.
.
LITTERATURE-ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΑ
ΚΕΙΜΕΝΑ-TEXTS-Χ.Ν.Κουβελης[C.N.Couvelis}
.
.
[Στον Πλατωνα]
Η ΔΙΑΛΕΚΤΙΚΗ-ΜΑΙΕΥΤΙΚΗ-ΜΕΘΟΔΟΣ ΣΤΗ ΛΥΣΗ ΕΝΟΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ
-χ.ν.κουβελης
.
Δασκαλος:αν σ'ενα τριγωνο γνωριζουμε μια γωνια του,το υψος του προς την απεναντι
αυτης της γωνιας πλευρας του και την περιμετρο του,μπορουμε να το κατασκευασουμε;
Μαθητης:δυσκολο,μου φαινεται
Δ:ας το δουμε.Τι εννοω λεγοντας να το δουμε;
Μ:να σχεδιασουμε,φυσικα
Δ:πολυ ορθα.Σχεδιαζω το σχημα 1.ΑΒΓ το τριγωνο,με τη γωνια ΒΑΓ γνωστη,και το υψος υ απο
την κορυφη Α στην πλευρα ΒΓ γνωστο,με την περιμετρο του τ,ΑΒ συν ΒΓ συν ΓΑ γνωστη.
Μ:το βλεπω
Δ:απο αυτο μπορουμε να δουμε κατι που μπορει να μας βοηθησει;
Μ:οχι,δεν βλεπω,ευκολα κατι.
Δ:σχεδιαζω το σχημα 2,τωρα βλεπεις κατι;
Μ:οχι,δεν βλεπω
Δ:σχεδιαζω και το σχημα 3,τωρα;
Μ:ουτε τωρα.
Δ:γιατι;
Μ:να,δεν με ικανοποιουν,νομιζω πως αυτο ειναι
Δ:μηπως δεν σε ικανοποιουν επειδη δεν σ'αρεσουν,δεν ειναι ομορφα;
Μ:αυτο ειναι,δεν ειναι ομορφα
Δ:ποτε ειναι κατι ομορφο;
Μ:φυσικα οταν εχει αναλογιες
Δ:ορθα λες,δηλαδη οταν κατι εχει συμμετρια.
Μ:ναι,ορθα,συμμετρια.
Δ:ας σχεδιασω το σχημα 4,τοτε βλεπεις αυτο να εχει καποια συμμετρια;
Μ:ναι,τωρα βλεπω να εχει συμμετρια
Δ:με βαση το σχημα 4 σχεδιαζω το σχημα 5
οπου παιρνω στη βαση,το ΒΔ προς το μερος του ΑΒ και ισο του,και το ΓΕ προς το
μερος του ΑΓ και ισο του,τωρα σου φαινεται περισσοτερο συμμετρικο;
Μ:φυσικα,περισσοτερο συμμετρικο
Δ:τα τριγωνα ΑΒΔ,ΑΓΕ τοτε δεν ειναι ισοσκελη;
Μ:ορθα και ειναι,αφου εχουν δυο πλευρες ισες,την ΒΑ ιση με την ΒΔ τοτε το τριγωνο ΑΒΔ
ειναι ισοσκελες,και την ΓΑ ιση με την ΓΕ τοτε το τριγωνο ΑΓΕ τριγωνο ειναι ισοσκελες
Δ:τα ισοσκελη τριγωνα δεν γνωριζουμε πως εχουν τις παρα την βασιν γωνιες ισες;
αυτο απο τα Στοιχεια του Ευκλειδη
Μ:βεβαια ετσι ειναι απο τον Ευκλειδη,η γωνια ΔΑΒ ιση με την ΒΔΑ γωνια στο τριγωνο ΑΒΔ,
και η γωνια ΕΑΓ ιση με την ΓΕΑ γωνια στο τριγωνο ΑΓΕ
Δ:ορθα λες,τοτε η γωνια ΑΒΓ ειναι εξωτερικη γωνια στο τριγωνο ΑΒΔ και ειναι ιση με το
αθροισμα των απεναντι εσωτερικων γωνιων του,την ΔΑΒ συν την ΒΔΑ
Μ:ετσι ειναι,και η γωνια ΑΓΒ ειναι εξωτερικη γωνια στο τριγωνο ΑΓΕ και ειναι ιση με το
αθροισμα των απεναντι εσωτερικων γωνιων του,την ΕΑΓ συν την ΓΕΑ
Δ:ορθα,τοτε εχουμε την ΑΒΓ ιση με την ΔΑΒ συν την ΒΔΑ,κι επειδη η ΔΑΒ ιση με την ΒΔΑ
τοτε η ΑΒΓ ειναι διπλασια απο καθεμια απο τις ΒΔΑ,ΔΑΒ
Μ:φυσικα ετσι ειναι, ακομα εχουμε την ΑΓΒ ιση με την ΕΑΓ συν την ΓΕΑ,κι επειδη η ΕΑΓ
ιση με την ΓΕΑ τοτε η ΑΓΒ ειναι διπλασια απο καθεμια απο τις ΓΕΑ, ΕΑΓ
Δ:ετσι ειναι,και η γωνια ΔΑΕ ειναι ιση με το αθροισμα των τριων γωνιων,ΔΑΒ,ΒΑΓ,ΕΑΓ,
επειδη η γωνια ΔΑΒ ειναι ιση με το ημισυ της γωνιας ΑΒΓ και η γωνια ΕΑΓ ειναι ιση με το ημισυ
της γωνιας ΑΓΒ τοτε η γωνια ΔΑΕ ειναι ιση με το αθροισμα της γωνιας ΒΑΓ συν το ημισυ του
αθροισματος των γωνιων ΑΒΓ και ΑΓΒ
Μ:και βεβαια ειναι
Δ:και σε καθε τριγωνο το αθροισμα των γωνιων του δεν ειναι ισο με δυο ορθες;
Μ:απο τον Ευκλειδη αυτο ειναι
Δ:τοτε και στο τριγωνο ΑΒΓ το αθροισμα των τριων γωνιων του,ΒΑΓ,ΑΓΒ,ΑΒΓ ειναι ισο με
δυο ορθες
Μ:ειναι
Δ: τοτε το αθροισμα των γωνιων ΑΒΓ και ΑΓΒ ειναι ισο με δυο ορθες μειον την γωνια ΒΑΓ;
Μ:φυσικα αυτο εξαγεται
Δ:και το ημισυ του αθροισματος των γωνιων ΑΒΓ και ΑΓΒ δεν ειναι ισο με μια ορθη γωνια
μειον το ημισυ της γωνιας ΒΑΓ;
Μ:ορθα
Δ:τοτε η γωνια ΔΑΕ ειναι ιση με μια ορθη γωνια συν το ημισυ της γωνιας ΒΑΓ και ειναι γνωστη
γωνια
Μ:φαινεται να ειναι ετσι
Δ:στο τριγωνο ΔΑΕ τοτε εχουμε μια γωνια γνωστη,την ΔΑΕ,επισης το υψος υ απ'αυτη την
κορυφη Α στην απεναντι πλευρα ΔΕ γνωστο ,κι αυτη την απεναντι πλευρα ιση με τ,την
δοσμενη περιμετρο του αρχικα ζητουμενου να κατασκευασθει τριγωνου ΑΒΓ
Μ:αληθεια,αυτο εχουμε
Δ:αυτο το τριγωνο ΔΑΕ μπορει να κατασκευασθει;
Μ:φυσικα,ευκολα μπορει
Δ:κι αν αυτο κατασκευασθει τοτε κατασκευαζεται και το τριγωνο ΑΒΓ το οποιο ειναι το
ζητουμενο;
Μ:ναι,το ζητουμενο τριγωνο ΑΒΓ θα κατασκευασθει.
Δ:πως λοιπον μπορει να γινει αυτο;πες
Μ:πρωτον,ας αρχισουμε να σχεδιαζουμε το σχημα 6 θα κατασκευασθει μια γωνια ιση με την
γωνια ΔΑΕ,σε μια πλευρα αυτης της γωνιας θα παρουμε τμημα,με αρχη την κορυφη της,ισο
με τ την περιμετρο του ΑΒΓ,κι ας το ονομασουμε ΔΕ
Δ:πως προχωραμε;συνεχισε
Μ:εχοντας υπ'οψιν το θεωρημα:
η γωνια η υπο χορδης και εφαπτομενης ενος κυκλου στο ακρο της χορδης ειναι ιση με την
εγγεγραμμενη γωνια του κυκλου αντιστοιχη στο τοξο της χορδης,
απ'αυτο το θεωρημα συνεπαγεται πως η κορυφη Α ανηκει στον γεωμετρικο τοπο του κυκλου
κι επιπλεον επειδη αυτη απεχει αποσταση ιση με υ απο την χορδη τοτε ανηκει στον γεωμετρικο
τοπο της παραλληλης ευθειας στην χορδη σε αποσταση υ κι επομενως η ζητουμενη κορυφη Α
ειναι η τομη αυτων των δυο γεωμετρικων τοπων
Δ:πρεπει να κατασκευασθουν αυτοι οι δυο γεωμετρικοι τοποι
Μ:ναι,για να κατασκευασουμε τον πρωτο γεωμετρικο τοπο του κυκλου πρεπει να βρουμε το
κεντρο του,αυτο βρισκεται στην τομη της μεσοκαθετου της χορδης με την καθετο στην αλλη
πλευρα της γωνιας στην κορυφη της γωνιας αυτης
Δ:πολυ ορθα
Μ:τοτε με κεντρο αυτο το σημειο τομης και ακτινα την αποσταση του απο το ενα ακρο
της χορδης γραφουμε τον ζητουμενο κυκλο
Δ:πολυ ορθα,συνεχισε
Μ:δες το σχημα 7,φερνουμε παραλληλη ευθεια προς την χορδη σε αποσταση ιση με υ απο
αυτην,η τομη του κυκλου και αυτης της παραλληλης ευθειας ειναι το ζητουμενο σημειο,το Α,
η κορυφη του τριγωνου ΑΒΓ το οποιο θελουμε να κατασκευασουμε
Δ:βεβαιως αυτο ειναι,αφου κατασκευασες το τριγωνο ΔΑΕ συνεχισε
Μ:συνεχιζω σχεδιαζοντας το σχημα 8,
στο τριγωνο ΔΑΕ στη μια πλευρα του την ΑΔ φερνω την μεσοκαθετο σ'αυτη η οποια
τεμνει την πλευρα του ΔΕ στο σημειο Β,συνδεω το Β με το Α,τοτε το τριγωνο ΑΒΔ ειναι
ισοσκελες με την ΑΒ ιση με την ΔΒ
Δ:ορθα,ομοια συνεχιζεις
Μ:ναι,ομοια,στην αλλη πλευρα την ΑΕ του τριγωνου ΑΔΕ φερνω την μεσοκαθετο σ'αυτη
η οποια τεμνει την ΔΕ στο σημειο Γ,συνδεω το Γ με το Α,τοτε το τριγωνο ΑΓΕ ειναι ισοσκελες
με την ΑΓ ιση με την ΕΓ
Δ:ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
Μ:ακριβως αυτο το οποιο επρεπε να κατασκευασθει,το ενδιαμεσο τριγωνο ΑΒΓ ειναι το
ζητουμενο το οποιο θελαμε να κατασκευασουμε,με δοσμενη μια γωνια του,δοσμενο το
υψος απ'τη κορυφη αυτης της γωνιας στην απεναντι πλευρα του και δοσμενη την περιμετρο
του
Δ:ευ γε, ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
.
LITTERATURE-ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΑ
ΚΕΙΜΕΝΑ-TEXTS-Χ.Ν.Κουβελης[C.N.Couvelis}
.
.
[Στον Πλατωνα]
Η ΔΙΑΛΕΚΤΙΚΗ-ΜΑΙΕΥΤΙΚΗ-ΜΕΘΟΔΟΣ ΣΤΗ ΛΥΣΗ ΕΝΟΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ
-χ.ν.κουβελης
.
Δασκαλος:αν σ'ενα τριγωνο γνωριζουμε μια γωνια του,το υψος του προς την απεναντι
αυτης της γωνιας πλευρας του και την περιμετρο του,μπορουμε να το κατασκευασουμε;
Μαθητης:δυσκολο,μου φαινεται
Δ:ας το δουμε.Τι εννοω λεγοντας να το δουμε;
Μ:να σχεδιασουμε,φυσικα
Δ:πολυ ορθα.Σχεδιαζω το σχημα 1.ΑΒΓ το τριγωνο,με τη γωνια ΒΑΓ γνωστη,και το υψος υ απο
την κορυφη Α στην πλευρα ΒΓ γνωστο,με την περιμετρο του τ,ΑΒ συν ΒΓ συν ΓΑ γνωστη.
Μ:το βλεπω
Δ:απο αυτο μπορουμε να δουμε κατι που μπορει να μας βοηθησει;
Μ:οχι,δεν βλεπω,ευκολα κατι.
Δ:σχεδιαζω το σχημα 2,τωρα βλεπεις κατι;
Μ:οχι,δεν βλεπω
Δ:σχεδιαζω και το σχημα 3,τωρα;
Μ:ουτε τωρα.
Δ:γιατι;
Μ:να,δεν με ικανοποιουν,νομιζω πως αυτο ειναι
Δ:μηπως δεν σε ικανοποιουν επειδη δεν σ'αρεσουν,δεν ειναι ομορφα;
Μ:αυτο ειναι,δεν ειναι ομορφα
Δ:ποτε ειναι κατι ομορφο;
Μ:φυσικα οταν εχει αναλογιες
Δ:ορθα λες,δηλαδη οταν κατι εχει συμμετρια.
Μ:ναι,ορθα,συμμετρια.
Δ:ας σχεδιασω το σχημα 4,τοτε βλεπεις αυτο να εχει καποια συμμετρια;
Μ:ναι,τωρα βλεπω να εχει συμμετρια
Δ:με βαση το σχημα 4 σχεδιαζω το σχημα 5
οπου παιρνω στη βαση,το ΒΔ προς το μερος του ΑΒ και ισο του,και το ΓΕ προς το
μερος του ΑΓ και ισο του,τωρα σου φαινεται περισσοτερο συμμετρικο;
Μ:φυσικα,περισσοτερο συμμετρικο
Δ:τα τριγωνα ΑΒΔ,ΑΓΕ τοτε δεν ειναι ισοσκελη;
Μ:ορθα και ειναι,αφου εχουν δυο πλευρες ισες,την ΒΑ ιση με την ΒΔ τοτε το τριγωνο ΑΒΔ
ειναι ισοσκελες,και την ΓΑ ιση με την ΓΕ τοτε το τριγωνο ΑΓΕ τριγωνο ειναι ισοσκελες
Δ:τα ισοσκελη τριγωνα δεν γνωριζουμε πως εχουν τις παρα την βασιν γωνιες ισες;
αυτο απο τα Στοιχεια του Ευκλειδη
Μ:βεβαια ετσι ειναι απο τον Ευκλειδη,η γωνια ΔΑΒ ιση με την ΒΔΑ γωνια στο τριγωνο ΑΒΔ,
και η γωνια ΕΑΓ ιση με την ΓΕΑ γωνια στο τριγωνο ΑΓΕ
Δ:ορθα λες,τοτε η γωνια ΑΒΓ ειναι εξωτερικη γωνια στο τριγωνο ΑΒΔ και ειναι ιση με το
αθροισμα των απεναντι εσωτερικων γωνιων του,την ΔΑΒ συν την ΒΔΑ
Μ:ετσι ειναι,και η γωνια ΑΓΒ ειναι εξωτερικη γωνια στο τριγωνο ΑΓΕ και ειναι ιση με το
αθροισμα των απεναντι εσωτερικων γωνιων του,την ΕΑΓ συν την ΓΕΑ
Δ:ορθα,τοτε εχουμε την ΑΒΓ ιση με την ΔΑΒ συν την ΒΔΑ,κι επειδη η ΔΑΒ ιση με την ΒΔΑ
τοτε η ΑΒΓ ειναι διπλασια απο καθεμια απο τις ΒΔΑ,ΔΑΒ
Μ:φυσικα ετσι ειναι, ακομα εχουμε την ΑΓΒ ιση με την ΕΑΓ συν την ΓΕΑ,κι επειδη η ΕΑΓ
ιση με την ΓΕΑ τοτε η ΑΓΒ ειναι διπλασια απο καθεμια απο τις ΓΕΑ, ΕΑΓ
Δ:ετσι ειναι,και η γωνια ΔΑΕ ειναι ιση με το αθροισμα των τριων γωνιων,ΔΑΒ,ΒΑΓ,ΕΑΓ,
επειδη η γωνια ΔΑΒ ειναι ιση με το ημισυ της γωνιας ΑΒΓ και η γωνια ΕΑΓ ειναι ιση με το ημισυ
της γωνιας ΑΓΒ τοτε η γωνια ΔΑΕ ειναι ιση με το αθροισμα της γωνιας ΒΑΓ συν το ημισυ του
αθροισματος των γωνιων ΑΒΓ και ΑΓΒ
Μ:και βεβαια ειναι
Δ:και σε καθε τριγωνο το αθροισμα των γωνιων του δεν ειναι ισο με δυο ορθες;
Μ:απο τον Ευκλειδη αυτο ειναι
Δ:τοτε και στο τριγωνο ΑΒΓ το αθροισμα των τριων γωνιων του,ΒΑΓ,ΑΓΒ,ΑΒΓ ειναι ισο με
δυο ορθες
Μ:ειναι
Δ: τοτε το αθροισμα των γωνιων ΑΒΓ και ΑΓΒ ειναι ισο με δυο ορθες μειον την γωνια ΒΑΓ;
Μ:φυσικα αυτο εξαγεται
Δ:και το ημισυ του αθροισματος των γωνιων ΑΒΓ και ΑΓΒ δεν ειναι ισο με μια ορθη γωνια
μειον το ημισυ της γωνιας ΒΑΓ;
Μ:ορθα
Δ:τοτε η γωνια ΔΑΕ ειναι ιση με μια ορθη γωνια συν το ημισυ της γωνιας ΒΑΓ και ειναι γνωστη
γωνια
Μ:φαινεται να ειναι ετσι
Δ:στο τριγωνο ΔΑΕ τοτε εχουμε μια γωνια γνωστη,την ΔΑΕ,επισης το υψος υ απ'αυτη την
κορυφη Α στην απεναντι πλευρα ΔΕ γνωστο ,κι αυτη την απεναντι πλευρα ιση με τ,την
δοσμενη περιμετρο του αρχικα ζητουμενου να κατασκευασθει τριγωνου ΑΒΓ
Μ:αληθεια,αυτο εχουμε
Δ:αυτο το τριγωνο ΔΑΕ μπορει να κατασκευασθει;
Μ:φυσικα,ευκολα μπορει
Δ:κι αν αυτο κατασκευασθει τοτε κατασκευαζεται και το τριγωνο ΑΒΓ το οποιο ειναι το
ζητουμενο;
Μ:ναι,το ζητουμενο τριγωνο ΑΒΓ θα κατασκευασθει.
Δ:πως λοιπον μπορει να γινει αυτο;πες
Μ:πρωτον,ας αρχισουμε να σχεδιαζουμε το σχημα 6 θα κατασκευασθει μια γωνια ιση με την
γωνια ΔΑΕ,σε μια πλευρα αυτης της γωνιας θα παρουμε τμημα,με αρχη την κορυφη της,ισο
με τ την περιμετρο του ΑΒΓ,κι ας το ονομασουμε ΔΕ
Δ:πως προχωραμε;συνεχισε
Μ:εχοντας υπ'οψιν το θεωρημα:
η γωνια η υπο χορδης και εφαπτομενης ενος κυκλου στο ακρο της χορδης ειναι ιση με την
εγγεγραμμενη γωνια του κυκλου αντιστοιχη στο τοξο της χορδης,
απ'αυτο το θεωρημα συνεπαγεται πως η κορυφη Α ανηκει στον γεωμετρικο τοπο του κυκλου
κι επιπλεον επειδη αυτη απεχει αποσταση ιση με υ απο την χορδη τοτε ανηκει στον γεωμετρικο
τοπο της παραλληλης ευθειας στην χορδη σε αποσταση υ κι επομενως η ζητουμενη κορυφη Α
ειναι η τομη αυτων των δυο γεωμετρικων τοπων
Δ:πρεπει να κατασκευασθουν αυτοι οι δυο γεωμετρικοι τοποι
Μ:ναι,για να κατασκευασουμε τον πρωτο γεωμετρικο τοπο του κυκλου πρεπει να βρουμε το
κεντρο του,αυτο βρισκεται στην τομη της μεσοκαθετου της χορδης με την καθετο στην αλλη
πλευρα της γωνιας στην κορυφη της γωνιας αυτης
Δ:πολυ ορθα
Μ:τοτε με κεντρο αυτο το σημειο τομης και ακτινα την αποσταση του απο το ενα ακρο
της χορδης γραφουμε τον ζητουμενο κυκλο
Δ:πολυ ορθα,συνεχισε
Μ:δες το σχημα 7,φερνουμε παραλληλη ευθεια προς την χορδη σε αποσταση ιση με υ απο
αυτην,η τομη του κυκλου και αυτης της παραλληλης ευθειας ειναι το ζητουμενο σημειο,το Α,
η κορυφη του τριγωνου ΑΒΓ το οποιο θελουμε να κατασκευασουμε
Δ:βεβαιως αυτο ειναι,αφου κατασκευασες το τριγωνο ΔΑΕ συνεχισε
Μ:συνεχιζω σχεδιαζοντας το σχημα 8,
τεμνει την πλευρα του ΔΕ στο σημειο Β,συνδεω το Β με το Α,τοτε το τριγωνο ΑΒΔ ειναι
ισοσκελες με την ΑΒ ιση με την ΔΒ
Δ:ορθα,ομοια συνεχιζεις
Μ:ναι,ομοια,στην αλλη πλευρα την ΑΕ του τριγωνου ΑΔΕ φερνω την μεσοκαθετο σ'αυτη
η οποια τεμνει την ΔΕ στο σημειο Γ,συνδεω το Γ με το Α,τοτε το τριγωνο ΑΓΕ ειναι ισοσκελες
με την ΑΓ ιση με την ΕΓ
Δ:ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
Μ:ακριβως αυτο το οποιο επρεπε να κατασκευασθει,το ενδιαμεσο τριγωνο ΑΒΓ ειναι το
ζητουμενο το οποιο θελαμε να κατασκευασουμε,με δοσμενη μια γωνια του,δοσμενο το
υψος απ'τη κορυφη αυτης της γωνιας στην απεναντι πλευρα του και δοσμενη την περιμετρο
του
Δ:ευ γε, ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
.
.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου