LITTERATURE-ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΑ -ΤΟ ΔΗΛΙΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ-Ο Διπλασιασμος του Κυβου- Οι Λυσεις του Αρχυτα τού Ταραντινου,του Πλατωνα και του Μεναιχμου- ΜΕΙΔΗΣ ΑΓΕΩΜΕΤΡΗΤΟΣ ΕΙΣΙΤΩ -κειμενα και μεταφραση translation χ.ν.κουβελης c.n.couvelis- ΚΕΙΜΕΝΑ-TEXTS-Χ.Ν.Κουβελης[C.N.Couvelis

.
.
LITTERATURE-ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΑ
-ΤΟ ΔΗΛΙΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ-Ο Διπλασιασμος του Κυβου-
Οι Λυσεις του Αρχυτα τού Ταραντινου,του Πλατωνα και του Μεναιχμου-
ΜΕΙΔΗΣ ΑΓΕΩΜΕΤΡΗΤΟΣ ΕΙΣΙΤΩ
-κειμενα και μεταφραση translation χ.ν.κουβελης c.n.couvelis-

ΚΕΙΜΕΝΑ-TEXTS-Χ.Ν.Κουβελης[C.N.Couvelis
.
.

ΤΟ ΔΗΛΙΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ-Ο Διπλασιασμος του Κυβου-Οι Λυσεις του Αρχυτα τού Ταραντινου,
του Πλατωνα και του Μεναιχμου-
ΜΕΙΔΗΣ ΑΓΕΩΜΕΤΡΗΤΟΣ ΕΙΣΙΤΩ
-κειμενα και μεταφραση translation χ.ν.κουβελης c.n.couvelis

ΜΕΙΔΗΣ ΑΓΕΩΜΕΤΡΗΤΟΣ ΕΙΣΙΤΩ
[η επιγραφη στην εισοδο της Ακαδημιας του Πλατωνα]

[1.20.3] οὕτως ἀταλαίπωρος τοῖς πολλοῖς ἡ ζήτησις τῆς ἀληθείας, καὶ ἐπὶ τὰ ἑτοῖμα μᾶλλον τρέπονται.
Θουκυδιδης Ιστορια Βιβλιο Α'

ο Θεωνας ο Σμυρναιος ο Πλατωνικος [70 - 135 μ.Χ] Ελληνας μαθηματικος και φιλοσοφος, σε αποσπασμα απο τον μη σωζομενο διαλογο του Πλατωνικος αναφερει πως το 430 π.Χ
επεσε λιμος στη Δηλο,οπως και στην Αθηνα στο τελος του πρωτου  ετους του Πελοπον-
νησιακου Πολεμου,[ Θουκυδιδου Ιστορια,Βιβλιο Β' [47.3] καὶ ὄντων αὐτῶν οὐ πολλάς πω ἡμέρας ἐν τῇ Ἀττικῇ ἡ νόσος πρῶτον ἤρξατο γενέσθαι τοῖς Ἀθηναίοις  ]και ο χρησμος που
τους δοθηκε ελεγε  να διπλασιασουν σε ογκο τον κυβικο ναο του Απολλωνα διατηρωντας το ομως σχημα του,κι αυτοι διπλασιαζοντας τις πλευρες του κατεληξαν σε οκταπλασιο
ογκο,αδυνατωντας να λυσουν το προβλημα του Διπλασιασμου του Κυβου απευθυνθηκαν
για βοηθεια στον Πλατωνα ο οποιος τους ειπε πως αλλο ηταν το νοημα του χρησμου,να
ασχοληθουν με τη γεωμετρια  που τοσο την εχουν αμελησει,ετσι το προβλημα του
Διπλασιασμου του Κυβου λεγεται και Δηλιο Προβλημα
.
Πλούταρχος[45-120 μ.Χ],Ηθικά,Περί του Σωκράτους δαιμονίου
[διηγειται ο Σιμμιας απο τη Θηβα]
καὶ μᾶλλον ὁπηνίκα κομιζομένοις ἡμῖν ἀπ´ Αἰγύπτου περὶ Καρίαν Δηλίων τινὲς ἀπήντησαν δεόμενοι Πλάτωνος ὡς γεωμετρικοῦ λῦσαι χρησμὸν αὐτοῖς ἄτοπον ὑπὸ τοῦ θεοῦ προβεβλημένον. ἦν δ´ ὁ χρησμὸς Δηλίοις καὶ τοῖς ἄλλοις Ἕλλησι παῦλαν τῶν παρόντων κακῶν ἔσεσθαι διπλασιάσασι τὸν ἐν Δήλῳ βωμόν. οὔτε δὲ τὴν διάνοιαν ἐκεῖνοι συμβάλλειν δυνάμενοι καὶ περὶ τὴν τοῦ βωμοῦ κατασκευὴν γελοῖα πάσχοντες (ἑκάστης γὰρ τῶν τεσσάρων πλευρῶν διπλασιαζομένης ἔλαθον τῇ αὐξήσει τόπον στερεὸν ὀκταπλάσιον ἀπεργασάμενοι δι´ ἀπειρίαν ἀναλογίας ἣν τὸ μήκει διπλάσιον παρέχεται) Πλάτωνα τῆς ἀπορίας ἐπεκαλοῦντο βοηθόν. ὁ δὲ τοῦ Αἰγυπτίου μνησθεὶς προσπαίζειν ἔφη τὸν θεὸν Ἕλλησιν ὀλιγωροῦσι παιδείας οἷον ἐφυβρίζοντα τὴν ἀμαθίαν ἡμῶν καὶ κελεύοντα γεωμετρίας ἅπτεσθαι μὴ παρέργως· οὐ γάρ τοι φαύλης οὐδ´ ἀμβλὺ διανοίας ὁρώσης ἄκρως δὲ τὰς γραμμὰς ἠσκημένης ἔργον εἶναι (καὶ) δυεῖν μέσων ἀνάλογον λῆψιν, ᾗ μόνῃ διπλασιάζεται σχῆμα κυβικοῦ σώματος ἐκ πάσης ὁμοίως αὐξόμενον διαστάσεως. τοῦτο μὲν οὖν Εὔδοξον αὐτοῖς τὸν Κνίδιον ἢ τὸν Κυζικηνὸν Ἑλίκωνα συντελέσειν· μὴ τοῦτο δ´ οἴεσθαι χρῆναι ποθεῖν τὸν θεὸν ἀλλὰ προστάσσειν Ἕλλησι πᾶσι πολέμου καὶ κακῶν μεθεμένους Μούσαις ὁμιλεῖν καὶ διὰ λόγων καὶ μαθημάτων τὰ πάθη καταπραΰνοντας ἀβλαβῶς καὶ ὠφελίμως ἀλλήλοις συμφέρεσθαι.

μεταφραση translation χ.ν.κουβελης c.n.couvelis
[διηγειται ο Σιμμιας απο τη Θηβα]
 κι οταν καποια φορα επιστρεφαμε απο την Αιγυπτο στη Καρια μας συναντησαν καποιοι
Δηλιοι οι οποιοι παρακαλεσαν τον Πλατωνα ως γεωμετρη να λυσει τον παραξενο χρησμο
που σ'αυτους ειχε δοθει απ'τον θεο.ο χρησμος ελεγε πως στους Δηλιους και στους αλλους
Ελληνες παυση των παροντων κακων θα γινει αν διπλασιασουν τον βωμο στη Δηλο.
εκεινοι ουτε το νοημα μπορεσαν να καταλαβουν και στη κατασκευη του βωμου
παραδοξα τους συνεβηκαν[γιατι με καθε μια των πλευρων διπλασιαζομενη λαθευαν
αφου μ'αυτη την αυξηση στερεο με ογκο οκταπλασιο δημιουργουσαν απο την αγνοια
με ποια αναλογια στο μηκος διπλασιο παραγεται].και τον Πλατωνα για βοηθο της αποριας
προσκαλουσαν,αυτος ενθυμηθεις τον Αιγυπτιο ειπε πως περιπαιζει ο θεος τους Ελληνες
για την παραμεληση της παιδειας,κοροιδευοντας την αμαθια μας και προσταζοντας με τη
γεωμετρια να καταπιαστουν σοβαρα,γιατι ουτε αδιαφορου ουτε νωθρου νου αλλα
ακρως ασκημενου στις γραμμες εργο ειναι η αντιληψη των δυο μεσων αναλογων.
αυτο λοιπον σ'αυτους ο Ευδοξος απο τη Κνιδο η' ο Ελικωνας απο τη Κυζικο θα το
περατωσει.ομως δεν πρεπει να νομιζουν πως μονο αυτο επιθυμει ο θεος αλλα προστα-
ζει ολους τους Ελληνες τον πολεμο και τις κακιες αφου παρατησουν με τις Μουσες να
συναναστρεφονται και με λογικη και μαθηματα τα παθη καταπραυνοντας χωρις βλαβη
και με ωφελεια ο ενας με τον αλλο να συμπεριφερεται
.
Αρχυτας ο Ταραντινος[428 π.Χ-347π.Χ]-Πλατωνας[427π.Χ-347π.Χ]
Συναντηση Πλατωνα και Αρχυτα ατον Ταραντα της Μεγαλης Ελλαδας,Κατω Ιταλια,
το 366 π.Χ

καλοκαιρινη ζεστη μερα,στο σπιτι του Αρχυτα,μετα το φαγητο,ο Πλατωνας του εδειξε τις
σημειωσεις της Πολιτειας του,'πρεπει να κυβερνουν οι φιλοσοφοι η΄οι κυβερνητες να
γινουν φιλοσοφοι',ο Αρχυτας γελασε,'τωρα με τον Διονυσιο τον Β' Νεοτερο στις
Συρακουσες  νομιζεις οτι ειναι πιο ευνοικα τα πραγματα για την εφαρμογη της θεωριας
σου στον Διωνα;΄'μαλλον,το ελπιζω' απαντησε αισιοδοξα ο Πλατωνας,'μαλλον η κυβικη
ριζα του δυο δεν ειναι κατασκευασιμη με τη χρηση κανονα και διαβητη' ειπε ο Ταραντινος
Πυθαγορειος,'θελεις να πεις πως δεν λυνεται το προβλημα του διπλασιασμου του κυβου;'
αντεδρασε ο  Αθηναιος Φιλοσοφος,'Αδηλο το Δηλιο Προβλημα,Αλυτο'απαντησε ο Αρχυτας,
' εγω,παντως,κατασκευασα,για να κυριολεκτισω,μια λυση  του' χαμογελασε και παιρνοντας
ενα παπυρο εδειξε τη λυση,
'Μεγαλοφυης'άναφωνησε ο Πλατωνας 'αλλα εντελως μηχανικη',
'φαινεται'σχολιασε ο Αρχυτας 'πως τα αισθητα μας εναντιωνονται εντελως,ειναι  πληρη
μαθηματικων',
καθησαν στο μπαλκονι να δροσισθουν,θεα στη θαλασσα,κατω η πλακοστρωτη πλατεια,
ειδαν μια παρεα παιδιων,το πιο μεγαλυτερο πετουσε ενα περιστερι,τα αλλα ετρεχαν πισω του,
'η περιφημη ιπταμενη περιστερα'αναφωνησε ο Πλατωνας ΄Τι Θαυμα!',
'απλα μια αεριοθουμενη μηχανη ειναι'  απαντησε ο εφευρετης,'ισως καποτε με μια
μεγαλυτερη πετομηχανη να μεταφερθουν σε μεγαλες αποστασεις δια μεσου του αερα
ανθρωποι και προιοντα',
'τοτε,ομως,θα κυριαρχισει πληρως ο υλικος κοσμος'αντεδρασε ο Πλατωνας,
ενα μικρο παιδι εκανε δυνατο θορυβο μ'ενα παιχνιδι στα χερια του,'αυτο ειναι η Αρχυτου
πλαταγη' ειπε γελωντας ο Πυθαγορειος 'γιατι οπως λεει κι ο Σταγειριτης Αριστοτελης:
ού γάρ δύναται τό νέον ήσυχάζειν',
'κι αντι να τα σπανε ολα στο σπιτι,σπανε στη πλατεια τ'αυτια μας' γελασε ο Πλατωνας
.
Ο Ευτοκιος ο Ασκαλωνιτης[6ος αι μ.Χ]και το Δηλιο Προβλημα του Διπλασιασμου του Κυβου:
στα σχολια του για το εργο του Αρχιμηδη[287-212 π.Χ] 'Περι σφαιρας και κυλινδρου'
περιγραφεται η λυση του Αρχυτα στο διπλασιασμο του κυβου απο στοιχεια του Ευδημου
[350-290 π.Χ] μαθητου του Αριστοτελη,
επισης αναφερει και επιστολη[αμφιλεγομενης γνησιοτητας] του Ερατοσθενη Κυρηναιου
[276-194 π.Χ] Ελληνα μαθηματικου,αστρονομου,γεωγραφου προς τον Πτολεμαιο Γ'
Ευεργετη [246-222 π.Χ]:
λενε πως καποιος αρχαιος τραγωδος ποιητης εισηγαγε τον Μινωα στη σκηνη,
αυτος ειχε διαταξει κενοταφιο για τον πεθαμενο γιο του Γλαυκο,οταν ομως εμαθε
οτι ηταν πολυ μικρο για βασιλικο μνημειο,100 ποδια καθε διασταση του,ειπε:
μικρος ο χωρος του βασιλικου ταφου,γρηγορα να διπλασιασθει,αφου καθε
πλευρα του γινει διπλασια,χωρις ομως αλλαγη του ωραιου σχηματος

[Κι εδω ειναι το Προβλημα:γιατι αν διπλασιασθει το μηκος α των πλευρων του κυβου
σε 2α τοτε ο ογκος απο α.α.α γινεται 2α.2α.2α=8[α.α.α] οκταπλασιος]
.
ΜΕΙΔΗΣ ΑΓΕΩΜΕΤΡΗΤΟΣ ΕΙΣΙΤΩ
ΤΟ ΔΗΛΙΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ,ο Διπλασιασμος του Κυβου-Αρχυτας Ταραντινος

Να κατασκευασθει κυβος διπλασιου ογκου ενος δοσμενου κυβου με κανονα και διαβητη
Ενα απο τα τρια αλυτα προβληματα της Αρχαιοτητας:
Διπλασιασμος του Κυβου,Τριχοτομηση Γωνιας,Τετραγωνισμος Κυκλου
[και τα τρια προβλημα ειναι αδυνατα με μονο τη χρηση κανονα και διαβητη]
Ολες οι λυσεις εγιναν με μηχανικο τροπο προς απογοητευση του Πλατωνα

Αυτη ειναι η λυση του πυθαγορειου φιλοσοφου και μαθηματικου,φιλου του Πλατωνα,
Αρχυτα του Ταραντινου[428 π.Χ-347π.Χ]στα μεσα του 4ου αιωνα,ο οποιος χρησιμοποιησε
[ειχε στοχο να κατασκευασει ]την αναλογια,των μεσων αναλογων σε δυο τμηματα,του
 Ιπποκρατη του Χιου [470 π.Χ-400 π.Χ]

ΑΝΑΛΟΓΙΑ ΙΠΠΟΚΡΑΤΗ ΤΟΥ ΧΙΟΥ:
αν εχουμε κυβο ακμης α με ογκο α.α.α να κατασκευασθει κυβος διπλασιου ογκου
2[α.α.α].
εστω η ακμη χ του ζητουμενου κυβου
τοτε,ο Ιπποκρατης ο Χιος [470 π.Χ-400 π.Χ] σκεφτηκε:
χχχ=2ααα
αν παρεμβαλουμε ενα ορθογωνιο με ακμες χ,ψ,α ισου ογκου:χχχ=χψα=2ααα
τοτε:χχχ=χψα και χψα=2ααα  η'  χχ=ψα και χψ=2αα  η' α/χ=χ/ψ και α/χ=ψ/2α
επομενως:α/χ=χ/ψ=ψ/2α -η αναλογια του Ιπποκρατη του Χιου

Η ΛΥΣΗ ΤΟΥ ΔΙΠΛΑΣΙΑΜΟΥ ΤΟΥ ΚΥΒΟΥ ΤΟΥ ΑΡΧΥΤΑ ΤΟΥ ΤΑΡΑΝΤΙΝΟΥ[στα
μεσα του 4ου αι. π.Χ]
αυτη που εδειξε στον Πλατωνα

ας ειναι α η ακμη του κυβου και ζηταμε την ακμη του διπλασιου κυβου.
γραφουμε κυκλο με διαμετρο ΑΒ=2α,και σ'αυτον τη χορδη ΑΓ=α,
στο σημειο Β φερνουμε την εφαπτομενη η οποια τεμνεται με την ΑΓ στο σημειο Δ,
και τη χορδη ΓΕΖ παραλληλη στην ΒΔ,
κατασκευαζουμε με βαση το ημικυκλιο ΑΓΒ ορθο ημικυλινδρο και με βαση τη διαμετρο
ΑΒ ορθο ημικυκλιο,καθετα στο επιπεδο του κυκλου ΑΓΒΖ,
αυτο το ημικυκλιο περιστρεφομενο απο το Β προς το μερος του Γ,παραμενοντας καθετο
στο επιπεδο του κυκλου ΑΓΒΖ περι το Α τεμνει τον ημικυλινδρικη επιφανεια σε μια γραμμη  γ,
επισης περιστρεφοντας το τριγωνο ΑΔΒ  περι την ΑΒ  θα κατασκευασθει κωνικη επιφανεια
και ταυτοχρονα το Γ θα κινηθει σε ημικυκλιο πανω σ'αυτη,
η δε κωνικη επιφανεια τεμνει την γραμμη γ στο σημειο Ι,
το περιστρεφομενο τριγωνο ΑΔΒ εχει τη θεση ΑΚΒ,και το ΑΙΚ τεμνει το ημικυκλιο
στο οποιο κινειται το Γ στο σημειο Λ,το δε περιστρεφομενο ημικυκλιο περι το Α ειναι
στη θεση ΑΙΑ',
απο το σημειο Ι φερνουμε καθετο στο επιπεδο του κυκλου ΑΓΒΖ,η οποια τεμνει την
περιφερεια του κυκλου στο σημειο Μ,την ΙΜ η οποια ανηκει στον ορθο ημικυλινδρο
η ΑΜ τεμνει την ΓΖ στο Ν,
η ΛΝ ως τομη των καθετων ημικυκλιων ΑΙΑ',ΓΛΖ στο επιπεδο του κυκλου ΑΓΒΖ ειναι καθετη σ'αυτο κι επομενως στην ΓΖ,
τοτε στο τριγωνο ΓΛΖ ειναι υψος και εχουμε: ΛΝ.ΛΝ=ΝΓ.ΝΖ
στον δε κυκλο ΑΓΒΖ απο τη δυναμη του Ν εχουμε:ΝΓ.ΝΖ=ΝΑ.ΝΜ
συνεπως ΛΝ.ΛΝ=ΝΑ.ΝΜ
και αφου τα τριγωνα ΑΝΛ,ΛΝΜ ειναι ορθογωνια θα ειναι και ομοια,τοτε η γωνια
ΑΛΜ ειναι ορθη,απο το αθροισμα των αντιστοιχων ισων γωνιων των ομοιων τριγωνων,
και το τριγωνο ΑΛΜ ορθογωνιο
τωρα τα ορθογωνια τριγωνα ΑΛΜ,ΑΜΙ με κοινη τη γωνια ΛΑΜ ειναι ομοια και εχουμε:
ΑΛ/ΑΜ=ΑΜ/ΑΙ
επισης απο τα ορθογωνια τριγωνα  ΑΜΙ,ΑΙΑ΄ με κοινη τη γωνια ΊΑΑ' ειναι ομοια εχουμε:
ΑΜ/ΑΙ=ΑΙ/ΑΑ'
επομενως :ΑΛ/ΑΜ=ΑΜ/ΑΙ=ΑΙ/ΑΑ'
εχουμε ΑΑ'=ΑΒ=2α, απο την κωνικη επιφανεια ΑΛ=ΑΓ=α
κι αν θεσουμε ΑΜ=χ ,ΑΙ=ψ
τοτε προκυπτει η αναλογια,δυο  μεσων αναλογων σε δυο τμηματα, του Ιπποκρατη του Χιου
α/χ=χ/ψ=ψ/2α
επομενως το τμημα ΑΜ ειναι η ακμη του κυβου που εχει διπλασιο ογκο απο τον κυβο με ακμη α
.
[ΣΥΝΕΧΕΙΑ,της συναντησης του Πλατωνα και του Αρχυτα στο Ταραντα το 366 π.Χ]

Ταραντας,την αλλη μερα ο Πλατωνας θα απεπλεε για τη Σικελια,τις Συρακουσες,
ο Αρχυτας τον ξεναγησε στη πολη,στη λιμνοθαλασσα,'η πολη ιδρυθηκε τον 706 π.Χ
απο τους Σπαρτιατες,η μοναδικη Σπαρτιατικη αποικια στη Μεγαλη Ελλαδα'τον πληρο-
φορησε ο Αρχυτας,'κι εγω πηγαινω στα λατομεια των Συρακουσων' σχολιασε βαρια
ο Πλατωνας,'ας ελπισουμε να μη αφανισθω εκει μεσα',περπατουσαν στον κεντρικο εμπορικο δρομο Magna Crecia,ειδαν και τα δελφινια στη θαλασσα ,΄τα δελφινια
του Ταραντα Ποσειδωνα',ειπε ο Πυθαγορειος Αρχυτας,επισκεφτηκαν το Μουσειο
και ειδε τις βασιλικες.τα περιφημα κεραμεικα αγγεια,κρατηρες,λουτροφορες ,οινοχοες,
λεκυθους με διακοσμησεις σε κοκκινο φοντο,βραδυνο φαγητο στο Ristorante Nautilus ,
Viale Virgilio 2,Spaghetti al ragù di tonno ο Πλατωνας,paccheri con funghi e salsiccia
ο Αρχυτας rosso vino,
πριν ανεβει στο καραβι για αναχωρηση ο Πλατωνας του εδωσε ενα διπλωμενο παπυρο:
'Εδω μεσα Αρχυτα' του ειπε,'ειναι η λυση μου στο Διπλασιασμο του κυβου'χαμογελασε,
'φυσικα εντελως μηχανικη,ομως ας βρει καποιος αλλος το οργανο του  Κυβιστη του
 Πλατωνα,ας το πουμε ετσι,που χρειαζεται για την ολοκληρωση της ,ισως εσυ φιλε'
επιστρεφοντας στο σπιτι ο Αρχυτας ξεδιπλωσε τον παπυρο και ειδε τη λυση:

ΜΕΙΔΗΣ ΑΓΕΩΜΕΤΡΗΤΟΣ ΕΙΣΙΤΩ
ΤΟ ΔΗΛΙΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ,ο Διπλασιασμος του Κυβου Πλατωνας
σχημα

ας ειναι α η ακμη του κυβου και ζηταμε την ακμη του διπλασιου κυβου
γραφουμε δυο καθετες ευθειες α,β,που τεμνονται στο Ο
πανω στην ημιευθεια Οα παιρνουμε σημειο Α ωστε ΟΑ=α,
και στη ημιευθεια Οβ σημειο Β ωστε ΟΒ=2α
Απο τα σημεια Α,Β φερνουμε παραλληλους Αχ ,Βψ που τεμνουν αντιστοιχα την Οα στο Γ,
και την Οβ στο Δ,ετσι ωστε η ΓΔ να ειναι καθετη σ'αυτες,
τοτε στο ορθογωνιο τριγωνο ΑΓΔ η ΓΟ ειναι υψος και εχουμε:ΓΟ.ΓΟ=ΟΑ.ΟΔ
επισης στο ορθογωνιο τριγωνο ΒΔΓ η ΔΟ ειναι υψος και εχουμε:ΔΟ.ΔΟ=ΟΓ.ΟΒ
θετωντας ΟΓ=χ,ΟΔ=ψ
προκυπτουν οι σχεσεις:χ.χ=α.ψ η' α/χ = χ/ψ
και ψ.ψ=χ.2α η' χ/ψ = ψ/2α
τοτε: α/χ = χ/ψ = ψ/2α -η αναλογια του Ιπποκρατη του Χιου
επομενως το τμημα ΟΓ ειναι η ακμη του κυβου που εχει διπλασιο ογκο απο τον κυβο με ακμη α
.
αργοτερα εμαθε για την εκδιωξη του Πλατωνα απο τις Συρακουσες σαν persona nona grata
και τις περιπετειες του μεχρι να φθασει στην Ακαδημια του στην Αθηνα,
σε μια Επιστολη του εγραψε πως βρηκε τον Κυβιστη του,τον σχεδιασε και του περιεγραψε την εφαρμογη του:ενα μεταλλικο Π ,οπου ολισθαινει καθετα μια κινητη ραβδος,
ο Κυβιστης του Πλατωνα

.σε Επιστολη απαντηση ο Πλατωνας του εστειλε την αποδειξη του συνεργατη του στην Ακαδημια Μεναιχμου[375-300]

ΤΟ ΔΗΛΙΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ,ο Διπλασιασμος του Κυβου Μέναιχμος
η λυση δινεται ως τομη δυο παραβολων,κωνικων τομων
η αναλογια του Ιπποκρατη του Χιου,με α=1:
1/χ = χ/ψ = ψ/2
τοτε:1/χ = χ/ψ η' ψ=χ.χ -παραβολη
και   χ/ψ = ψ/2 η' ψ.ψ=2χ-παραβολη
επομενως η τομη τους ειναι η λυση του προβληματος του Διπλασιασμου του Κυβου
σχημα:

μαλλον,οπως φαινεται,φιλε Αρχυτα,μονο με μηχανικα,κατωτερα,αισθητα,μεσα μπορει να λυθει το Προβλημα του Διπλασιασμου του Κυβου και οχι με τα ανωτερα,τα ιδεωδη,κανονα
και διαβητη
.
.
ο Ευτοκιος ο Ασκαλωνιτης [6ος αι. μ.Χ] μας λεει  στα σχολια του εργου του Αρχιμηδη
'Περι σφαιρας και κυλινδρου' για 12 λυσεις του Διπλασιασμου του Κυβου
.
Διαφορες Αποδειξεις:
Αρχύτας ο Ταραντίνος (428-347 π.Χ) µε ημικυλίνδρους 
Πλάτων (427-347 π.Χ) µε παρεμβολή δύο μέσων αναλόγων
Εύδοξος ο Κνίδιος (407-354 π.Χ) µε την "καμπύλη του Ευδόξου"
Μέναιχμος[375-300] με παραβολες
Ερατοσθένης ο Κυρηναιου[276-194 π.Χ ]με τον μεσολάβο
Απολλώνιος (~270-190 π.Χ) µε κύκλο και ισοσκελή υπερβολή
Αρχιµήδης (287-212 π.Χ) µε δύο κωνικές τοµές, παραβολή και υπερβολή
Νικομήδης (~200 π.Χ) με την κογχοειδή καμπύλη
Ήρων ο Αλεξανδρεύς (Αλεξάνδρεια, πιθ. 10 μ.Χ. - Αλεξάνδρεια, πιθ. 75 μ.Χ.) µε νεύση
 Διοκλής ο Αλεξανδρεύς (περ. 240 π.Χ. - περ. 180 π.Χ.)µε την κισσοειδή καμπύλη
Πάππος ο Αλεξανδρεύς (περ. 290 - περ. 350 μ.Χ)µε νεύση.

.

.