.
.
LITTERATURE-ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΑ
-HOMAGE TO GREAT MATHEMATICIAN LEONHARD EULER-c.n.couvelis
χ.ν.κουβελης
-ΘΕΩΡΗΜΑ-ΕΥΘΕΙΑ EULER -ΚΥΚΛΟΣ EULER των 9 σημειων του τριγωνου-
ο τυφλος Leonhard Euler στην St. Petersburg και η Zeta Function του Bernhard Riemann-
c.n.couvelis χ.ν.κουβελης
ΚΕΙΜΕΝΑ-TEXTS-Χ.Ν.Κουβελης[C.N.Couvelis}
ΘΕΩΡΗΜΑ-ΕΥΘΕΙΑ EULER -χ.ν.κουβελης c.n.couvelis
ΘΕΩΡΗΜΑ-ΕΥΘΕΙΑ EULER
Σε καθε τριγωνο το ορθοκεντρο Η,το βαρυκεντρο G και το περικεντρο του O ειναι
συνευθειακα σημεια και ΗG=2GΟ
Αποδειξη:
Εστω οτι τα Η,G,Ο δεν ειναι συνευθειακα
Προεκτεινουμε το τμημα ΟG το οποιο τεμνει το υψος ΑΑ' στο σημειο Η
Το ΑΑ' υψος,καθετο στην πλευρα ΒΓ
Το ΟΜ μεσοκαθετος στην πλευρα ΒΓ
Τοτε το ΑΑ' // παραλληλο στο ΟΜ
και: γωνια ΟΜG=γωνια GΑΗ ως εντος ενναλαξ των παραλληλων ΑΑ',ΟΜ με τεμνουσα
την ΑΜ
επισης:γωνια ΜGΟ=γωνια ΑGΗ ως κατα κορυφην γωνιες,
Τοτε εχουμε τα τριγωνα ΜΟG,ΑΗG ομοια,
γνωριζουμε πως το βαρυκεντρο G καθε τριγωνου χωριζει τις διαμεσους του με λογο 1/2,
Επομενως GΟ=1/2 GΗ
Ομοια βρισκουμε πανω στα υψη ΒΒ',ΓΓ' τα σημεια Η',Η'',της τομης των με την προεκταση
του ΟG ,για τα οποια ισχυει:GΟ=1/2 GΗ',GΟ=1/2 GΗ'',
Απο αυτες τις τρεις ισοτητες εχουμε: GΟ=1/2 GΗ=1/2 GΗ'=1/2 GΗ''
η' GΗ= GΗ'=GΗ''
δηλαδη τα σημεια Η,Η',Η'' ταυτιζονται σε ενα σημειο κι επειδη ανηκουν στα υψη ΑΑ',
ΒΒ',ΓΓ',αυτο το σημειο ειναι το σημειο τομης των,το ορθοκεντρο Η,
Επομενως:
Σε καθε τριγωνο το ορθοκεντρο Η,το βαρυκεντρο G και το περικεντρο του O ειναι
συνευθειακα σημεια και ΗG=2GΟ
ΘΕΩΡΗΜΑ-ΕΥΘΕΙΑ EULER
οπερ εδει δειξαι
.
Επισης απο την ομοιοτητα των τριγωνων ΜΟG,ΑΗG με λογο ομοιοτητας 1/2
εχουμε ΟΜ=1/2 ΑΗ
.
.
ΘΕΩΡΗΜΑ-ΚΥΚΛΟΣ EULER των 9 σημειων του τριγωνου -χ.ν.κουβελης c.n.couvelis
ΘΕΩΡΗΜΑ-ΚΥΚΛΟΣ EULER των 9 σημειων του τριγωνου
Ο κυκλος Euler διερχεται σε ενα τριγωνο απο 9 σημεια του:
τα 3 μεσα των πλευρων του
τους 3 ποδες των υψων του
τα 3 μεσα των τμηματων απο το ορθοκεντρο στις κορυφες του
.
.
Στο τριγωνο ΑΒΓ ,τα Κ,Λ,Μ ειναι τα μεσα των πλευρων του ΑΒ,ΒΓ,ΓΑ, τα Α',Β',Γ' ειναι οι
ποδες των υψων του ΑΑ',ΒΒ',ΓΓ',τα Δ,Ε,Ζ ειναι τα μεσα των τμηματων απο το ορθοκεντρο
Η στις κορυφες του ΗΑ,ΗΒ,ΗΓ,
Ο το περικεντρο του,σημειο τομης των μεσοκαθετων του,G το βαρυκεντρο του,σημειο
τομης των διαμεσων του,Η το ορθοκεντρο ,σημειο τομης των υψων του
Ευθεια Euler:
Σε ενα τριγωνο ΑΒΓ τα τρια σημεια,Ο το περικεντρο του,G το βαρυκεντρο του,
Η το ορθοκεντρο του,ειναι συνευθειακα,
αυτη η ευθεια ΟGΗ ειναι η ευθεια Euler,
με GΗ=2GΟ,και ΟΛ=1/2 ΗΑ,
επειδη ΑΑ' υψος,εχω ΔΗ καθετος στην ΒΓ
και ΟΛ μεσοκαθετος της ΒΓ
τοτε ΔΗ //=ΟΛ ,παραλληλα και ισες,
επομενως το τετραπλευρο ΟΛΗΔ ειναι παραλληλογραμμο και το σημειο τομης Ο'
των διαγωνιων του ΔΛ,ΗΟ ειναι το μεσον τους
Επισης εχουμε ΟΛ=1/2 ΗΑ=ΔΗ=ΔΑ,ΔΑ//ΟΛ τοτε το ΑΔΛΟ παραλληλογραμμο,
με ΛΔ //=ΟΑ,ΟΑ η ακτινα του περιγεγραμμενου κυκλου του τριγωνου ΑΒΓ
Στο ορθογωνιο τριγωνο ΗΑ'Λ η διαμεσος του Α'Ο' στην υποτεινουσα του ΛΔ ειναι ιση
με το μισο της,Α'Ο'=1/2 ΛΔ,
τοτε Ο'Δ=Ο'Λ=Ο'Α'
επομενως τα 3 σημεια ,Λ μεσο της ΒΓ,Α' ποδας του υψους ΑΑ' στην ΒΓ,και Δ μεσο του τμη-
ματος ΗΑ απο το ορθοκεντρο στην κορυφη Α ανηκουν σε κυκλο με κεντρο το Ο' το μεσο
του ΟGΗ,και ακτινα ιση με το μισο της ακτινας α=ΟΑ του περιγεγραμμενου κυκλου του
ΑΒΓ
Ομοια βρισκω και τα αλλα 6 σημεια:
-Κ,Μ μεσα ,-Β',Γ' ποδες υψων,-Ε,Ζ μεσα των ΗΒ,ΗΓ
ανηκουν σ'αυτον τον κυκλο [Ο', α=1/2 ΟΑ]
Επομενως αυτος ειναι ο κυκλος Euler των 9 σημειων του τριγωνου ΑΒΓ,
3 μεσων πλευρων,3 ποδων υψων,3 μεσων των τμηματων απο το ορθοκεντρο Η στις
κορυφες Α,Β,Γ
.
.
ο τυφλος Leonhard Euler στην St. Petersburg και η Zeta Function του Bernhard Riemann-
c.n.couvelis χ.ν.κουβελης
St. Petersburg, Russia,1783
το 1735 απο μια επιδημια εχασα το δεξι μου ματι,απο το 1766 που εχασα απο καταραχτη
και το αλλο ματι,το αριστερο,ειμαι τυφλος,
νομιζω,πως η τυφλοτητα,ειναι προνομιο,ειδικα οταν σκεφτεσαι το απειρο,τις απειροσει-
ρες,το πραγματικο,αυτο που φωτιζεται και το βλεπεις,ειναι περιορισμενο,ενω το απειρο,
απλα ειναι απειρο,μια ταυτολογια,
στην τυφλοτητα χρειαζεται η μνημη,αν ειναι δυνατον απολυτη μνημη,αλλιως το σκοταδι
ειναι κυριολεκτικα σκοταδι,και σε εκμηδενιζει νοητικα και σωματικα,,
εγω εχω ακομα καλη μνημη,πολλοι λενε θεικη μνημη,μνημη ενος υπερτατου οντος,
θεωρω πως μια καλη ασκηση μνημης ειναι η Αινειαδα του Βιργιλιου,40 χρονια και θυμαμαι
οόυς τους στιχους της ,
Οριστε ενα παραδειγμα η' μια επιδειξη:
PUBLIUS VERGILI MARONIS AENEIDOS LIBER SEPTIMVS
επιλεκτικα οι στιχοι 81 εως 91
At rex sollicitus monstris oracula Fauni,
fatidici genitoris, adit lucosque sub alta
consulit Albunea, nemorum quae maxima sacro
fonte sonat saevamque exhalat opaca mephitim.
hinc Italae gentes omnisque Oenotria tellus 85
in dubiis responsa petunt; huc dona sacerdos
cum tulit et caesarum ovium sub nocte silenti
pellibus incubuit stratis somnosque petivit,
multa modis simulacra videt volitantia miris
et varias audit voces fruiturque deorum 90
conloquio atque imis Acheronta adfatur Avernis.
και στο Letter LL ,απο τα 234 Letters to a German Princess, On Different Subjects in Physics
and Philosophy τα οποια εστειλα,απο το 1760 εως το 1762,στην Friederike Charlotte of
Brandenburg-Schwedt και στην αδελφη της Louise ,εκει γραφω:
σε αγγλικη μεταφραση:
This being laid down,let us attend to the moon,which affuredly does not move in a
straight line,her path must of necessity be a curve,as she always preserves nearly the
same distance from us,and that curve almost a circle,suchn as you would describe
round the earth,with a radius equal to the moon's distance
εδω στη βιβλιοθηκη μου μεσα στα βιβλια ειναι και βιβλιο μ'αυτα τα Γραμματα που
εκδοθηκε στην Αγια Πετρουπολη το 1766 με την ευγενικη υποστηριξη της τσαρινας
Αικατερινης Β' της Μεγαλης
'Ειμαι σιγουρη',ειπε,'πως η ακαδημια θα αναστηθει απο τις σταχτες της απο αυτο το
σπουδαιο αποκτημα,και συγχαιρω αυτοπροσωπως προκαταβολικα την αποκατασταση
ενος μεγαλου αντρα στη Ρωσια'
γελασε,
θυμαμαι την συναντηση με τον Ντιτερο,μολις τον πρωτοειδα στην αιθουσα ετρεξα κοντα
του να τον προλαβω πριν μιλησει πρωτος εκεινος,'Κυριε'του ειπα σαν Μαθηματικος,
'Επομενως ο θεος υπαρχει',ειδα την αμηχανια στο προσωπο του,
Μεσα στην τυφλοτητα απο το 1773 εως το 1782 εγραψα 355 μαθηματικες εργασιες,
μαλλον,αυτες ειναι τα Πλατωνικα Μαθηματικα-Ιδεες,που εχω την αναμνηση τους και
πιεζουν να εμφανισθουν,
οπως αυτη η ιδεα-εικασια'Καθε αρτιος αριθμος μεγαλυτερος του 2 μπορει να γραφει
ως αθροισμα δυο πρωτων αριθμων' του Christian Goldbach,ρωσου μαθηματικου ,
οπως 4=1+3,6=3+3,8=3+5,10=3+7,12=5+7,...,κλπ,ως το απειρο κατα την εικασια του
Goldbach,
αυτη την εικασια ο Goldbach,μου την εστειλε με γραμμα στις 7 Ιουνιου του 1742,τοτε
ειχα ενα χρονο που ειχα γυρισει απο την πρωτη διαμονη μου απο το 1727 εως το 1741
στην Αγια Πετρουπολη,καλεσμενος τους φιλους και συμαθητες μου μαθηματικους
στην Αυτοκρατορικη Ακαδημια Nickolas και Daniel Bernoulli,ελβετοι οπως κι εγω απο την
Βασιλεια,και βρισκομουν στη Ακαδημια του Βερολινου,θεση η οποια μου ειχε προσφερ-
θει απο τον Φρειδερικο Β' της Πρωσιας,.
νομιζω,πως αυτη η εικασια του Goldbach θα παιδεψει για αιωνες τους μαθηματικους
μεχρι να λυθει,κατα καποιο τροπο ειναι μια προταση μη -πληροτητας,ειναι,ισως,μαλλον,
αληθης αλλα δεν μπορει να αποδειχθει απο τα αξιωματα που εχουμε,
Τωρα,ηρθε η ωρα,αρκετα κρατησε η αναβολη του,να μετρηθουμε με το απειρο,απειροι
αριθμοι,απειροι συνδιασμοι,και πιθανον απειρα θεωρηματα,μ'αλλα λογια,απειρα μαθημα-
τικα,μια πολυπλακοτητα πολλων αριθμων,
ας δουμε ενα,ενα πολυπτυχο απειρου,που με αποσχολει χρονια,και,λογικη συνεπεια,θα
συνεχισει να αποσχολει για χρονια,ισως απειρα,μ'αυτο,καθολου,δεν ειρωνευομαι το
απειρο,
Ειμαι τυφλος,κι ισως γ'αυτο βλεπω καλλιτερα μεσα στο απειρο,η νοηση ταιριαζει στο
απειρο κι οχι η εμπειρικη αισθηση,
εννοω την Zeta Function,την Ζητα Συναρτηση,ζητα το ελληνικο γραμμα,αλλα και με την
εννοια του 'ζηταω':
ζ[s]=Σ1/n >s ,οπου n φυσικος αριθμος απο το 1 ως το απειρο,με > συμβολο του εκθετη
δυναμης,
η ζητα συναρτηση ειναι απειροσειρα,ζ[s]=1+ 1/2>s + 1/3>s + 1/4>s + 1/5>s +...
η οποια αν s>1 συγκλινει,αν s<= 1 τοτε αποκλινει,
για s=2 απεδειξα:ζ[2]=π>2/6
για s περιττο αριθμο τα πραγματα δυσκολευουν,και παρα τις προσπαθειες η τιμη του ζ[3]
παραμενει αλυτο προβλημα,
με τις αριθμοσειρες εχει ασχοληθει κι ο Αρχιμηδης[287-212 π.Χ],μετα το ιδιοφυες θεωρη-
μα του,τον τετραγωνισμο της παραβολης,'ευρηκε' πως η απειρο σειρα Σ 1/4>n συγκλινει,
το 1734,27 χρονω,συνελαβα για πρωτη φορα,την ιδεα της γενικευσης της πολυωνυμιακης
παραγοντοποιησης στις υπερβατικες συναρτησεις,
Επικοινωνησα με τον Daniel Bernoulli γραφοντας του:
1+1/4+1/9+1/16+...=π>2/6
1+ 1/2>4 + 1/3>4 + 1/4>4 +...= π>4/90
το De summis serierum
παρατηρησα πως:ζ[2]=[1+ 1/3>2 +1/5>2+...]+ 1/4 ζ[2] κι απ'αυτο εξαγεται ζ(2) = π>2/6.
και με παρομοιους συλλογισμους:
1- 1/3>3 + 1/5>3 - 1/7?>3 +...= π>3/32
1 + 1/3>4 + 1/5>4 +...= π>4/96
και κατα συνεπεια ζ[4) = π>4/90.
ομοια,συνεχισα τους υπολογισμους με τις σειρες με εκθετες,5,6,7,8
τη σχεση: π / 2 ριζα του 2 =1+1/3 -1/5-1/7+1/9+1/11-... την αποδιδω στον Νευτωνα,
Newton,
το 1737 εγραψα ενα αρθρο με τον τιτλο: Variae Observationes circa series infinitas
και για πρωτη φορα εδω απεδειξα:
ζ[s]= 2>s.3>s.5>s.7>s.11>s... / [2>s-1][3>s-1][5>s-1][7>s-1][11>s-1]....
κι ενα απο τα θεωρηματα μου ειναι η προταση:
Σ 1/p ~ log Σ 1/n ,για ολους τους πρωτους αριθμους p,
βρηκα ακομα:
1-3+5-7+...=0
1-3>3+5>3-7>3+...=0
1-2+3-4+...=1/4
1-2>3+3>3-4>3+...=- 1/8
1-2>5+3>5-4>5+...=1/4
1-2>7+3>7-4>7+...=- 17/16
1-2>2+3>2-4>2+...=0
1-2>4+3>4-4>4+...=0
1-2>6+3>6-4>6+...=0
αυτα,αφου ορισα τη συναρτηση:f(x) = 1 + x + x>2 +...|+ x>n + ... = 1/(1- x) if lx| < 1.
θετωντας χ=-1 βρηκα:
1- 1 + 1- 1 +... = 1/2
και στη :f(x) εφαρμοζοντας τον τελεστη παραγωγισης x(d/dx),τοτε:
x d/dx f (x) = x + 2x>2 + 3x>3 +...=x / [1-x>2]
και θετωντας x =-1 εχω: 1-2 +3-4+...=1/4
εφαρμοζωντας ξανα τον τελεστη παραγωγισης βρισκω:
x+2>2.x>2+3>2. x>3 +...=x[1+x] / [1-x]>2
και θετωντας x =-1 εχω 1-2>2+3>2-...=0
1866,Ιταλια,Lago Maggiore,Selasca,
ο Bernhard Riemann σκεφτονταν την Zeta Function και μια φανταστικη συναντηση του με
τον τυφλο ελβετο μαθηματικο Leonhard Euler στην St. Petersburg το 1783,
εδω ο υγιεινος αερας του εκανε καλο στα πνευμονια του,αισθανονταν καλλιτερα,
'η συναρτηση μου θα εχει ιδιαιτερη θεση στη θεωρια των αριθμων',σκεφτεται,'επειδη
σχετιζεται με το πως κατανεμονται οι πρωτοι αριθμοι΄',
αυτο φιλοδοξει,ενω γνωριζει πολυ καλαι ποσο εμφυτα ντροπαλος ειναι,
'η συνδεση της με τους πρωτους αριθμους,θα ελεγα στον Euler,οφειλεται στη σχεση που
εσεις βρηκατε':
ζ[s]=Π 1 / 1-p>-s , οπου p ανηκει στο συνολο ολων των πρωτων αριθμων, και s μιγαδικος
αριθμος με πραγματικο μερος > 1
'κατεληξα,θα του ελεγα συνεχιζοντας,στης εξης εικασια:
η συναρτηση ζητα ζ μηδενιζεται,εκτος απο τις τιμες s=-2k,k φυσικος αριθμος, μονο για
s με πραγματικη τιμη ιση με 1/2'
'Στην Υποθεση Riemann του 1859'ακουσε τον Leonhard Euler,'οι μη τετριμενες ριζες της
συναρτησης σας,της ζητα συναρτησης του Riemann, ειναι αυτες οι οποιες εχουν πραγματι-
κο μερος ισο με 1/2,κι αυτη η εικασια σου'συνεχισε σχολιαζοντας'θα πονοκεφαλιασει για
αιωνες τους μαθηματικους παραμενοντας αλυτη οπως και η εικασια του Goldbach,εκτος κι
αν το 2017 εδω στην St. Petersburg ασχοληθει μ'αυτη ο Grigori Perelman,The Smartest
Mind of Century,κι ανακαλυφτοντας-την Ριμανεια πολυπλοτητα της την λυσει,η' καταληξει
μια προταση μη -πληροτητας,αληθης,αλλα που δεν μπορει να αποδειχθει απο τα αξιωμα
τα που εχουμε,
.
.
LITTERATURE-ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΑ
-HOMAGE TO GREAT MATHEMATICIAN LEONHARD EULER-c.n.couvelis
χ.ν.κουβελης
-ΘΕΩΡΗΜΑ-ΕΥΘΕΙΑ EULER -ΚΥΚΛΟΣ EULER των 9 σημειων του τριγωνου-
ο τυφλος Leonhard Euler στην St. Petersburg και η Zeta Function του Bernhard Riemann-
c.n.couvelis χ.ν.κουβελης
ΚΕΙΜΕΝΑ-TEXTS-Χ.Ν.Κουβελης[C.N.Couvelis}
.
.
ΘΕΩΡΗΜΑ-ΕΥΘΕΙΑ EULER -χ.ν.κουβελης c.n.couvelis
ΘΕΩΡΗΜΑ-ΕΥΘΕΙΑ EULER
Σε καθε τριγωνο το ορθοκεντρο Η,το βαρυκεντρο G και το περικεντρο του O ειναι
συνευθειακα σημεια και ΗG=2GΟ
Αποδειξη:
Εστω οτι τα Η,G,Ο δεν ειναι συνευθειακα
Προεκτεινουμε το τμημα ΟG το οποιο τεμνει το υψος ΑΑ' στο σημειο Η
Το ΑΑ' υψος,καθετο στην πλευρα ΒΓ
Το ΟΜ μεσοκαθετος στην πλευρα ΒΓ
Τοτε το ΑΑ' // παραλληλο στο ΟΜ
και: γωνια ΟΜG=γωνια GΑΗ ως εντος ενναλαξ των παραλληλων ΑΑ',ΟΜ με τεμνουσα
την ΑΜ
επισης:γωνια ΜGΟ=γωνια ΑGΗ ως κατα κορυφην γωνιες,
Τοτε εχουμε τα τριγωνα ΜΟG,ΑΗG ομοια,
γνωριζουμε πως το βαρυκεντρο G καθε τριγωνου χωριζει τις διαμεσους του με λογο 1/2,
Επομενως GΟ=1/2 GΗ
Ομοια βρισκουμε πανω στα υψη ΒΒ',ΓΓ' τα σημεια Η',Η'',της τομης των με την προεκταση
του ΟG ,για τα οποια ισχυει:GΟ=1/2 GΗ',GΟ=1/2 GΗ'',
Απο αυτες τις τρεις ισοτητες εχουμε: GΟ=1/2 GΗ=1/2 GΗ'=1/2 GΗ''
η' GΗ= GΗ'=GΗ''
δηλαδη τα σημεια Η,Η',Η'' ταυτιζονται σε ενα σημειο κι επειδη ανηκουν στα υψη ΑΑ',
ΒΒ',ΓΓ',αυτο το σημειο ειναι το σημειο τομης των,το ορθοκεντρο Η,
Επομενως:
Σε καθε τριγωνο το ορθοκεντρο Η,το βαρυκεντρο G και το περικεντρο του O ειναι
συνευθειακα σημεια και ΗG=2GΟ
ΘΕΩΡΗΜΑ-ΕΥΘΕΙΑ EULER
οπερ εδει δειξαι
.
Επισης απο την ομοιοτητα των τριγωνων ΜΟG,ΑΗG με λογο ομοιοτητας 1/2
εχουμε ΟΜ=1/2 ΑΗ
.
.
ΘΕΩΡΗΜΑ-ΚΥΚΛΟΣ EULER των 9 σημειων του τριγωνου -χ.ν.κουβελης c.n.couvelis
ΘΕΩΡΗΜΑ-ΚΥΚΛΟΣ EULER των 9 σημειων του τριγωνου
Ο κυκλος Euler διερχεται σε ενα τριγωνο απο 9 σημεια του:
τα 3 μεσα των πλευρων του
τους 3 ποδες των υψων του
τα 3 μεσα των τμηματων απο το ορθοκεντρο στις κορυφες του
.
.
Στο τριγωνο ΑΒΓ ,τα Κ,Λ,Μ ειναι τα μεσα των πλευρων του ΑΒ,ΒΓ,ΓΑ, τα Α',Β',Γ' ειναι οι
ποδες των υψων του ΑΑ',ΒΒ',ΓΓ',τα Δ,Ε,Ζ ειναι τα μεσα των τμηματων απο το ορθοκεντρο
Η στις κορυφες του ΗΑ,ΗΒ,ΗΓ,
Ο το περικεντρο του,σημειο τομης των μεσοκαθετων του,G το βαρυκεντρο του,σημειο
τομης των διαμεσων του,Η το ορθοκεντρο ,σημειο τομης των υψων του
Ευθεια Euler:
Σε ενα τριγωνο ΑΒΓ τα τρια σημεια,Ο το περικεντρο του,G το βαρυκεντρο του,
Η το ορθοκεντρο του,ειναι συνευθειακα,
αυτη η ευθεια ΟGΗ ειναι η ευθεια Euler,
με GΗ=2GΟ,και ΟΛ=1/2 ΗΑ,
επειδη ΑΑ' υψος,εχω ΔΗ καθετος στην ΒΓ
και ΟΛ μεσοκαθετος της ΒΓ
τοτε ΔΗ //=ΟΛ ,παραλληλα και ισες,
επομενως το τετραπλευρο ΟΛΗΔ ειναι παραλληλογραμμο και το σημειο τομης Ο'
των διαγωνιων του ΔΛ,ΗΟ ειναι το μεσον τους
Επισης εχουμε ΟΛ=1/2 ΗΑ=ΔΗ=ΔΑ,ΔΑ//ΟΛ τοτε το ΑΔΛΟ παραλληλογραμμο,
με ΛΔ //=ΟΑ,ΟΑ η ακτινα του περιγεγραμμενου κυκλου του τριγωνου ΑΒΓ
Στο ορθογωνιο τριγωνο ΗΑ'Λ η διαμεσος του Α'Ο' στην υποτεινουσα του ΛΔ ειναι ιση
με το μισο της,Α'Ο'=1/2 ΛΔ,
τοτε Ο'Δ=Ο'Λ=Ο'Α'
επομενως τα 3 σημεια ,Λ μεσο της ΒΓ,Α' ποδας του υψους ΑΑ' στην ΒΓ,και Δ μεσο του τμη-
ματος ΗΑ απο το ορθοκεντρο στην κορυφη Α ανηκουν σε κυκλο με κεντρο το Ο' το μεσο
του ΟGΗ,και ακτινα ιση με το μισο της ακτινας α=ΟΑ του περιγεγραμμενου κυκλου του
ΑΒΓ
Ομοια βρισκω και τα αλλα 6 σημεια:
-Κ,Μ μεσα ,-Β',Γ' ποδες υψων,-Ε,Ζ μεσα των ΗΒ,ΗΓ
ανηκουν σ'αυτον τον κυκλο [Ο', α=1/2 ΟΑ]
Επομενως αυτος ειναι ο κυκλος Euler των 9 σημειων του τριγωνου ΑΒΓ,
3 μεσων πλευρων,3 ποδων υψων,3 μεσων των τμηματων απο το ορθοκεντρο Η στις
κορυφες Α,Β,Γ
.
.
ο τυφλος Leonhard Euler στην St. Petersburg και η Zeta Function του Bernhard Riemann-
c.n.couvelis χ.ν.κουβελης
St. Petersburg, Russia,1783
το 1735 απο μια επιδημια εχασα το δεξι μου ματι,απο το 1766 που εχασα απο καταραχτη
και το αλλο ματι,το αριστερο,ειμαι τυφλος,
νομιζω,πως η τυφλοτητα,ειναι προνομιο,ειδικα οταν σκεφτεσαι το απειρο,τις απειροσει-
ρες,το πραγματικο,αυτο που φωτιζεται και το βλεπεις,ειναι περιορισμενο,ενω το απειρο,
απλα ειναι απειρο,μια ταυτολογια,
στην τυφλοτητα χρειαζεται η μνημη,αν ειναι δυνατον απολυτη μνημη,αλλιως το σκοταδι
ειναι κυριολεκτικα σκοταδι,και σε εκμηδενιζει νοητικα και σωματικα,,
εγω εχω ακομα καλη μνημη,πολλοι λενε θεικη μνημη,μνημη ενος υπερτατου οντος,
θεωρω πως μια καλη ασκηση μνημης ειναι η Αινειαδα του Βιργιλιου,40 χρονια και θυμαμαι
οόυς τους στιχους της ,
Οριστε ενα παραδειγμα η' μια επιδειξη:
PUBLIUS VERGILI MARONIS AENEIDOS LIBER SEPTIMVS
επιλεκτικα οι στιχοι 81 εως 91
At rex sollicitus monstris oracula Fauni,
fatidici genitoris, adit lucosque sub alta
consulit Albunea, nemorum quae maxima sacro
fonte sonat saevamque exhalat opaca mephitim.
hinc Italae gentes omnisque Oenotria tellus 85
in dubiis responsa petunt; huc dona sacerdos
cum tulit et caesarum ovium sub nocte silenti
pellibus incubuit stratis somnosque petivit,
multa modis simulacra videt volitantia miris
et varias audit voces fruiturque deorum 90
conloquio atque imis Acheronta adfatur Avernis.
και στο Letter LL ,απο τα 234 Letters to a German Princess, On Different Subjects in Physics
and Philosophy τα οποια εστειλα,απο το 1760 εως το 1762,στην Friederike Charlotte of
Brandenburg-Schwedt και στην αδελφη της Louise ,εκει γραφω:
σε αγγλικη μεταφραση:
This being laid down,let us attend to the moon,which affuredly does not move in a
straight line,her path must of necessity be a curve,as she always preserves nearly the
same distance from us,and that curve almost a circle,suchn as you would describe
round the earth,with a radius equal to the moon's distance
εδω στη βιβλιοθηκη μου μεσα στα βιβλια ειναι και βιβλιο μ'αυτα τα Γραμματα που
εκδοθηκε στην Αγια Πετρουπολη το 1766 με την ευγενικη υποστηριξη της τσαρινας
Αικατερινης Β' της Μεγαλης
'Ειμαι σιγουρη',ειπε,'πως η ακαδημια θα αναστηθει απο τις σταχτες της απο αυτο το
σπουδαιο αποκτημα,και συγχαιρω αυτοπροσωπως προκαταβολικα την αποκατασταση
ενος μεγαλου αντρα στη Ρωσια'
γελασε,
θυμαμαι την συναντηση με τον Ντιτερο,μολις τον πρωτοειδα στην αιθουσα ετρεξα κοντα
του να τον προλαβω πριν μιλησει πρωτος εκεινος,'Κυριε'του ειπα σαν Μαθηματικος,
'Επομενως ο θεος υπαρχει',ειδα την αμηχανια στο προσωπο του,
Μεσα στην τυφλοτητα απο το 1773 εως το 1782 εγραψα 355 μαθηματικες εργασιες,
μαλλον,αυτες ειναι τα Πλατωνικα Μαθηματικα-Ιδεες,που εχω την αναμνηση τους και
πιεζουν να εμφανισθουν,
οπως αυτη η ιδεα-εικασια'Καθε αρτιος αριθμος μεγαλυτερος του 2 μπορει να γραφει
ως αθροισμα δυο πρωτων αριθμων' του Christian Goldbach,ρωσου μαθηματικου ,
οπως 4=1+3,6=3+3,8=3+5,10=3+7,12=5+7,...,κλπ,ως το απειρο κατα την εικασια του
Goldbach,
αυτη την εικασια ο Goldbach,μου την εστειλε με γραμμα στις 7 Ιουνιου του 1742,τοτε
ειχα ενα χρονο που ειχα γυρισει απο την πρωτη διαμονη μου απο το 1727 εως το 1741
στην Αγια Πετρουπολη,καλεσμενος τους φιλους και συμαθητες μου μαθηματικους
στην Αυτοκρατορικη Ακαδημια Nickolas και Daniel Bernoulli,ελβετοι οπως κι εγω απο την
Βασιλεια,και βρισκομουν στη Ακαδημια του Βερολινου,θεση η οποια μου ειχε προσφερ-
θει απο τον Φρειδερικο Β' της Πρωσιας,.
νομιζω,πως αυτη η εικασια του Goldbach θα παιδεψει για αιωνες τους μαθηματικους
μεχρι να λυθει,κατα καποιο τροπο ειναι μια προταση μη -πληροτητας,ειναι,ισως,μαλλον,
αληθης αλλα δεν μπορει να αποδειχθει απο τα αξιωματα που εχουμε,
Τωρα,ηρθε η ωρα,αρκετα κρατησε η αναβολη του,να μετρηθουμε με το απειρο,απειροι
αριθμοι,απειροι συνδιασμοι,και πιθανον απειρα θεωρηματα,μ'αλλα λογια,απειρα μαθημα-
τικα,μια πολυπλακοτητα πολλων αριθμων,
ας δουμε ενα,ενα πολυπτυχο απειρου,που με αποσχολει χρονια,και,λογικη συνεπεια,θα
συνεχισει να αποσχολει για χρονια,ισως απειρα,μ'αυτο,καθολου,δεν ειρωνευομαι το
απειρο,
Ειμαι τυφλος,κι ισως γ'αυτο βλεπω καλλιτερα μεσα στο απειρο,η νοηση ταιριαζει στο
απειρο κι οχι η εμπειρικη αισθηση,
εννοω την Zeta Function,την Ζητα Συναρτηση,ζητα το ελληνικο γραμμα,αλλα και με την
εννοια του 'ζηταω':
ζ[s]=Σ1/n >s ,οπου n φυσικος αριθμος απο το 1 ως το απειρο,με > συμβολο του εκθετη
δυναμης,
η ζητα συναρτηση ειναι απειροσειρα,ζ[s]=1+ 1/2>s + 1/3>s + 1/4>s + 1/5>s +...
η οποια αν s>1 συγκλινει,αν s<= 1 τοτε αποκλινει,
για s=2 απεδειξα:ζ[2]=π>2/6
για s περιττο αριθμο τα πραγματα δυσκολευουν,και παρα τις προσπαθειες η τιμη του ζ[3]
παραμενει αλυτο προβλημα,
με τις αριθμοσειρες εχει ασχοληθει κι ο Αρχιμηδης[287-212 π.Χ],μετα το ιδιοφυες θεωρη-
μα του,τον τετραγωνισμο της παραβολης,'ευρηκε' πως η απειρο σειρα Σ 1/4>n συγκλινει,
το 1734,27 χρονω,συνελαβα για πρωτη φορα,την ιδεα της γενικευσης της πολυωνυμιακης
παραγοντοποιησης στις υπερβατικες συναρτησεις,
Επικοινωνησα με τον Daniel Bernoulli γραφοντας του:
1+1/4+1/9+1/16+...=π>2/6
1+ 1/2>4 + 1/3>4 + 1/4>4 +...= π>4/90
το De summis serierum
παρατηρησα πως:ζ[2]=[1+ 1/3>2 +1/5>2+...]+ 1/4 ζ[2] κι απ'αυτο εξαγεται ζ(2) = π>2/6.
και με παρομοιους συλλογισμους:
1- 1/3>3 + 1/5>3 - 1/7?>3 +...= π>3/32
1 + 1/3>4 + 1/5>4 +...= π>4/96
και κατα συνεπεια ζ[4) = π>4/90.
ομοια,συνεχισα τους υπολογισμους με τις σειρες με εκθετες,5,6,7,8
τη σχεση: π / 2 ριζα του 2 =1+1/3 -1/5-1/7+1/9+1/11-... την αποδιδω στον Νευτωνα,
Newton,
το 1737 εγραψα ενα αρθρο με τον τιτλο: Variae Observationes circa series infinitas
και για πρωτη φορα εδω απεδειξα:
ζ[s]= 2>s.3>s.5>s.7>s.11>s... / [2>s-1][3>s-1][5>s-1][7>s-1][11>s-1]....
κι ενα απο τα θεωρηματα μου ειναι η προταση:
Σ 1/p ~ log Σ 1/n ,για ολους τους πρωτους αριθμους p,
βρηκα ακομα:
1-3+5-7+...=0
1-3>3+5>3-7>3+...=0
1-2+3-4+...=1/4
1-2>3+3>3-4>3+...=- 1/8
1-2>5+3>5-4>5+...=1/4
1-2>7+3>7-4>7+...=- 17/16
1-2>2+3>2-4>2+...=0
1-2>4+3>4-4>4+...=0
1-2>6+3>6-4>6+...=0
αυτα,αφου ορισα τη συναρτηση:f(x) = 1 + x + x>2 +...|+ x>n + ... = 1/(1- x) if lx| < 1.
θετωντας χ=-1 βρηκα:
1- 1 + 1- 1 +... = 1/2
και στη :f(x) εφαρμοζοντας τον τελεστη παραγωγισης x(d/dx),τοτε:
x d/dx f (x) = x + 2x>2 + 3x>3 +...=x / [1-x>2]
και θετωντας x =-1 εχω: 1-2 +3-4+...=1/4
εφαρμοζωντας ξανα τον τελεστη παραγωγισης βρισκω:
x+2>2.x>2+3>2. x>3 +...=x[1+x] / [1-x]>2
και θετωντας x =-1 εχω 1-2>2+3>2-...=0
1866,Ιταλια,Lago Maggiore,Selasca,
ο Bernhard Riemann σκεφτονταν την Zeta Function και μια φανταστικη συναντηση του με
τον τυφλο ελβετο μαθηματικο Leonhard Euler στην St. Petersburg το 1783,
εδω ο υγιεινος αερας του εκανε καλο στα πνευμονια του,αισθανονταν καλλιτερα,
'η συναρτηση μου θα εχει ιδιαιτερη θεση στη θεωρια των αριθμων',σκεφτεται,'επειδη
σχετιζεται με το πως κατανεμονται οι πρωτοι αριθμοι΄',
αυτο φιλοδοξει,ενω γνωριζει πολυ καλαι ποσο εμφυτα ντροπαλος ειναι,
'η συνδεση της με τους πρωτους αριθμους,θα ελεγα στον Euler,οφειλεται στη σχεση που
εσεις βρηκατε':
ζ[s]=Π 1 / 1-p>-s , οπου p ανηκει στο συνολο ολων των πρωτων αριθμων, και s μιγαδικος
αριθμος με πραγματικο μερος > 1
'κατεληξα,θα του ελεγα συνεχιζοντας,στης εξης εικασια:
η συναρτηση ζητα ζ μηδενιζεται,εκτος απο τις τιμες s=-2k,k φυσικος αριθμος, μονο για
s με πραγματικη τιμη ιση με 1/2'
'Στην Υποθεση Riemann του 1859'ακουσε τον Leonhard Euler,'οι μη τετριμενες ριζες της
συναρτησης σας,της ζητα συναρτησης του Riemann, ειναι αυτες οι οποιες εχουν πραγματι-
κο μερος ισο με 1/2,κι αυτη η εικασια σου'συνεχισε σχολιαζοντας'θα πονοκεφαλιασει για
αιωνες τους μαθηματικους παραμενοντας αλυτη οπως και η εικασια του Goldbach,εκτος κι
αν το 2017 εδω στην St. Petersburg ασχοληθει μ'αυτη ο Grigori Perelman,The Smartest
Mind of Century,κι ανακαλυφτοντας-την Ριμανεια πολυπλοτητα της την λυσει,η' καταληξει
μια προταση μη -πληροτητας,αληθης,αλλα που δεν μπορει να αποδειχθει απο τα αξιωμα
τα που εχουμε,
.
.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου