I Am a Greek European Worldwidel Man-Now!- www.artpoeticacouvelis.blogspot.com

I Am a Greek European Worldwide Man-Now!-

www.artpoeticacouvelis.blogspot.com

Δευτέρα, 26 Σεπτεμβρίου 2016

LITTERATURE-ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΑ -Ευκλειδη Στοιχεια,Βιβλιο Β',Προταση ια' [μεταφραση σχολια-χ.ν.κουβελης]- ΚΕΙΜΕΝΑ-TEXTS-Χ.Ν.Κουβελης[C.N.Couvelis}

.
.
LITTERATURE-ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΑ
-Ευκλειδη Στοιχεια,Βιβλιο Β',Προταση ια'
[μεταφραση σχολια-χ.ν.κουβελης]-
ΚΕΙΜΕΝΑ-TEXTS-Χ.Ν.Κουβελης[C.N.Couvelis}
.
.
Ευκλειδη Στοιχεια-Βιβλιο Β-Προταση ια-c.n.couvelis χ.ν.κουβελης
.
.













Ευκλειδη Στοιχεια,Βιβλιο Β',Προταση ια'
[μεταφραση σχολια-χ.ν.κουβελης]

ια΄. Τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν τεμεῖν ὥστε τὸ ὑπὸ τῆς ὅλης καὶ τοῦ ἑτέρου τῶν τμημάτων
περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον εἶναι τῷ ἀπὸ τοῦ λοιποῦ τμήματος τετραγώνῳ

Ἔστω ἡ δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΑΒ· δεῖ δὴ τὴν ΑΒ τεμεῖν ὥστε τὸ ὑπὸ τῆς ὅλης καὶ τοῦ ἑτέρου
τῶν τμημάτων περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον εἶναι τῷ ἀπὸ τοῦ λοιποῦ τμήματος τετραγώνῳ.

Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον τὸ ΑΒΔΓ, καὶ τετμήσθω ἡ ΑΓ δίχα κατὰ τὸ Ε
σημεῖον, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΕ, καὶ διήχθω ἡ ΓΑ ἐπὶ τὸ Ζ, καὶ κείσθω τῇ ΒΕ ἴση ἡ ΕΖ, καὶ ἀναγεγράφθω ἀπὸ τῆς ΑΖ τετράγωνον τὸ ΖΘ, καὶ διήχθω ἡ ΗΘ ἐπὶ τὸ Κ· λέγω, ὅτι ἡ ΑΒ
τέτμηται κατὰ τὸ Θ, ὥστε τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΘ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ποιεῖν τῷ
ἀπὸ τῆς ΑΘ τετραγώνῳ.
Ἐπεὶ γὰρ εὐθεῖα ἡ ΑΓ τέτμηται δίχα κατὰ τὸ Ε, πρόσκειται δὲ αὐτῇ ἡ ΖΑ, τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν
ΓΖ, ΖΑ περιεχόμενον ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΕ τετραγώνου ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς
ΕΖ τετραγώνῳ. ἴση δὲ ἡ ΕΖ τῇ ΕΒ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΑ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΕ ἴσον ἐστὶ
τῷ ἀπὸ ΕΒ. ἀλλὰ τῷ ἀπὸ ΕΒ ἴσα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΒΑ, ΑΕ· ὀρθὴ γὰρ ἡ πρὸς τῷ Α γωνία· τὸ
ἄρα ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΑ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΕ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΒΑ, ΑΕ. κοινὸν ἀφῃρήσθω
τὸ ἀπὸ τῆς ΑΕ· λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΑ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ
τῆς ΑΒ τετραγώνῳ. καί ἐστι τὸ μὲν ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΑ τὸ ΖΚ· ἴση γὰρ ἡ ΑΖ τῇ ΖΗ· τὸ δὲ ἀπὸ
τῆς ΑΒ τὸ ΑΔ· τὸ ἄρα ΖΚ ἴσον ἐστὶ τῷ ΑΔ. κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ΑΚ· λοιπὸν ἄρα τὸ ΖΘ τῷ
ΘΔ ἴσον ἐστίν. καί ἐστι τὸ μὲν ΘΔ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΘ· ἴση γὰρ ἡ ΑΒ τῇ ΒΔ· τὸ δὲ ΖΘ τὸ
ἀπὸ τῆς ΑΘ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΘ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΘΑ
τετραγώνῳ.
Ἡ ἄρα δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΑΒ τέτμηται κατὰ τὸ Θ ὥστε τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΘ περιεχόμενον
ὀρθογώνιον ἴσον ποιεῖν τῷ ἀπὸ τῆς ΘΑ τετραγώνῳ· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.

[μεταφραση χ.ν.κουβελης]

ια'.την δοσμενη ευθεια να τμησουμε ωστε το υπο ολης και του αλλου των τμηματων
περιεχομενο ορθογωνιο ισο να ειναι με του υπολοιπου τμηματος το τετραγωνο

Εστω η δοσμενη ευθεια η ΑΒ,πρεπει την ΑΒ να τμησουμε ωστε το υπο ολης και του
αλλου των τμηματων περιεχομενο ορθογωνιο ισο να ειναι με του υπολοιπου τμηματος
το τετραγωνο
Ας εχει αναγραφθει λοιπον απο της ΑΒ τετραγωνο το ΑΒΔΓ,και ας εχει τμηθει η ΑΓ στα δυο
κατα το Ε σημειο,κι ας εχει συνδεθει η ΒΕ,κι ας εχει προεκταθει η ΓΑ στο Ζ,κι ας εχει παρθει
στην ΒΕ ιση η ΕΖ,και ας εχει αναγραφθει απο της ΑΖ τετραγωνο το ΖΘ,,κι ας εχει προε-
κταθει η ΗΘ στο Κ,
λεγω,οτι η ΑΒ εχει τμηθει κατα το Θ,ωστε το υπο των ΑΒ,ΒΘ περιεχομενον ορθογωνιο
ισο να γινεται στο απο της ΑΘ τετραγωνο
Επειδη λοιπον η ευθεια η ΑΓ τεμνεται στα δυο στο Ε,προσκειται δε σ'αυτη η ΖΑ,επομενως
το υπο των ΓΖ,ΖΑ περιεχομενο ορθογωνιο μετα του απο της ΑΕ τετραγωνου ισο ειναι στο
απο της ΕΖ τετραγωνου, [Προταση στ']
ιση δε η ΕΖ στη ΕΒ,επομενως το υπο των ΓΖ,ΖΑ [ορθογωνιο]μετα του απο της ΑΕ
[τετραγωνου]ισο ειναι στο απο της ΕΒ[τετραγωνου],αφου στο απο ΕΒ [τετραγωνο]
ισα ειναι τα απο ΒΑ,ΑΕ [τετραγωνα],επειδη ορθη η προς το Α γωνια][Πυθαγορειο
Θεωρημα στο ορθογωνιο τριγωνο ΑΒΕ],
επομενως το υπο των ΓΖ,ΖΑ [ορθογωνιο]μετα του απο της ΑΕ[τετραγωνου]ισο ειναι
στα απο των ΒΑ,ΑΕ [τετραγωνα],κι ας αφαιρεσω το κοινο απο της ΑΕ[τετραγωνο],
λοιπον τοτε το υπο των ΓΖ,ΖΑ περιεχομενο ορθογωνιο ισο ειναι στο απο της ΑΒ
τετραγωνο,
και ειναι το υπο των ΓΖ,ΖΑ[ορθογωνιο]το ΖΚ[ορθογωνιο],
αφου ιση η ΑΖ στη ΖΗ,το δε απο της ΑΒ[τετραγωνο]το ΑΔ[τετραγωνο],τοτε το ΖΚ[ορθο-
γωνο]ισο ειναι στο ΑΔ [τετραγωνο] ,κι ας αφαιρεσω το κοινο ΑΚ [ορθογωνιο],
λοιπον τοτε το ΖΘ [τετραγωνο] στο ΘΔ [ορθογωνιο] ισο ειναι,και ειναι το μεν ΘΔ
[ορθογωνιο]το υπο των ΑΒ,ΒΘ [ορθογωνιο],αφου ιση η ΑΒ στη ΒΔ,το δε ΖΘ [τετραγωνο]
το απο της ΑΘ [τετραγωνο],
τοτε το υπο των ΑΒ,ΒΘ περιεχομενο ορθογωνιο ισο ειναι στο απο ΘΑ τετραγωνο.
Επομενως η δοσμενη ευθεια η ΑΒ τεμνεται κατα το Θ ωστε το υπο των ΑΒ,ΒΘ περιε-
χομενο ορθογωνιο ισο να γινει στο απο της ΘΑ τετραγωνο.
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.αυτο που επρεπε να κανουμε
.
.
Σχολια:
η προταση ια' του βιβλιου β' των Στοιχειων του Ευκλειδη συνδεεται με τον
γ' ορο και την λ' προταση του βιβλιου στ':
ορος γ΄. Ἄκρον καὶ μέσον λόγον εὐθεῖα τετμῆσθαι λέγεται, ὅταν ᾖ ὡς ἡ ὅλη πρὸς τὸ μεῖζον
 τμῆμα, οὕτως τὸ μεῖζον πρὸς τὸ ἔλαττον.

[λεγεται οτι μια ευθεια σε ακρο και μεσο λογο χωριζεται[απο ενα εσωτερικο της σημειο]
οταν ειναι οπως ολη προς το μεγαλυτερο τμημα, ετσι [ειναι και]το μεγαλυτερο προς το
μικροτερο τμημα]
δηλαδη:ευθυγραμμο τμημα χωριζεται απο ενα εσωτερικο του σημειο σε ακρο και μεσο
λογο,οταν ολοκληρο το εθυγραμμο τμημα προς το μεγαλυτερο τμημα που χωριζεται εχει
τον ιδιο λογο[αναλογια]με το λογο του μεγαλυτερου προς το μικροτερο τμημα
Αν ΑΒ το ευθυγραμμο τμημα με ακρα τα σημεια Α,Β,λεμε οτι ενα εσωτερικο του σημειο Γ
το χωριζει σε ακρο και μεσο λογο οταν:
Α.............Γ.....Β
[ΑΒ/ΑΓ]=[ΑΓ/ΓΒ]
απο αυτη τη σχεση προκυπτει η αναλογια της χρυσης τομης [κατα τον Ευκλειδη
ακρος και μεσος λογος] η' χρυσος κανονας :φ=[1+τετραγωνικη 5]/2=1,6180339887...
Αν θεσω ΑΓ=χ>ΓΒ=ψ τοτε:ΑΒ=χ+ψ
επομενως:[χ+ψ]/χ=χ/ψ  => 1+[ψ/χ]=χ/ψ,επειδη χ/ψ=φ και ψ/χ =1/φ τοτε αντικαθιστωντας
εχουμε:1+[1/φ]=φ
=> φ+1=φ.φ => φ.φ-φ-1=0 => φ=[1+τετραγωνικη ριζα του 5]/2=1,6180339887...
.
Χρυσο ορθογωνιο ονομαζεται το ορθογωνιο με λογο πλευρων φ
Χρυσο τριγωνο ονομαζεται το ισοσκελες τριγωνο με λογο πλευρων φ
Χρυσο ορθογωνιο τριγωνο ονομαζεται το ορθογωνιο τριγωνο με μεγεθη
πλευρων ισα με 1,φ,φ.φ
Στην ακολουθια Fibonacci 1,1,2,3,5,8,13,21,34,...με αναδρομικο τυπο:
Fn=[Fn-1]+Fn-2] ο λογος διδοχικων ορων της [Fn]/[Fn-1] τεινει -> στο φ
 .
προταση λ΄. Τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν πεπερασμένην ἄκρον καὶ μέσον λόγον τεμεῖν.

[τη δοσμενη πεπερασμενη ευθεια [το δοσμενο ευθυγραμμο τμημα] σε ακρο και μεσο λογο να χωρισεις ]
.
το πορισμα στ' του βιβλιου β' που χρησιμοποιει ο Ευκλειδης στην αποδειξη της προτασης
ια' ειναι αυτο:
ϛ΄. Ἐὰν εὐθεῖα γραμμὴ τμηθῇ δίχα, προστεθῇ δέ τις αὐτῇ εὐθεῖα ἐπ' εὐθείας, τὸ ὑπὸ τῆς
ὅλης σὺν τῇ προσκειμένῃ καὶ τῆς προσκειμένης περιεχόμενον ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ
τῆς ἡμισείας τετραγώνου ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς συγκειμένης ἔκ τε τῆς ἡμισείας καὶ τῆς
προσκειμένης τετραγώνῳ.

[αν ευθεια γραμμη[ευθυγραμμο τμημα] διχοτομηθει και προστεθει καποια ευθεια[καποιο
ευθυγραμμο τμημα]στην ευθεια της[στη προεκταση της],το υπο της ολης[ευθειας,ολου
του ευθυγραμμου τμηματος]συν τη προσκειμενη[προστιθεμενη ευθεια,το προστιθεμενο
ευθυγραμμο τμημα] και της προσκειμενης[προστιθεμενης ευθεια,του προστιθεμενου
ευθυγραμμου τμηματος] περιεχομενο ορθογωνιο μετα[μαζι με]το του απο της  μισης
[ευθειας,του μισου ευθυγραμμου τμηματος]τετραγωνου ισο ειναι στο απο της συναπο-
τελουμενης απο τη μιση [ευθεια,το μισο ευθυγραμμο τμημα]και την  προσκειμενης
[προστιθεμενης ευθειας,του προστιθεμενου ευθυγραμμου τμηματος]τετραγωνου]
.
.
.
Ευκλειδη Στοιχεια-Βιβλιο Β-Προταση ια
-animations music timpani effects minimal music c.n.couvelis χ.ν.κουβελης
.
.
.
.

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου