I Am a Greek European Worldwidel Man-Now!- www.artpoeticacouvelis.blogspot.com

I Am a Greek European Worldwide Man-Now!-

www.artpoeticacouvelis.blogspot.com

Τρίτη, 14 Νοεμβρίου 2017

LITTERATURE-ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΑ -ΘΕΩΡΗΜΑ-ΣΗΜΕΙΟ STEINER- Ενας Μαθηματικος Διαλογος για την Ευρεση της Αποδειξης του Θεωρηματος-Σημειο Steiner [Κατα τον Διαλογικον Τροπον του Πλατωνα]-χ.ν.κουβελης c.n.couvelis- ΚΕΙΜΕΝΑ-TEXTS-Χ.Ν.Κουβελης[C.N.Couvelis}

.
.
LITTERATURE-ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΑ
-ΘΕΩΡΗΜΑ-ΣΗΜΕΙΟ STEINER-
Ενας Μαθηματικος Διαλογος για την Ευρεση της Αποδειξης του Θεωρηματος-Σημειο Steiner
[Κατα τον Διαλογικον Τροπον του Πλατωνα]-χ.ν.κουβελης c.n.couvelis
ΚΕΙΜΕΝΑ-TEXTS-Χ.Ν.Κουβελης[C.N.Couvelis}
.
.

ΘΕΩΡΗΜΑ-ΣΗΜΕΙΟ STEINER-χ.ν.κουβελης c.n.couvelis

Ενας Μαθηματικος Διαλογος για την Ευρεση της Αποδειξης του Θεωρηματος-Σημειο Steiner
[Κατα τον Διαλογικον Τροπον του Πλατωνα]-χ.ν.κουβελης c.n.couvelis

ΘΕΩΡΗΜΑ-ΣΗΜΕΙΟ STEINER
Στο εξωτερικο του τριγωνου ΑΒΓ σχηματιζουμε τα ισοπλευρα τριγωνα ΒΓΑ',ΑΓΒ',ΑΒΓ'.
Τα ευθυγραμμα τμηματα ΑΑ',ΒΒ',ΓΓ' διερχονται απο το ιδιο σημειο S,Σημειο Steiner

ο Jakob Steiner[1796 –1863],ο ευρετης αυτου του θεωρηματος-Σημειο Steiner,ηταν Ελβετος
μαθηματικος,καθαρος γεωμετρης,φανατικος του Ευκλειδη,αυστηρα αποφευγοντας στο
γεωμετρικο του εργο  τις ευκολιες της αναλυτικης γεωμετριας

Ενας Μαθηματικος Διαλογος για την Ευρεση της Αποδειξης του Θεωρηματος-Σημειο Steiner:

-Ας ξκινησουμε την Γοητευτικη Περιπετεια του Θεωρηματος-Σημειο Steiner,
εισαι ετοιμος;
-Ναι,ειμαι
-Ας ονομασουμε τη συζητηση μας--Ευρεση του Θεωρηματος-.Συμφωνεις;
-Και βεβαια συμφωνω.Ας την ονομασουμε ετσι
-Ωραια.Απο θεωρηματα του Ευκλειδη δεν γνωριζουμε πως οι διχοτομοι,τα υψη,οι διαμεσοι,
οι μεσοκαθετες σ'ενα τριγωνο διερχονται απο το ιδιο σημειο,αντιστοιχα;
-Πολυ καλα γνωριζουμε
-Κατα καποιον τροπο δεν θα μπορουσαμε να  κατασκευασουμε κι αλλες τετοιες τριαδες
συντρεχουσων ευθυγραμμων τμηματων στο τριγωνο;
-Οπως φαινεται,ναι
-Ορθα.
[Σχεδιαζει]
Ας τα ονομασουμε ΑΑ',ΒΒ',ΓΓ',τα σημεια Α,Β,Γ ειναι τα σημεια-κορυφες του τριγωνου ΑΒΓ,
τα σημεια Α',Β',Γ'ας τα αναζητησω εκτος του χωρου του τριγωνου ΑΒΓ,
-Φυσικα,εκει ας τα αναζητησουμε
-Το Α' στο απεναντι ημιεπιπεδο του Α που οριζεται με συνορο την ευθεια ΒΓ,
Ομοια,
το Β' στο απεναντι ημιεπιπεδο του Β που οριζεται με συνορο την ευθεια ΑΓ
το Γ' στο απεναντι ημιεπιπεδο του Β που οριζεται με συνορο την ευθεια ΑΒ,
-Σωστα,αυτα ας γινουν ετσι
-Τωρα ας περιορισουμε την απειρια τους.Ετσι δεν πρεπει;
-Ετσι πρεπει
-Ας δουμε,τα διαφορα μεγεθη απειριων
1.ας κινουνται σε γνωστες ευθειες,αρκετη-απειρια ευθειων και σημειων
-Πραγματικα,οπως βλεπουμε,αρκετη απειρια ευθειων και σημειων
-Συνεχιζω.Σχεδιαζοντας.
2.ας περιορισουμε αυτη την αρκετη-απειρια ευθειων και σημειων σε αρκετη-απειρια,μονο,
σημειων,επιλεγοντας ως ευθειες τις μεσοκαθετες ευθειες στις πλευρες του τριγωνου
-Αρκετα λογικο ειναι αυτο
-3.κι ας,επιπλεον,εξαλειψουμε κι αυτη την αρκετη-απειρια σημειων των μεσοκαθετων με τα
σταθερα σημεια Α',Β',Γ' σ'αυτες,που με τα αλλα δυο των τριων πλευρων ΒΓ,ΑΓ,ΑΒ του τριγω-
νου ΑΒΓ δημιουργουν,αντιστοιχα,τα ισοπλευρα τριγωνα ΒΑ'Γ,ΑΒ'Γ,ΑΓ'Β
-Ορθα,αυτο πρεπει.
-Και τωρα
4.ας σχεδιασουμε καποιο αριθμο τριγωνων ΑΒΓ,κι ας βρω σ'αυτα τα Α',Β',Γ' δημιουργωντας
τα εκαστοτε ισοπλευρα τριγωνα ΒΑ'Γ,ΑΒ'Γ,ΑΓ'Β
-Ας σχεδιαστουν,οσα χρειαζονται
-[Σχεδιαζει]Δεν ειναι γνωστη η γεωμετρικη κατασκευη των Α'.Β'Γ';
-Και βεβαια ειναι.Τα Α',Β',Γ' ειναι τα σημεια τομης των μεσοκαθετων των πλευρων του τριγω-
νου ΑΒΓ με τους κυκλους που εχουν κεντρο τις κορυφες τους τριγωνου Α,Β,Γ και ακτινα ισο
με το μηκος των τριων πλευρων ΒΓ,ΓΑ,ΑΒ,αντιστοιχα
-Πολυ ορθα.Αυτη ειναι η γεωμετρικη κατασκευη τους.
Ας φερουμε,καθε φορα,στα διαφορα σχεδια μας,τα ευθυγραμμα τμηματα ΑΑ',ΒΒ',ΓΓ'
[σχεδιαζει]
Τι παρατηρεις;
-Πως συντρεχουν
-Αυτη η παρατηρηση δεν ειναι η εμπειρικη αποδειξη του θεωρηματος;
-Εμπειρικη.Χωρις αντιρρηση.
-Ας προχωρησουμε,λοιπον, στην ευρεση-προγραμμα  της καθαρης γεωμετρικης αποδειξης
-Και βεβαια,ας προχωρησουμε
-[Δειχνοντας το σχημα]
1.Παρατηρουμε πως το σχημα εχει αδιαφορια-ελευθερια.
Τιποτα δεν θα αλλαζε στο θεωρημα αν αλλαξουμε τις θεσεις,αριστερα η' δεξια,των σημειων
Α,Β,Γ και των αντιστοιχων Α'Β'Γ'
-Πραγματικα,τιποτα
-Επομενως και τις θεσεις των ΑΑ',ΒΒ',ΓΓ';
-Φυσικα κι αυτες
-Συνεχιζουμε
2.Απο αυτη την αδιαφορια-ελευθερια δεν συμπεραινουμε πως και οι τρεις γωνιες,ΒSΓ,ΓSΑ,
ΑSΒ,που συναποτελουν την πληρη γωνια στο S,το σημειο συγκλισης,ειναι αδιαφορες;
-Το συμπεραινουμε
-Επομενως καθε μια μαλλον θα ειναι ιση με το 1/3 της πληρους γωνιας S,η οποια ειναι ιση με
4 ορθες,τοτε καθε μια απο τις γωνιες  ΒSΓ,ΓSΑ,ΑSΒ ειναι ιση με τα 4/3 της ορθης
-Ακριβως,μαλλον αυτο θα ειναι
-3.Τωρα,φανερο ειναι,πως η καθε γωνια ΒSΓ,ΓSΑ,ΑSΒ ιση με τα 4/3 της ορθης ειναι παραπλη-
ρωματικη,εχει αθροισμα 2 ορθες,αντιστοιχα,με τις γωνιες Α',Β',Γ',ιση η καθεμια με τα 2/3 της
ορθης,ως γωνιες των αντιστοιχων ισοπλευρων τριγωνων ΒΑ'Γ,ΓΒ'Α,ΑΓ'Β
-Φυσικα,αφου 4/3 ορθης+2/3 ορθης=6/3 ορθης=2 ορθες
-Πολυ καλα.
Τοτε 4.Απο αυτη την παραπληρωματικοτητα των απεναντι γωνιων δεν οδηγουμαστε να τις
τοποθετησουμε απεναντι γωνιες σε τετραπλευρα;
-Μπορουμε,κι επειδη ειναι απεναντι και παραπληρωματικες γωνιες σ'αυτα τα τετραπλευρα,
τοτε τα τετραπλευρα ειναι εγγραψιμα,
δηλαδη αυτες οι γωνιες:
ΒSΓ,Α' στο εγγραψιμο τετραπλευρο ΒSΓΑ'
ΓSΑ,Β' στο εγγραψιμο τετραπλευρο ΓSΑΒ'
ΑSΒ,Γ' στο εγγραψιμο τετραπλευρο ΑSΒΓ'
-Αυτο ειναι.Κι οπως φαινεται δεν θα χρησιμοποιησουμε στα εγγραψιμα τετραπλευρα το
θεωρημα του Ευκλειδη;
Σ'ενα τετραπλευρω αν μια πλευρα του βλεπεται απο τις δυο αλλες απεναντι κορυφες του υπο
ισες γωνιες,τοτε το τετραπλευρο ειναι εγγραψιμο
-Οπωσδηποτε.Και το αντιστροφο του.
Σε καθε εγγραψιμο τετραπλευρο μια πλευρα του οι δυο απεναντι της κορυφες του τη βλε-
πουν υπο ισες γωνιες
-Ωραια.Ας προχωρησουμε το ευρετικο μας προγραμμα.
Και τοτε
5.Απο την παραπανω παρατηρηση θα προσπαθησουμε να εξαγουμε τις γωνιες ΒSΓ,ΓSΑ,ΑSΒ
ισες με τα 4/3 της ορθης,αντιστοιχα,εκμεταλευομενοι,οπως βλεπουμε,τα αντιστοιχα ισα
τριγωνα,
ΒΑΒ',ΓΑΓ'με κοινη κορυφη,γωνια,Α
Γ'ΒΓ,ΑΒΑ'με κοινη κορυφη,γωνια,Β
Α'ΓΑ,ΒΓΒ' με κοινη κορυφη,γωνια,Γ
-Αυτο ακριβως θα κανουμε
-6.Λογω της αδιαφοριας-ελευθεριας του σχηματος θα επικεντρωθουμε μονο σε μια απ'αυτες
τις δυαδες των ισων τριγωνων,ετσι δεν ειναι;
-Βεβαιως.Ναι
-Ας επιλεξουμε την ΒΑΒ',ΓΑΓ'με κοινη κορυφη,γωνια,Α
-Σωστα,αυτη
-Και 7.Θα υποθεσουμε πως τα ΑΑ',ΒΒ',ΓΓ' δεν συντρεχουν ,και θα αποδειξουμε πως απο το
σημειο τομης S των δυο διερχεται και η τριτη.Συμφωνεις;
-Και βεβαια συμφωνω.
-Ως εκ τουτου,λοιπον,λογω της προηγουμενης επιλογης των ισων τριγωνων ΒΑΒ',ΓΑΓ'με κοινη
κορυφη,γωνια,Α,επιλεγω τα ΒΒ',ΓΓ' με κοινο σημειο S
Και θα αποδειξω πως τα σημεια Α,S,Α' ειναι συνευθειακα
-Ακριβως,αυτο
-Επομενως τα ευθυγραμμα τμηματα ΑΑ',ΒΒ',ΓΓ' διερχονται απο το ιδιο σημειο S,
Αυτο που ζητουσαμε.
Ετσι 8.τωρα,ακολουθωντας αυτα τα νοητικα βηματα θα αποδειξουμε το ΘΕΩΡΗΜΑ-
ΣΗΜΕΙΟ STEINER
'Στο εξωτερικο του τριγωνου ΑΒΓ σχηματιζουμε τα ισοπλευρα τριγωνα ΒΓΑ',ΑΓΒ',ΑΒΓ'.
Τα ευθυγραμμα τμηματα ΑΑ',ΒΒ',ΓΓ' διερχονται απο το ιδιο σημειο S,Σημειο Steiner'
.
.

Αποδειξη:
Ονομαζω S το σημειο που τεμνονται τα ευθυγραμμα τμηματα ΒΒ',ΓΓ'.
Τα τριγωνα ΒΑΒ',ΓΑΓ' ειναι ισα,
επειδη εχουν δυο πλευρες ισες ΑΒ=ΑΓ',ΑΒ'=ΑΓ,απο τα ισοπλευρα τριγωνα ΑΓ'Β',ΑΒ'Γ,
αντιστοιχα,
και τις περιεχομενες γωνιες ισες,γωνια ΒΑΒ'=γωνια ΓΑΓ',
επειδη:γωνια ΒΑΒ'=γωνια ΒΑΓ+γωνια ΓΑΒ'[=2/3 της ορθης],
και γωνιαΓΑΓ'=γωνια ΓΑΒ+γωνια ΒΑΓ'[=2/3 της ορθης],
τοτε εχουν γωνια ΑΒ'S=γωνια ΑΓS,
επομενως το τετραπλευρο ΑΒ'ΓS ειναι εγγραψιμο σε κυκλο,
και σαν εγγραψιμο εχει τις απεναντι γωνιες ΑSΓ,AΒ'Γ παραπληρωματικες[=2 ορθες] ,
η γωνια ΑΒ'Γ=2/3 της ορθης,τοτε η γωνια ΑSΓ=4/3 της ορθης,
ομοιως,
απο την ισοτητα και των δυο αλλων γωνιων ΑΒS,ΑΓ'S
το τετραπλευρο ΑSΒΓ' ειναι εγγραψιμο σε κυκλο,
και σαν εγγραψιμο εχει τις απεναντι γωνιες ΑSΒ,ΑΓ'Β παραπληρωματικες,
η γωνια ΑΓ'Β=2/3 της ορθης,τοτε η γωνια ΑSΒ=4/3 της ορθης,
Απο την πληρη γωνια S εχουμε:γωνια ΒSΓ+ γωνια ΑSΓ+ γωνια ΑSΒ=4 ορθες
η' γωνια ΒSΓ=4 ορθες-[ γωνια ΑSΓ+ γωνια ΑSΒ ]=4 ορθες-[4/3 της ορθης+4/3 της ορθης]=
4/3 της ορθης
τοτε εχουμε τις γωνια ΒSΓ,ΒΑ'Γ[=2/3 της ορθης],παραπληρωματικες
κι επομενως το ΒSΓΑ' ειναι εγγραψιμο τετραπλευρο,
οπου η γωνια ΒSΑ' ιση με τη γωνια ΒΓΑ'[=2/3 της ορθης]
κι απ'αυτο εχουμε:
γωνια ΑSΑ'=γωνια ΑSΒ+γωνια ΒSΑ'=4/3 της ορθης+2/3 της ορθης=2 ορθες,ευθεια γωνια,
τοτε τα σημεια Α,S,Α' ειναι συνευθειακα,η ΑSΑ' ευθεια
Επομενως:
Τα ευθυγραμμα τμηματα ΑΑ',ΒΒ',ΓΓ' διερχονται απο το ιδιο σημειο S,Σημειο Steiner
οπερ εδει δειξαι
.
.

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου