[ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ]Τετραγωνικη ριζα του 2-[ΘΕΩΡΗΜΑ]η √2 είναι άρρητος:-ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΔΙΑ ΤΗΣ ΕΙΣ ΑΤΟΠΟΝ ΑΠΑΓΩΓΗΣ--και αποσπασμα απο τον διαλογο του ΠΛΑΤΩΝΑ:ΘΕΑΙΤΗΤΟΣ-χ.ν.κουβελης

.
.
.

[ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ]Τετραγωνικη ριζα του 2-χ.ν.κουβελης
.
.
η τετραγωνικη ριζα του 2:√2=1.41421 35623 73095 04880 16887 24209
69807 85696 71875 37694 80731 76679 73799…
.
[ΘΕΩΡΗΜΑ]η √2 είναι άρρητος:
ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΔΙΑ ΤΗΣ ΕΙΣ ΑΤΟΠΟΝ ΑΠΑΓΩΓΗΣ
-και αποσπασμα 
απο τον διαλογο του ΠΛΑΤΩΝΑ:ΘΕΑΙΤΗΤΟΣ-χ.ν.κουβελης
.
.
[η √2 η' θα ειναι ρητος αριθμος η' θα ειναι αρρητος]
Υποθετουμε ότι η ριζα{2} είναι ρητός,
Τοτε: √2 =α/β
όπου α και β είναι μη μηδενικοί ακέραιοι πρώτοι μεταξύ τους
[απο τον ορισμό των ρητών αριθμών]
Έπομενως: β.√2 = α
Υψώνουμε και τις δυο πλευρές της ισοτητας στο τετράγωνο κι εχουμε:
2β<εις το τετραγωνο> = α <εις το τετραγωνο>
το 2 διαιρεί το 2β, τοτε θα διαιρεί και το α<εις το τετραγωνο>
[τα δυο μερη της ισοτητας]
Επομένως, ο α<εις το τετραγωνο>είναι άρτιος, τοτε και ο α είναι άρτιος.
Τοτε ο α = 2γ, όπου γ είναι ακέραιος.
Αντικαθιστουμε το α στην ισοτητα και εχουμε:
2β<εις το τετραγωνο> = (2γ)<εις το τετραγωνο> = 4γ<εις το τετραγωνο>
Διαιρουμε με το 2 την ισοτητα κι εχουμε:
β<εις το τετραγωνο> = 2γ<εις το τετραγωνο>
Με το ίδιο συλλογισμο:
το 2 διαιρεί το β<εις το τετραγωνο>
τοτε και το β είναι άρτιος.
Επομενως αν οι α και β είναι και οι δυο άρτιοι, έχουν κοινό διαιρέτη, το 2
Αυτο ειναι ατοπο,δεν συμφωνει με την υπόθεση:
<ότι είναι ο α και ο β ειναι πρώτοι μεταξύ τους>
Επομενως η √2 είναι άρρητος αριθμος
.
√2=1.41421 35623 73095 04880 16887 24209 69807 85696 71875 37694
80731 76679 73799…
.
ΠΛΑΤΩΝ :ΘΕΑΙΤΗΤΟΣ[Αποσπασμα]

Θεαίτητος
περὶ δυνάμεών τι ἡμῖν Θεόδωρος ὅδε ἔγραφε, τῆς τε τρίποδος πέρι καὶ
πεντέποδος [ἀποφαίνων] ὅτι μήκει οὐ σύμμετροι τῇ ποδιαίᾳ, καὶ οὕτω
κατὰ μίαν ἑκάστην προαιρούμενος μέχρι τῆς ἑπτακαιδεκάποδος: ἐν δὲ
ταύτῃ πως ἐνέσχετο. ἡμῖν οὖν εἰσῆλθέ τι τοιοῦτον, ἐπειδὴ ἄπειροι τὸ
πλῆθος αἱ δυνάμεις ἐφαίνοντο, πειραθῆναι συλλαβεῖν εἰς ἕν, ὅτῳ πάσας
ταύτας προσαγορεύσομεν τὰς δυνάμεις.

Σωκράτης
ἦ καὶ ηὕρετέ τι τοιοῦτον;

Θεαίτητος
ἔμοιγε δοκοῦμεν: σκόπει δὲ καὶ σύ.

Σωκράτης
λέγε.

Θεαίτητος
τὸν ἀριθμὸν πάντα δίχα διελάβομεν: τὸν μὲν δυνάμενον ἴσον ἰσάκις
γίγνεσθαι τῷ τετραγώνῳ τὸ σχῆμα ἀπεικάσαντες τετράγωνόν τε καὶ
ἰσόπλευρον προσείπομεν.

Σωκράτης
καὶ εὖ γε.

Θεαίτητος
τὸν τοίνυν μεταξὺ τούτου, ὧν καὶ τὰ τρία καὶ τὰ πέντε καὶ πᾶς ὃς
ἀδύνατος ἴσος ἰσάκις γενέσθαι, ἀλλ' ἢ πλείων ἐλαττονάκις ἢ ἐλάττων
πλεονάκις γίγνεται, μείζων δὲ καὶ ἐλάττων ἀεὶ πλευρὰ αὐτὸν περιλαμ-
βάνει, τῷ προμήκει αὖ σχήματι ἀπεικάσαντες προμήκη ἀριθμὸν ἐκα-
λέσαμεν.

Σωκράτης
κάλλιστα. ἀλλὰ τί τὸ μετὰ τοῦτο;

Θεαίτητος
ὅσαι μὲν γραμμαὶ τὸν ἰσόπλευρον καὶ ἐπίπεδον ἀριθμὸν τετραγωνίζουσι,
μῆκος ὡρισάμεθα, ὅσαι δὲ τὸν ἑτερομήκη, δυνάμεις, ὡς μήκει μὲν οὐ συμ-
μέτρους ἐκείναις, τοῖς δ' ἐπιπέδοις ἃ δύνανται. καὶ περὶ τὰ στερεὰ ἄλλο
τοιοῦτον
.
.
.