το ιδιο
η ΑΒ προς την ΔΕ και η ΒΖ προς ΖΕ και η ΑΖ προς ΖΔ κι απο αυτο ισογωνια ειναι και τα
τριγωνα ΔΖΕ ΑΒΖ και τα ΓΔΕ ΑΒΓ.
αν συνθεθει λοιπον η ΔΕ θα τμησει την ΘΚ κατα το Λ.
επειδη λοιπον ο λογος της ΒΘ προς ΘΓ συνισταται και απ'το λογο της ΘΒ προς ΔΘ και απ'το
λογο της ΔΘ προς ΘΓ,κι αν συνθετεθει ειναι οπως η ΒΓ προς ΓΘ,η ΓΑ προς ΑΚ,
και των προηγουμενων τα μισα οπως η ΓΔ προς ΓΘ,η ΕΑ προς ΑΚ,
κι αντιστραφει οπως η ΓΔ προς ΔΘ,η ΑΕ προς ΕΚ,
ιση δε η μεν ΓΔ με τη ΒΔ,η δε ΑΕ με τη ΓΕ,και τοτε οπως η ΒΔ προς ΔΘ,η ΓΕ προς ΕΚ.
αν συνθετεθουν τοτε οπως η ΒΘ προς ΘΔ,η ΓΚ προς ΚΕ.
τοτε συνισταται και ο λογος της ΑΗ προς ΗΒ και απ'τον λογο της ΓΚ προς ΚΕ και απ'τον
λογο της ΔΘ προς ΘΓ.
συνισταται δε απ'αυτους και ο λογος της ΔΛ προς ΛΕ [και ιση ειναι η ΘΛ με τη ΛΚ].
οπως θα αποδειχθει.
τοτε ειναι και οπως η ΑΗ προς ΗΒ,η ΔΛ προς ΛΕ.
και ειναι παραλληλες οι ΑΒ ΔΕ,
και συνδεδεμενες οι ΑΔ ΒΕ τεμνουν η μια την αλλη κατα το Ζ,τοτε ευθεια ειναι η γραμμη που
διερχεται απο τα σημεια Η Ζ Λ.
και τοτε αυτο.
κι επειδη ειναι οπως η ΒΖ προς ΖΕ,το ιδιο η ΗΖ προς ΖΛ.
διπλη δε η ΒΖ της ΖΕ,διπλη τοτε και η ΗΖ της ΖΛ.δηλαδη του τριγωνου ΗΘΚ διχοτομος η ΗΛ,
και διπλη η ΗΖ της ΖΛ,τοτε το Ζ κεντρο βαρους ειναι του ΗΘΚ τριγωνου,ειναι δε και του ΑΒΓ.
.
.
δ'.Το δέ υπερτεθέν νυν δειχθήσεται. εστω γάρ ώς η ΓΔ προς ΔΘ,η ΓΕ προς ΕΚ,και επεζευχ9ωσαν
αι ΔE ΘΚ τέμνουσαι αλλήλας κατά το Λ · οτι ιση μέν εστιν ή ΘΛ τη ΚΛ , ό δε της ΔΛ προς ΛΕ
λόγος συγκειται εκ τε του της ΔΘ προς ΘΓ και του τής ΓΚ προς ΚΕ.
Ηχ9ω διά του Γ τη ΘΚ παράλληλος η ΓΖ και συμπιπτέτω τη ΔE εκβλη9είση κατά το Ζ .επει ουν
δυο ευ9ειαι εισιν αι ΔΛ ΛΕ,και εξωθεν ή ΖΛ , ο αρα τής ΔΛ προς ΛΕ λόγος συγκειται εκ τε του
τής ΔΛ προς ΛΖ και του τής ΛΖ προς ΕΛ .αλλά τω μέν τής ΔΛ προς ΛΖ λόγω ο αυτός έστιν ο τής
ΔΘ προς ΘΓ διά το παράλληλον ειναι την ΓΖ τη ΚΘ,τώ δέ τής ΖΛ προς ΛΕ λόγω ο αυτός έστιν ό
της ΓΚ προς ΚΕ διά τό ισογώνια είναι τά ΓΕΖ ΕΚΛ τριγωνα ' και ο τής ΔΛ αρα προς την ΛΕ
λόγος συγκειται εκ τε του τής ΔΘ προς ΘΓ και εκ του τής ΓΚ προς ΚΕ.κατά ταυτά δή
δειχ9ήσεται οτι και ο τής ΚΛ προς ΛΘ λόγος συνήπται εκ τε του τής ΚΕ προς ΕΓ και του
τής ΓΔ προς ΔΘ,παραλλήλου αχθεισης τη EΔ διά του Γ τής ΓΜ και αυμπιπτουσης τη ΚΘ
έκβληθείση κατά το Μ . έπει γάρ πάλιν δυο ευ9ειαι εισιν αι ΚΛ ΛΘ εξωθεν τής ΛΜ
λαμβανομενης, ο αρα τής ΚΛ πρός ΛΘ λόγος συγκειται εκ τε του της ΚΛ προς ΛM καί
του της ΛM πρός ΛΘ.αλλ'ο μέν τής ΚΛ προς ΛΜ λόγος ο αυτός εστιν τω της ΚΕ προς ΕΓ
διά το παραλλήλον ειναι πάλιν την EΔ τη ΓΜ, ο δε τής ΛM προς ΛΘ λόγος ο αυτός εστιν
τω τής ΓΔ προς ΔΘ διά το ισογώνια ειναι τά ΔΘΛ ΓΘΜ τρίγωνα · ο αρα τής ΚΛ προς ΛΘ
λόγος ο αυτός έστιν τω συγκειμένω εκ τε του τής ΚΕ προς ΕΓ, τουτέστιν.του τής ΔΘ
προς ΔΓ, και του τής ΓΔ προς την ΔΘ λόγου, ος τον τής ισότητος λόγον ποιει.και
ο τής ΚΛ αρα προς την ΛΘ λόγος τής ισότητός εστιν,ιση αρα ή ΚΛ τή ΛΘ .
.
.
δ'.Το δε παραπανω τωρα θ'αποδειχθει.ας ειναι λοιπον οπως η ΓΔ προς Δθ,η ΓΕ προς ΕΚ,
κι ας συνδεθουν οι ΔΕ ΘΚ που τεμνονται η μια με την αλλη κατα το Λ ,τοτε ιση ειναι η ΘΛ
με την ΚΛ,ο δε λογος της ΔΛ προς ΛΕ συνισταται και του λογου της ΔΘ προς ΘΓ και του
λογου της ΓΚ προς ΚΕ.
ας χαραχθει απο το Γ στη ΘΚ παραλληλος η ΓΖ και ας συμπεσει με την προεκταση της ΔΕ
κατα το Ζ,
επειδη λοιπον δυο ευθειες ειναι οι ΔΛ ΛΕ,και εξωτερικα η ΖΛ,τοτε ο λογος της ΔΛ προς ΛΕ
συνισταται και απ'το λογο της ΔΛ προς ΛΖ και απ'το λογο της ΛΖ προς ΕΛ,
αλλα στον μεν λογο της ΔΛ προς ΛΖ ο ιδιος ειναι ο λογος της ΔΘ προς ΘΓ επειδη παραλληλη
ειναι η ΓΖ με την Κθ .
στον δε λογο της ΖΛ ο ιδιος ειναι ο λογος της ΓΚ προς ΚΕ επειδη ισογωνια ειναι τα τριγωνα
ΓΕΖ ΕΚΛ.
και τοτε ο λογος της ΔΛ προς την ΛΕ συνισταται και απ' το λογο της ΔΘ προς ΘΓ και απ'του
λογου της ΓΚ προς ΚΕ.
κατα τα ιδια πρεπει ν'αποδειχθει οτι και ο λογος της ΚΛ προς ΛΘ συνισταται και απ' το λογο
της ΚΕ προς ΕΓ και απ'το λογο της ΓΔ προς ΔΘ.
παραλληλος χαραζεται στη ΕΔ απο το Γ η ΓΜ που συμπιπτει με την προεκταση της ΚΘ κατα
το Μ,
τοτε λοιπον επειδη δυο ευθειες ειναι οι ΚΛ ΛΘ εξωτερικα της ΛΜ που πηραμε,ο λογος τοτε
της ΚΛ προς ΛΘ συνισταται και απ'το λογο της ΚΛ προς ΛΜ και απ'το λογο της ΛΜ προς ΛΘ.
αλλ'ο μεν λογος της ΚΛ προς ΛΜ ο ιδιος ειναι με τον λογο της ΚΕ προς ΕΓ επειδη παραλληλη
ειναι παλι η ΕΔ με την ΓΜ.
ο δε της ΛΜ προς ΛΘ λογος ο ιδιος ειναι με τον λογο της ΓΔ προς ΔΘ επειδη ισογωνια ειναι τα
τριγωνα ΔΘΛ ΓΜΘ.
τοτε ο λογος της ΚΛ προς ΛΘ ο ιδιος ειναι με τον συνισταμενο και απ' το λογο της ΚΕ προς ΕΓ,
τουτο ειναι, του λογου της ΔΘ προς ΔΓ,και του λογου της ΓΔ προς την ΔΘ,που ισοτητα κανει τον
λογο.και ο λογος της ΚΛ τοτε προς την ΛΘ λογος ισοτητας ειναι,ιση τοτε η ΚΛ με την Λθ
.
.
ε'. Το λοιπόν των υπερτεθεντων. εστω παράλληλος η ΑΒ τη ΓΔ,και ώς ή ΑΖ προς ΖΒ, ή ΓΘ προς
ΘΔ,και επεζεύχθωσαν αι ΑΓ BΔ τεμνουσαι άλλήλας κατα το Ε σημειον οτι ή διά των Ζ Ε Θ
ευθεια εστιν
Eι γάρ μή,εστω ή διά των Ζ Ε Η . επει ουν εστιν ώς ή ΑΖ προς ΓΗ , ουτως ή ΖΕ προς ΕΗ,
ώς δε ή ΖΕ προς ΕΗ,ουτως η ΖΒ προς HΔ,ώς αρα ή ΑΖ προς ΓΗ,ουτως ή ΖΒ προς ΗΔ,και
εναλλάξ ώς ή ΑΖ προς ΖΒ ,τουτέστιν ώς η ΓΘ προς ΘΔ,ουτως ή ΓΗ προς HΔ , οπερ
αδύνατον. η αρα διά των Ζ Ε Θ σημείων ευθειά εατιν.
ε'. Το υπολοιπο των πιο πανω .εστω η ΑΒ παραλληλος στην ΓΔ,και ως η ΑΖ προς ΖΒ,η ΓΘ
προς ΘΔ,κι ας συνδεθουν οι ΑΓ ΒΔ που τεμνει η μια την αλλη κατα το σημειο Ε τοτε
η γραμμη που διερχεται απ'τα σημεια Ζ Ε Θ ευθεια ειναι
Αποδειξη:
εστω η ευθεια που διερχεται απο τα σημεια Ζ Ε Η,
επειδη λοιπον ειναι οπως η ΑΖ προς ΓΗ, το ιδιο η ΖΕ προς ΕΗ,
οπως η ΖΕ προς ΕΗ,το ιδιο η ΖΒ προς ΗΔ,
οπως τοτε η ΑΖ προς ΓΗ,το ιδιο η ΖΒ προς ΗΔ,
και εναλλαξ οπως η ΑΖ προς ΖΒ,
κατα συνεπεια οπως η ΓΘ προς ΘΔ,το ιδιο η ΓΗ προς ΗΔ,
το οποιο ειναι αδυνατον,
τοτε η γραμμη που διερχεται απο τα σημεια Ζ Ε Θ ειναι ευθεια
.
ΠΑΠΠΟΥ ΣΥΝΑΓΩΓΗΣ ΒΙΒΛΙΟ VIΙΙ,ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ γ',δ',ε'
translation μεταφραση αποδειξη χ.ν.κουβελης c.n.couvelis
γ'.Εστω τριγωνο ΑΒΓ και οι πλευρες του κατα τον ιδιο λογο ας τμηθουν στα σημεια Η Θ Κ,
ωστε ειναι καθως η ΑΗ προς ΗΒ,η ΒΘ προς ΘΓ και η ΓΚ προς ΚΑ,και ας συνδεθουν οι ΗΘ ΘΚ
ΚΗ,τοτε το τριγωνο ΑΒΓ και το ΗΘΚ το ιδιο κεντρο βαρους εχουν
Αποδειξη:
ΑΒΓ τριγωνο,Η,Θ,Γ ανηκουν στις ΑΒ,ΒΓ,ΓΑ ,ωστε :ΑΗ/ΗΒ = ΒΘ/ΘΓ =ΓΚ /ΚΑ [1]
ν'αποδειχθει οτι τα τριγωνα ΑΒΓ ΗΘΚ εχουν το ιδιο κεντρο βαρους
χαραζουμε τις ΑΔ,ΒΕ ,διαμεσους του ΑΒΓ,το σημειο τομης τους Ζ ειναι το κεντρο βαρους του
τριγωνου ΑΒΓ
τοτε ΑΖ=2ΖΔ, ΒΖ=2ΖΕ ,ΑΒ=2ΔΕ,ΑΒ=2ΔΓ, ΑΓ=2ΕΓ επομενως ισογωνια τα τριγωνα ΑΖΒ,ΔΖΕ
και ΑΒΓ,ΔΕΓ.
θετουμε:ΒΘ/ΘΓ= ΒΘ/ΔΘ . ΔΘ/ΘΓ [2]
απο την υποθεση [1] εχουμε:ΒΘ/ΘΓ = ΓΚ/ΚΑ
τοτε συνεπαγεται:=> ΒΘ +ΘΓ / ΘΓ = ΓΚ+ΚΑ / ΚΑ => ΒΓ/ΓΘ = ΓΑ/ΑΚ => ΔΓ/ΓΘ = ΕΑ/ΑΚ =>
ΔΓ/ ΔΓ-ΓΘ = ΕΑ/ ΕΑ-ΑΚ => ΔΓ/ΔΘ = ΕΑ/ΕΚ , ΔΓ=ΒΔ , ΕΑ=ΓΕ => ΒΔ/ΔΘ = ΓΕ/ΕΚ =>
ΒΔ+ΔΘ / ΔΘ = ΓΕ+ΕΚ / ΕΚ => ΒΘ/ΔΘ = ΓΚ/ΕΚ και τοτε αντικαθιστωντας η [2] γινεται :
ΒΘ/ΘΓ = ΓΚ/ΕΚ . ΔΘ/ΘΓ
κι εχοντας απο την υποθεση [1]: ΒΘ/ΘΓ = ΑΗ/ΗΒ προκυπτει:ΑΗ/ΗΒ = ΓΚ/ΚΕ . ΔΘ/ΘΓ [3]
.
.
δ'.Το δε παραπανω τωρα θ'αποδειχθει.ας ειναι λοιπον οπως η ΓΔ προς Δθ,η ΓΕ προς ΕΚ,
κι ας συνδεθουν οι ΔΕ ΘΚ που τεμνονται η μια με την αλλη κατα το Λ ,τοτε ιση ειναι η ΘΛ
με την ΚΛ,ο δε λογος της ΔΛ προς ΛΕ συνισταται και του λογου της ΔΘ προς ΘΓ και του
λογου της ΓΚ προς ΚΕ.
χαραζουμε απο το Γ παραλληλο ευθεια στην ΚΘ ,που τεμνεται εξωτερικα με την ΔΕ στο Ζ,
την ΓΖ.
ΓΖ//ΚΘ => ισογωνια τα τριγωνα ΚΕΛ,ΓΕΖ και ΔΛΘ,ΔΖΓ
τοτε συνεπαγεται:=> ΔΛ/ΛΖ = ΔΘ/ΘΓ
και ΖΕ/ΕΛ = ΓΕ/ΕΚ => ΖΕ+ΕΛ / ΕΛ = ΓΕ+ΕΚ /ΕΚ => ΛΖ/ΕΛ = ΓΚ/ΕΚ ,
αντικαθιστωντας στην [4] εχουμε:ΔΛ/ΛΕ = ΔΘ/ΘΓ + ΓΚ/ΕΚ
και συγκρινοντας την με την [3] προκυπτει:ΑΗ/ΗΒ = ΔΛ/ΛΕ [α]
χαραζουμε απο το Γ παραλληλο ευθεια στην ΔΕ ,που τεμνεται εξωτερικα με την ΚΘ στο Μ.
τη ΓΖ,
θετουμε:ΚΛ/ΛΘ = ΚΛ/ΛΜ . ΛΜ/ΛΘ [5]
επειδη:ΔΖ//ΓΜ => ισογωνια τα τριγωνα ΔΘΛ,ΓΜΘ,
τοτε συνεπαγεται:=> ΘΜ/ΛΘ = ΘΓ/ΔΘ => ΘΜ+ΛΘ / ΛΘ = ΘΓ+ΔΘ / ΔΘ => ΛΜ/ ΛΘ = ΓΔ/ΔΘ
αντικαθιστωντας στην [5] εχουμε: ΚΛ/ΛΘ = ΚΕ/ΕΓ . ΓΔ/ΔΘ [6],
απο την υποθεση [1] ισχυει:ΒΘ/ΘΓ = ΓΚ/ΚΑ
τοτε συνεπαγεται:=> ΒΘ+ΘΓ / ΘΓ = ΓΚ+ΚΑ / ΚΑ => ΒΓ/ΘΓ = ΑΓ/ΚΑ => ΔΓ/ΘΓ = ΕΓ/ΚΑ =>
ΔΓ-ΘΓ / ΔΓ = ΕΓ-ΚΑ / ΕΓ => ΘΔ/ΔΓ = ΚΕ/ΕΓ
αντικαθιστωντας στην [6] προκυπτει: ΚΛ/ΛΘ = ΘΔ/ΔΓ . ΓΔ/ΘΔ = > ΚΛ/ΛΘ = 1 => ΚΛ = ΛΘ
τοτε το Λ ειναι μεσο του ΘΚ,
ε'. Το υπολοιπο των παραπανω .εστω η ΑΒ παραλληλος στην ΓΔ,και ως η ΑΖ προς ΖΒ,η ΓΘ
προς ΘΔ,κι ας συνδεθουν οι ΑΓ ΒΔ που τεμνει η μια την αλλη κατα το σημειο Ε τοτε
η γραμμη που διερχεται απ'τα σημεια Ζ Ε Θ ευθεια ειναι
Αποδειξη:
εστω οτι γραμμη Ζ Ε Θ δεν ειναι ευθεια,
τοτε προεκτεινω την ευθεια ΖΕ η οποια τεμνει την ΓΔ στο Η,
τοτε στις παραλληλες ευθειες ΑΒ,ΓΔ με τεμνουσες τις ΑΕΓ,ΖΕΗ,ΒΕΔ εχουμε
ΑΖ / ΖΒ = ΓΗ/ΗΔ
και απο τη υποθεση:ΑΖ/ΖΒ= ΓΘ/ΘΔ
τοτε συνεπαγεται: ΓΗ/ΗΔ = ΓΘ/ΘΔ => ΓΗ / ΓΗ+ΗΔ = ΓΘ / ΓΘ+ΘΔ =>
ΓΗ/ΓΔ = ΓΘ \ ΓΔ => ΓΗ = ΓΘ ατοπο αφου τα σημεια Η,Θ ειναι διαφορετικα,
επομενως ταυτιζονται,και η γραμμη Ζ Ε Θ ειναι ευθεια
Κανουμε εφαρμογη αυτου του θεωρηματος:
ΑΒ//ΔΕ,με τεμνουσες τις ΑΔ,ΒΕ που τεμνονται στο σημειο Ζ,τα σημεια Η,Λ στις ΑΒ,ΔΕ,
οπου ισχυει: ΑΗ/ΗΒ = ΔΛ/ΛΕ [απο θεωρημα δ' σχεση [α] ]
τοτε η γραμμη Η Ζ Λ ειναι ευθεια
κι επειδη ΚΛ=ΛΘ,η ΗΖΛ ειναι διαμεσος του τριγωνου ΗΘΚ,
στις παραλληλες ΑΒ,ΔΕ ισχυει:ΒΖ/ΖΕ = ΗΖ/ΖΛ ,γνωριζουμε πως ΒΖ=2ΖΕ,τοτε ΗΖ=2ΖΛ,
επομενως το Ζ ειναι κεντρο βαρους του τριγωνου ΗΘΚ οπως ειναι και του τριγωνου ΑΒΓ
.
.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου