.
.
LITTERATURE-ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΑ
ΚΕΙΜΕΝΑ-TEXTS-Χ.Ν.Κουβελης[C.N.Couvelis}
.
.
Τα Μαθηματικα μου-ΤΑ 2 ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ-και οι 3 συντρεχουσες
ευθειες-χ.ν.κουβελης
.
.
Η ΑΛΗΘΕΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ
(Αναφορα στον διαλογο Μενων του Πλατωνα)
THE TRUE OF MATHEMATICS
[Homage to Dialogos Menon of Platon]
(Διαλογος του Α. με τον Μ.(Μαθηματικο))[σ' αυτον το διαλογο σταδιακα θεμελιω-
νεται η Αναλυτικη Γεωμετρια]
.
[Θεωρημα]
Εστω το παραλληλογραμμο ΑΒΓΔ και στο εσωτερικο του[δες το σχημα] το
παραλληλογραμμο Α'Β'Γ'Δ.
Αποδειξε:οι 3 ευθειες Α'Γ-ΑΓ'-ΒΒ' συντρεχουν[διερχονται απο το ιδιο σημειο]
.
-Α.στο σχημα που κατασκευασα τα 2 παραλληλογραμμα ισχυει το θεωρημα.
Οι 3 ευθειες που εφερα συντρεχουν.
-Μ.ποσα σχηματα μπορεις να κατασκευασεις;
-Α.οσα ειναι τα σημεια στις πλευρες του παραλληλογραμμου
-Μ.δηλαδη απειρα.
-Α.συμφωνω.Απειρα.
-Μ.τοτε εσυ κατασκευασες ενα απο τα απειρα.Και σ'αυτο το απεδειξες;
-Α.φυσικα σ'αυτο το απεδειξα.
-Μ.στα απειρα δεν το απεδειξες;
-Α.μα νομιζω πως δεν διαφερει,και σ'αυτα θα ισχυε το ιδιο.Δεν θα ισχυε;
-Μ.το υποθετεις η' ειναι αληθεια;
-Α.οπως φαινεται το υποθετω πως ετσι ειναι.Αλλα ειμαι σιγουρος πως ετσι
θα ειναι.Τι λες;
-Μ.δεν θα επρεπε το θεωρημα να αληθευει σ'ολα τα σχηματα;Και επειδη ειναι
απειρα δεν θα επρεπε να κατασκευασεις απειρα σχηματα για να δεις πως ισχυει;
-Α.φυσικα.Θα κατασκευαζα απειρα σχηματα.
-Μ.τοτε ομως αν εκανες απειρα σχηματα θα χρειαζοσουν και απειρο χρονο.Ετσι
δεν ειναι;
-Α.ετσι ειναι.
-Μ.τοτε δεν θα τελειωνες ποτε.Δεν θα υπηρχε η πιθανοτητα-εστω και μηδενικη-
σε καποιο απο τα απειρα σχηματα να μην ισχυει;
-Α.βεβαια. θα υπηρχε.
-Μ.τοτε;θα αποδεικνυονταν ποτε το θεωρημα πως ειναι αληθες η' ψευδες;
-Α.νομιζω ποτε δεν θα αποδεικνυονταν αυτο.
-Μ.τοτε;
-Α.κατασκευαζομαι ενα μεγαλο αριθμο απο σχηματα κι αν αυτο ισχυει τοτε
ισχυει.Δεν συμφωνεις;
-Μ.δεν συμφωνω.Γιατι υποθετω -στατιστικα-οτι ισχυει.Η Αληθεια ειναι υπο-
θετικη η' Απολυτη;τι λες;
-Α.φυσικα Απολυτη.
-Μ.αρα η Υποθεση σου αν και φαινεται Αληθης δεν ειναι η αποδειξη του θεωρη-
ματος;
-Α.οπως φαινεται, φυσικα και ειναι.
-Μ.δεν πρεπει τοτε,με καποιον,αναντιρρητο τροπο,να αποφασισουμε για την
Αληθεια η' οχι;
-Α.φυσικα και πρεπει.Πως;
-Μ.δεν πρεπει να βρουμε ενα τροπο να το αποδειξουμε σ'ολα τα απειρα σχη-
ματα;
-Α.και βεβαια ,πρεπει.
-Μ.χωρις να χρειασθει να κατασκευασουμε απειρα σχηματα και κατα συνεπεια
και απειρος χρονος;
-.Α.φυσικα και πρεπει.
-Μ.αυτος ο τροπος να αποφασιζει για το απειρο μια για παντα σε πεπερασμενο
χρονο;.Δεν συμφωνεις.
-Α.και βεβαια συμφωνω.Σε πεπερασμενο χρονο να αποφασιζει για το απειρο.
-Μ.χωρις ιδεολογιες-πρεπει ετσι να ειναι η' να μην ειναι- χωρις εξουσια-θελω
ετσι να ειναι η' να μην ειναι-;
-Α.φυσικα.Συμφωνω.
-Μ.αυτον το τροπο ας τον ονομασουμε Μαθηματικα.Το κυριο Απολυτο Μαθημα
με το οποιο βρισκουμε την Αληθεια.
-Α.συμφωνω.Ας το ονομασουμε Μαθηματικα.
-Μ.τοτε ας βρουμε την Αληθεια του θεωρηματος μ'αυτον τον τροπο,γενικα και
οχι σε μια περιπτωση του.μερικα.
-Α.συμφωνω απολυτα.
-Μ.τοτε ας βρουμε ποιο απο τα σχηματα μας ειναι σταθερο και ποιο ειναι μεταβλη-
το.Συμφωνεις;
-Α.ναι.Ας το κανουμε.
-Μ.το πρωτο παραλληλογραμμο -ας το πουμε 'το εξωτερικο'-η' 'το εσωτερικο'
παραλληλογραμμο ειναι μεταβλητο;
-Α.φυσικα,'το εξωτερικο' ειναι σταθερο και 'το εσωτερικο' ειναι μεταβλητο.
-Μ.πολυ σωστα.Τοτε σ'αυτο ποσα σημεια του ειναι μεταβλητα και ποσα μεταβλητα;
-Α.οπως φαινεται ενα σημειο του μονο ε ιναι σταθερο και τα αλλα 3 σημεια
του ειναι μεταβλητα.
-Μ.πολυ σωστα.Δεν μπορουμε σε σχεση με κατι σταθερο να ορισουμε τα
σταθερα και μεταβλητα σημεια;
-Α.και βεβαια θα μπορουσαμε.
-Μ.επειδη τα σχηματα μας,και φυσικα τα σημεια τους,ανηκουν στο επιπεδο
δεν θα αρκουσαν δυο και μονο αριθμοι να τα ορισουν;
-Α.βεβαια 2 αριθμοι.Αφου ειμαστε στο επιπεδο,το οποιο εχει δυο διαστασεις..
-Μ.οι 2 αυτοι αριθμοι ειναι οι αποστασεις τους απο κατι σταθερο;
-Α.φυσικα.
-Μ.απο ενα σταθερο η' απο απο περισσοτερα;
-Α.απο περισσοτερα.
-Μ.αφου χρειαζονται 2 αριθμοι.αρα 2 σταθερα.
-Α.μαλλον 2 σταθερα
-Μ.δεν θα ηταν πιο καλυτερα να οριζαμε τις αποστασεις των σημειων του επι-
πεδου-και,επομενως,των παραλληλογραμμων μας- απο 2 σταθερες ευθειες
παρα απο 2 σταθερα σημεια;
-Α.ορθοτερο φαινεται.
-Μ.και δεν θα ηταν καλυτερα οι ευθειες αυτες να ηταν καθετες η μια στην αλλη
παρα οποιεδηποτε αλλες;
-Α.βεβαιοτατα.Να ειναι καθετες.
-Μ.ας ονομασουμε την μια καθετο ευθεια με το γραμμα χ και την αλλη καθετο
με το γραμμα ψ
-Α.ναι.Ας τις ονομασουμε χ και ψ
-Μ.τοτε το σημειο στο οποιο τεμνονται οι δυο καθετες ευθειες χ και ψ ας το ονο-
μασουμε με το γραμμα Ο
-Α.συμφωνω.
-Μ.τοτε καθε σημειο Μ του επιπεδου,ας το ονομασουμε ετσι,θα οριζεται απο 2
αριθμους,τις αποστασεις του αντιστοιχα απο τις δυο καθετες ευθειες χ και ψ.
-Α.φυσικα ετσι θα οριζεται.
-Μ.και το σημειο τομης των Ο,η αρχη τους,δεν θα οριζεται απο τους αριθμους
0.,0,επειδη οι αποστασεις του απο τις καθετες ευθειες χ και ψ ειναι μηδενικες;
-Α.ετσι ειναι.0,0
-Μ.εστω το σταθερο παραλληλογραμμο ΑΒΓΔ-'το εξωτερικο'.Καθε κορυφη του Α,Β,Γ,Δ
οριζεται απο 2 γνωστους αριθμους.Συμφωνεις;
-Α.φυσικα και συμφωνω.
-Μ.το μεταβλητο παραλληλογραμμο Α'Β'Γ'Δ-'το εσωτερικο'-εχει σταθερη την κο-
ρυφη Δ δηλαδη να οριζεται απο δυο σταθερους αριθμους.Οι αλλες 3,κορυφες Α',
Β',Γ'οι μεταβλητες,δεν οριζονται απο σταθερους αριθμους η' ,νομιζεις οτι οριζονται;
-Α.βεβαιοτα και δεν οριζονται.
-Μ.επειδη αυτες 3 οι κορυφες δεν ειναι σταθερα σημεια κατα συνεπεια και οι απο-
στασεις τους απο τις σταθερες καθετες ευθειες χ και ψ ειναι μη σταθερες.
-Α.βεβαιοτα.Οι δυο αποστασεις τους δεν ειναι σταθερες.
-Μ.και δεν γνωριζουμε,απο τον Ευκλειδη,πως μια ευθεια οριζεται μοναδικα απο
2 σημεια,απο τα οποια διερχεται;
-Α.φυσικα και το γνωριζουμε.
-Μ.επομενως οι μεταβλητες ευθειες ΑΓ',Α'Γ,ΒΒ' ,οι οποιες θελουμε να δειξου-
με πως συντρεχουν,εκφραζονται μεταβλητα απο τα μεταβλητα σημεια Α',Β',Γ'
-Α.ετσι ειναι.
-Μ.απο αυτες τιε μεταβλητες εκφρασεις των ΑΓ',Α'Γ,ΒΒ' μπορουμε να συνα-
γουμε πως υπαρχει ενα σημειο κοινο το οποιο ανηκει και στις 3 ευθειες.
Επομενως συντρεχουν.Οπερ εδει δειξαι.
-Α.αυτο που ζητουσαμε.
.
.
.
.
LITTERATURE-ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΑ
ΚΕΙΜΕΝΑ-TEXTS-Χ.Ν.Κουβελης[C.N.Couvelis}
.
.
Τα Μαθηματικα μου-ΤΑ 2 ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ-και οι 3 συντρεχουσες
ευθειες-χ.ν.κουβελης
.
.
Η ΑΛΗΘΕΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ
(Αναφορα στον διαλογο Μενων του Πλατωνα)
THE TRUE OF MATHEMATICS
[Homage to Dialogos Menon of Platon]
(Διαλογος του Α. με τον Μ.(Μαθηματικο))[σ' αυτον το διαλογο σταδιακα θεμελιω-
νεται η Αναλυτικη Γεωμετρια]
.
[Θεωρημα]
Εστω το παραλληλογραμμο ΑΒΓΔ και στο εσωτερικο του[δες το σχημα] το
παραλληλογραμμο Α'Β'Γ'Δ.
Αποδειξε:οι 3 ευθειες Α'Γ-ΑΓ'-ΒΒ' συντρεχουν[διερχονται απο το ιδιο σημειο]
.
-Α.στο σχημα που κατασκευασα τα 2 παραλληλογραμμα ισχυει το θεωρημα.
Οι 3 ευθειες που εφερα συντρεχουν.
-Μ.ποσα σχηματα μπορεις να κατασκευασεις;
-Α.οσα ειναι τα σημεια στις πλευρες του παραλληλογραμμου
-Μ.δηλαδη απειρα.
-Α.συμφωνω.Απειρα.
-Μ.τοτε εσυ κατασκευασες ενα απο τα απειρα.Και σ'αυτο το απεδειξες;
-Α.φυσικα σ'αυτο το απεδειξα.
-Μ.στα απειρα δεν το απεδειξες;
-Α.μα νομιζω πως δεν διαφερει,και σ'αυτα θα ισχυε το ιδιο.Δεν θα ισχυε;
-Μ.το υποθετεις η' ειναι αληθεια;
-Α.οπως φαινεται το υποθετω πως ετσι ειναι.Αλλα ειμαι σιγουρος πως ετσι
θα ειναι.Τι λες;
-Μ.δεν θα επρεπε το θεωρημα να αληθευει σ'ολα τα σχηματα;Και επειδη ειναι
απειρα δεν θα επρεπε να κατασκευασεις απειρα σχηματα για να δεις πως ισχυει;
-Α.φυσικα.Θα κατασκευαζα απειρα σχηματα.
-Μ.τοτε ομως αν εκανες απειρα σχηματα θα χρειαζοσουν και απειρο χρονο.Ετσι
δεν ειναι;
-Α.ετσι ειναι.
-Μ.τοτε δεν θα τελειωνες ποτε.Δεν θα υπηρχε η πιθανοτητα-εστω και μηδενικη-
σε καποιο απο τα απειρα σχηματα να μην ισχυει;
-Α.βεβαια. θα υπηρχε.
-Μ.τοτε;θα αποδεικνυονταν ποτε το θεωρημα πως ειναι αληθες η' ψευδες;
-Α.νομιζω ποτε δεν θα αποδεικνυονταν αυτο.
-Μ.τοτε;
-Α.κατασκευαζομαι ενα μεγαλο αριθμο απο σχηματα κι αν αυτο ισχυει τοτε
ισχυει.Δεν συμφωνεις;
-Μ.δεν συμφωνω.Γιατι υποθετω -στατιστικα-οτι ισχυει.Η Αληθεια ειναι υπο-
θετικη η' Απολυτη;τι λες;
-Α.φυσικα Απολυτη.
-Μ.αρα η Υποθεση σου αν και φαινεται Αληθης δεν ειναι η αποδειξη του θεωρη-
ματος;
-Α.οπως φαινεται, φυσικα και ειναι.
-Μ.δεν πρεπει τοτε,με καποιον,αναντιρρητο τροπο,να αποφασισουμε για την
Αληθεια η' οχι;
-Α.φυσικα και πρεπει.Πως;
-Μ.δεν πρεπει να βρουμε ενα τροπο να το αποδειξουμε σ'ολα τα απειρα σχη-
ματα;
-Α.και βεβαια ,πρεπει.
-Μ.χωρις να χρειασθει να κατασκευασουμε απειρα σχηματα και κατα συνεπεια
και απειρος χρονος;
-.Α.φυσικα και πρεπει.
-Μ.αυτος ο τροπος να αποφασιζει για το απειρο μια για παντα σε πεπερασμενο
χρονο;.Δεν συμφωνεις.
-Α.και βεβαια συμφωνω.Σε πεπερασμενο χρονο να αποφασιζει για το απειρο.
-Μ.χωρις ιδεολογιες-πρεπει ετσι να ειναι η' να μην ειναι- χωρις εξουσια-θελω
ετσι να ειναι η' να μην ειναι-;
-Α.φυσικα.Συμφωνω.
-Μ.αυτον το τροπο ας τον ονομασουμε Μαθηματικα.Το κυριο Απολυτο Μαθημα
με το οποιο βρισκουμε την Αληθεια.
-Α.συμφωνω.Ας το ονομασουμε Μαθηματικα.
-Μ.τοτε ας βρουμε την Αληθεια του θεωρηματος μ'αυτον τον τροπο,γενικα και
οχι σε μια περιπτωση του.μερικα.
-Α.συμφωνω απολυτα.
-Μ.τοτε ας βρουμε ποιο απο τα σχηματα μας ειναι σταθερο και ποιο ειναι μεταβλη-
το.Συμφωνεις;
-Α.ναι.Ας το κανουμε.
-Μ.το πρωτο παραλληλογραμμο -ας το πουμε 'το εξωτερικο'-η' 'το εσωτερικο'
παραλληλογραμμο ειναι μεταβλητο;
-Α.φυσικα,'το εξωτερικο' ειναι σταθερο και 'το εσωτερικο' ειναι μεταβλητο.
-Μ.πολυ σωστα.Τοτε σ'αυτο ποσα σημεια του ειναι μεταβλητα και ποσα μεταβλητα;
-Α.οπως φαινεται ενα σημειο του μονο ε ιναι σταθερο και τα αλλα 3 σημεια
του ειναι μεταβλητα.
-Μ.πολυ σωστα.Δεν μπορουμε σε σχεση με κατι σταθερο να ορισουμε τα
σταθερα και μεταβλητα σημεια;
-Α.και βεβαια θα μπορουσαμε.
-Μ.επειδη τα σχηματα μας,και φυσικα τα σημεια τους,ανηκουν στο επιπεδο
δεν θα αρκουσαν δυο και μονο αριθμοι να τα ορισουν;
-Α.βεβαια 2 αριθμοι.Αφου ειμαστε στο επιπεδο,το οποιο εχει δυο διαστασεις..
-Μ.οι 2 αυτοι αριθμοι ειναι οι αποστασεις τους απο κατι σταθερο;
-Α.φυσικα.
-Μ.απο ενα σταθερο η' απο απο περισσοτερα;
-Α.απο περισσοτερα.
-Μ.αφου χρειαζονται 2 αριθμοι.αρα 2 σταθερα.
-Α.μαλλον 2 σταθερα
-Μ.δεν θα ηταν πιο καλυτερα να οριζαμε τις αποστασεις των σημειων του επι-
πεδου-και,επομενως,των παραλληλογραμμων μας- απο 2 σταθερες ευθειες
παρα απο 2 σταθερα σημεια;
-Α.ορθοτερο φαινεται.
-Μ.και δεν θα ηταν καλυτερα οι ευθειες αυτες να ηταν καθετες η μια στην αλλη
παρα οποιεδηποτε αλλες;
-Α.βεβαιοτατα.Να ειναι καθετες.
-Μ.ας ονομασουμε την μια καθετο ευθεια με το γραμμα χ και την αλλη καθετο
με το γραμμα ψ
-Α.ναι.Ας τις ονομασουμε χ και ψ
-Μ.τοτε το σημειο στο οποιο τεμνονται οι δυο καθετες ευθειες χ και ψ ας το ονο-
μασουμε με το γραμμα Ο
-Α.συμφωνω.
-Μ.τοτε καθε σημειο Μ του επιπεδου,ας το ονομασουμε ετσι,θα οριζεται απο 2
αριθμους,τις αποστασεις του αντιστοιχα απο τις δυο καθετες ευθειες χ και ψ.
-Α.φυσικα ετσι θα οριζεται.
-Μ.και το σημειο τομης των Ο,η αρχη τους,δεν θα οριζεται απο τους αριθμους
0.,0,επειδη οι αποστασεις του απο τις καθετες ευθειες χ και ψ ειναι μηδενικες;
-Α.ετσι ειναι.0,0
-Μ.εστω το σταθερο παραλληλογραμμο ΑΒΓΔ-'το εξωτερικο'.Καθε κορυφη του Α,Β,Γ,Δ
οριζεται απο 2 γνωστους αριθμους.Συμφωνεις;
-Α.φυσικα και συμφωνω.
-Μ.το μεταβλητο παραλληλογραμμο Α'Β'Γ'Δ-'το εσωτερικο'-εχει σταθερη την κο-
ρυφη Δ δηλαδη να οριζεται απο δυο σταθερους αριθμους.Οι αλλες 3,κορυφες Α',
Β',Γ'οι μεταβλητες,δεν οριζονται απο σταθερους αριθμους η' ,νομιζεις οτι οριζονται;
-Α.βεβαιοτα και δεν οριζονται.
-Μ.επειδη αυτες 3 οι κορυφες δεν ειναι σταθερα σημεια κατα συνεπεια και οι απο-
στασεις τους απο τις σταθερες καθετες ευθειες χ και ψ ειναι μη σταθερες.
-Α.βεβαιοτα.Οι δυο αποστασεις τους δεν ειναι σταθερες.
-Μ.και δεν γνωριζουμε,απο τον Ευκλειδη,πως μια ευθεια οριζεται μοναδικα απο
2 σημεια,απο τα οποια διερχεται;
-Α.φυσικα και το γνωριζουμε.
-Μ.επομενως οι μεταβλητες ευθειες ΑΓ',Α'Γ,ΒΒ' ,οι οποιες θελουμε να δειξου-
με πως συντρεχουν,εκφραζονται μεταβλητα απο τα μεταβλητα σημεια Α',Β',Γ'
-Α.ετσι ειναι.
-Μ.απο αυτες τιε μεταβλητες εκφρασεις των ΑΓ',Α'Γ,ΒΒ' μπορουμε να συνα-
γουμε πως υπαρχει ενα σημειο κοινο το οποιο ανηκει και στις 3 ευθειες.
Επομενως συντρεχουν.Οπερ εδει δειξαι.
-Α.αυτο που ζητουσαμε.
.
.
.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου